5.2 债券的价值与利率

5.2.1 债券定价的基本原理

债券的价值由其未来现金流入量的现值决定。一般来讲，债券属于固定收益证券，其未来现金收入由各期利息收入和到期时收回的面值两部分组成。一张面值为B，各期利息收入为I，期限为n的债券的现金流量为：

由图5-1可知，该债券的现金流量由一个票面利息构成的年金和一个到期支付的面值总额两部分组成，债券的价值也就是这两部分现值的和。因此，债券的价值由下式决定：

式中：I为各期利息收入；B为债券的面值；n为债券的付息期数；r为投资者要求的回报率。（5-1）式中的求和项就是票面利息的现值，最后一项是面值的现值。由于债券是按照持有到期的全部现金流量进行折现而确定其价值的，所以要用投资者要求的回报率r对债券所有的未来现金流量折现，然后将这些现值相加。

例5-1 某公司债券的面值为1000元，票面利息率为8%，期限10年，每年付息一次，每年的利息收入I=80元，如果投资者对此债券要求的投资回报率为6%，则该债券对这一投资者的价值为：

其中588.8元是10年每年80元利息收入的现值，558.4元是10年后1000元本金收入的现值。

如果投资者要求的回报率为8%，则该债券的价格为：

如果投资者要求的回报率为10%，则该债券的价格为：

不同的投资者对风险的承受能力不同，对同一债券要求的投资回报率也会不同。因此，同一债券对不同投资者的价值可以是不同的。当市场上有众多债券投资者时，对某一债券要求的投资回报率最低的投资者对这一债券的价值判断最高，要求的投资回报率最高的投资者对这一债券的价值判断最低。在这一债券销售时，这些投资者根据自己对债券价值的判断决定对债券的出价。最终，对债券价值的判断恰好等于可以将全部债券销售出去时的边际投资者所要求的投资回报率所决定的债券的价格。而通过债券的销售价格，利用（5-1）式我们就可以求出所隐含的投资者要求的回报率。

实际上，在债券市场上有很多风险相似的债券，通过这些债券的交易价格我们可以计算出这些债券的投资回报率（即折现率），我们将其称为同类债券的市场利率，这是债券投资者购买同类债券的机会成本，也就是他们要求的投资回报率。（5-1）式中所用的折现率r是持有债券到期时可以得到的投资回报率，所以又叫做债券的到期收益率（yield to maturity, YTM）。

由例5-1可知，如果债券的票面利息率高于同类债券的市场利息率，则债券的价格高于其票面值；如果债券的票面利息率等于同类债券的市场利息率，则债券的价格等于其票面值；如果债券的票面利息率低于同类债券的市场利息率，则债券的价格低于其票面值。产生上述情况的原因并不复杂，同类债券的市场利率是投资者持有该类债券所要求的收益率，当债券的票面利率低于这一收益率时，投资者会降低购买债券的价格，以使自己的实际收益达到所希望的水平。当债券的票面利率高于这一利率时，投资者会竞相购买，使债券的价格上升，实际收益率下降，直到达到所要求的收益率时为止。在例5-1中，当同类债券的市场利率为10%而该债券的票面利率只有8%时，债券的价格为877元。投资者只有按照这一价格买入债券，才能使每年80元的利息收入和债券到期时1000元的本金的现金流入产生每年10%的收益率。同样，当同类债券的市场利率为6%时，债券的价格为1147元，投资者按照这一价格买入债券，每年80元的利息收入和到期时1000元的本金回报，就可以使自己的投资收益率达到每年6%。而当同类债券的市场利率与该债券的票面利率相等，均为8%时，该债券的价值即与它的面值相等。

债券的折价和溢价还可以通过投资者所得的现金流量与平价发行时的差额来解释。比如，当同类债券的市场利率为6%时，购买前述债券每年可得到80元的利息，比平价发行的同类债券多20元的利息收入。10年每年20元的年金收入的现值为：

10年20元的年金现值=20×PVIFA6%,10=20×7.3601=147（元）

这正是该债券的溢价幅度。

同理，当同类债券的市场利率为10%时，购买该债券与平价发行的债券相比，每年少收入20元的利息，10年每年20元的年金按照10%的折现率折现的现值为122.9元，正好是该债券折价的金额。

5.2.2 债券的利率风险

由（5-1）式可知，债券的价值由它的面值、票面利息率、到期期限和同类债券的市场利率（到期收益率）四个因素决定。其中债券的面值和票面利率在债券发行时就已确定，债券发行后无法更改，而债券的到期期限和市场利率在债券发行后是不断变化的。当市场利率变化时，债券的价值就会发生变化。这种由市场利率变化导致的债券价值（价格）的不稳定，即为债券的利率风险。债券的利率风险主要表现在两个方面：一是价格风险，即债券价格会因市场利率变化而变化；二是再投资风险，即因市场利率的变化使债券的利息收益在进行再投资时的收益具有不确定性。债券的利率风险与它的票面利率和到期期限相关。

债券价格与市场利率之间存在着以下几个基本关系：

（1）其他因素相同，票面利率越低，债券的利率风险越大。

（2）其他因素相同，到期期限越长，债券的利率风险越大。

（3）市场利率下跌引起债券价格升高的百分比，要大于市场利率上升同样幅度所引起的债券价格下跌的百分比。

（4）随着债券到期日的临近，债券价格将逐渐趋近于其面值。

票面利率与债券的利率风险的关系

例5-2 假设有到期期限同为10年、面值同为1000元的两种债券，一个票面利率为5%，另一个票面利率为10%。当市场利率为7%时，它们的价格分别为859.5元（351.2+508.3）和1210.7元（702.4+508.3）。而当市场利率上升到9%时，它们的价格分别变为743.3元（320.9+422.4）和1064.2元（641.8+422.4），各自下降了13.52%和12.1%。显然，票面利率较低的债券的价格下跌幅度更大，这表明其利率风险更高。

读者可以假设市场利率由7%下降至5%，验证一下票面利率为5%的债券的价格上升幅度要大于票面利率为10%的债券。

期限相同、票面利率较低的债券的利率风险更大的原因在于，债券的价值取决于票面利息的现值与本金的现值之和。票面利率越低，债券的价值越依赖于到期时的本金收入，这样，在市场利率变化时，对债券的价值的影响就较大。相反，票面利率较高的债券，有较多的价值体现在利息收入上，而这些利息收入是可以在较早期实现的，从而其价值受市场利率的影响就较低。在例5-2中，在市场利率为7%时，票面利率为5%的债券的利息的现值为351.2元，占债券总价值859.5元的40.8%，而票面利率为10%的债券的利息的现值为702.4元，占债券总价值1210.7元的58.0%。显然，前者比后者对到期时债券本金收入的价值的依赖更大。

到期期限对债券价值的影响

例5-3 两种票面利息率同为10%、面值同为1000元的债券，一个期限为5年，另一个期限为10年。当市场利率为10%时，它们的价格均为1000元。如果市场利率下降2%，变为8%,5年期债券的价格将升至1080元（399.3 +680.6），而10年期债券的价格将升至1134.2元（671.0 +463.2），分别上升8.0%和13.4%。反之，若市场利率上升2%，变为12%，则5年期债券的价格将跌至927.9元（360.5+567.4）,10年期债券的价格将跌至887元（565.0+322.0），分别下降7.25%和13%。显然，上述价格变化结果验证了（2）、（3）两项基本关系，即债券的到期期限越长，其利率风险越高，同时市场利率下跌对债券价格的影响要大于市场利率上升对债券价格的影响。这种关系可用图5-2来表示。

债券到期期限对其利率风险有影响的原因在于：债券价值的很大一部分是通过收回债券面值来实现的，债券期限越长，收回面值的时间越晚，其现值受利率变化的影响越大。在例5-3中，期限5年的债券在市场利率为8%时，其面值的现值为680.6元。期限10年的债券在市场利率为8%时，其面值的现值为463.2元。而在市场利率上升到12%时，期限5年的债券的面值的现值为567.4元，下降了16.6%。期限10年的债券的面值的现值为322元，下降了30.5%。显然，10年期限的债券面值的现值受利率上升的影响更大，从而导致其利率风险更高。

表5-1给出了票面利息率i =10%、面值为1000元、半年付息一次、期限20年的债券，在不同市场利率r下距离到期日不同时间时的价格水平，从表中不难看出，距到期日越近，债券价格越趋近于其面值。这一关系也可以用图5-3来表示。