4.3 年金及其复利终值与现值的计算

年金是指一定时期内多次发生的每期金额相等的现金流量。直线折旧、利息、租金等通常表现为年金的形式。由于年金只是多期多次现金流量的一种特殊形式，因此，其终值与现值的计算也只是多期多次现金流量终值与现值计算的一个特例。

任何一个期间都有其始点和终点，考虑到现金流量可以在一个期间的始点发生，也可以在一个期间的终点发生，我们将年金区分为先付年金与后付年金两种。先付年金是指在每一期间开始时发生的等额现金流量，后付年金是指在每一期间终了时发生的等额现金流量。下面分别讨论这两种年金的终值与现值的计算。

4.3.1 年金终值的计算

后付年金终值的计算

后付年金如图4-7所示：

由图4-7可知，后付年金的终值为：

（4-6）式中的称为年金终值系数，可以简记做FVIFAr, n，所以，（4-6）式又可以写做：FVn=A（FVIFAr, n）。

为了计算的方便，人们将上述年金终值系数制成表格（附录2.3），表4-3是其说明性简表。

例4-5 某人三年内每年年底存入银行1000元，存款利率为4%，按复利计息，计算第三年年底时的年金终值。

解 这是一个后付年金终值计算的问题，可直接运用（4-6）式：

FV3=A×FVIFA4%,3

=1000×3.1216=3121.6（元）

先付年金终值的计算

先付年金的情形如图4-8所示：

其终值为：

从图4-8可以看出，n期先付年金与后付年金的付息期数相同，但时间不同。先付年金比后付年金提早一期发生，故计息期数也相应增加一期，终值计算公式也就有所不同。由于年金终值系数表是按照后付年金计算公式编制的，因此，在计算先付年金的终值时，不能直接利用年金终值系数表计算，而要对计算公式作必要的调整。这种调整有两种方法：一种是考虑先付年金比后付年金多付一期利息，因此只需计算出n期后付年金的终值后再乘上（1+r）即可。

另一种是考虑n期先付年金与（n+1）期后付年金的计息期数相同，但比（n+1）期后付年金少付一次年金，所以，只要从（n+1）期后付年金的终值中减去一笔年金，即可得到n期先付年金的终值。

例4-6 设某人每年年初存入银行1000元，存款利率为4%，按复利计息，计算第三年年底时的年金终值。

解 这是一个先付年金终值计算的问题，利用第一种方法，有：

FV3=A×（FVIFA4%,3）×（1+4%）=1000×3.1216×1.04=3246.5（元）

利用第二种方法，有：

FV3=A×（FVIFA4%,4-1）=1000×（4.2465-1）=3246.5（元）

4.3.2 年金现值的计算

后付年金现值的计算

后付年金现值如图4-9所示：

由图4-9可知，后付年金的现值应按如下公式计算：

（4-9）式中的称为年金现值系数，可以简记做PVIFAr, n，所以，（4-9）式又可以写做：

PVn=A×PVIFAr, n

年金现值系数亦有现成的表格供查阅（附录2.4），表4-4是其说明性简表。

例4-7 从现在起，某人三年内每年年末将得到1000元的现金收益，若贴现率为4%，其现值为：

PV3=1000×PVIFA4%,3=1000×2.7751=2775（元）

先付年金现值的计算

先付年金的现金流量如图4-10所示：

由图4-10可知，先付年金的现值应按如下公式计算：

例4-7中如改为先付年金，则现值为：

PV3=1000×（PVIFAr, n-1+1）=1000×（1.8861+1）=2886（元）

4.3.3 永续年金

如果每期金额相等的现金流量永久地持续下去，就称为永续年金。在英国和加拿大，有一种国债（consols）就是以永续年金的形式存在的。另外，优先股的现金股利也是永续年金的一个例子。

永续年金的现金流量的个数是无限的，永续年金的价值就是这无限个现金流量的现值的和：

简单的数学知识告诉我们，这个无穷级数的和是A/r。

所以：

比如，一项每年提供100元现金流量的永续年金投资，在贴现率为5%时的价值为：

PV=100/0.05=2000（元）

4.3.4 已知终值或现值计算年金

在实际的投资活动中，我们不但需要根据年金计算其终值或现值，还常常需要根据已知的终值或现值计算年金。

例4-8 某人5年后需要发生一笔10万元的支出，他准备从现在起每年向银行存入一笔等额的资金，已知存款年利率为5%，假设可按复利计息，问此人需要每年存入多少钱？

解 这是一个已知终值和利率求年金的问题，现金流量如图4-11所示：

由图4-11可知，这是一个先付年金的终值问题，由（4-7）式有：

100000 =A×（FVIFA5%,5）×（1 +5%）

=A×5.526×1.05

A=100000/5.802=17235（元）

即此人每年等额地存入17235元，5年后可以得到10万元。

我们也可以利用（4-8）式计算：

100000 =A×（FVIFA5%,6-1）

=A×（6.802 -1）=A×5.802

A=100000/5.802=17235（元）

结果与利用（4-7）式计算的结果相同。

例4-9 某人以分期付款的方式买下一套价值20万元的房子，利息率为6%，付款期限为15年，不需要首付，每年付款金额相等，问此人每年需要付多少钱？

解 由图4-12可知，这是一个后付年金的现值问题，由（4-9）式有：

200000 =A×PVIFA6%,15

=A×9.7122

A=200000/9.7122=20593（元）

每年需付款20593元。

4.3.5 求贴现率

利用年金的现值和终值公式，在已知年金和现值与终值的情况下，还可以求出隐含的贴现率和收益率。

例4-10 一投资者准备每年年末投资20000元，并期望在5年后有120000元的总价值，问该投资者需要怎样的收益率水平才能实现自己的投资目标？

解 该投资者的现金流量如图4-13所示：

这是一个后付年金的终值问题，可以直接运用（4-6）式。根据（4-6）式，有：

120000=20000×FVIFAr,5

FVIFAr,5=120000/20000=6

查年金终值系数表（附录2.3）可知，在n=5、r=9%时的年金终值系数为5.9847; r=10%时，年金终值系数为6.1051。这表明，实际的收益率应该介于9%到10%之间，而且更接近9%。运用内插法可以计算出较为精确的收益率：

即投资者需要得到9.127%的投资年收益率，才能实现自己的投资目标。

例4-11 一投资者在未来5年内每年年末可得到5000元的现金收入，但为此他目前要支出21000元。这意味着他的投资收益率（贴现率）是多少？

解 该投资的现金流量如图4-14所示：

这是一个后付年金的现值问题，可运用（4-9）式计算。

21000=5000×PVIFAr,5

PVIFAr,5=21000/5000=4.2

查年金现值系数表（附录2.4）可知，在n=5时、r=6%时的年金现值系数为4.2124; r=7%时，年金现值系数为4.1002。这表明，实际的收益率应该介于6%到7%之间，而且更接近6%。运用内插法可以计算出较为精确的贴现率：