第二章　液压流体力学常用计算公式及资料

流体分液体和气体两种。液体分子间距较小，一般视为不可压缩流体。气体分子间距较大，当压力或温度发生变化时会引起体积明显的变化，因此称为可压缩流体。所有流体都可视为由质点组成的连续介质，质点之间无间隙。

1　流体静力学

流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科学。所谓平衡（或者说静止），是指流体宏观质点之间没有相对运动，达到了相对的平衡。因此流体处于静止状态包括了两种形式：一种是流体对地球无相对运动，叫绝对静止，也称为重力场中的流体平衡，如盛装在固定不动容器中的液体；另一种是流体整体对地球有相对运动，但流体对运动容器无相对运动，流体质点之间也无相对运动，这种静止叫相对静止或叫流体的相对平衡，例如盛装在做等加速直线运动和做等角速度旋转运动的容器内的液体。

1.1　作用于静止流体上的力

1.1.1　质量力

作用于流体的每一个质点上，大小与流体所具有的质量成正比的力称为质量力。在均质流体中，质量力与流体的体积成正比，因此又叫体积力。

常见的质量力有重力G=mg，直线运动惯性力F1=ma，离心惯性力FR=mrω2。

质量力的大小用单位质量力来度量。所谓单位质量力就是作用于单位质量流体上的质量力。设均质流体的质量为m，体积为V，所受质量力为F，则F=mam=m（fxi+fyj+fzk）。其中运动加速度am=F/m=fxi+fyj+fzk为单位质量力，在数值上就等于加速度am；而fx、fy、fz分别表示单位质量力在坐标轴x，y，z上的分量，在数值上也分别等于加速度在三个坐标轴上的分量ax、ay、az。

重力场中的流体只受到地球引力的作用，取z轴铅垂向上，xoy为水平面，则单位质量力在x、y、z轴上的分量分别为fx=0，fy=0，fz=-mg/m=-g。式中负号表示重力加速度g与坐标轴z方向相反。

1.1.2　表面力

表面力是作用于被研究流体的外表面上，大小与表面积成正比的力。表面力有法向力和切向力。法向力是表面内法线方向的压力，单位面积上的法向力称为流体的正应力。切向力是沿表面切向的摩擦力，单位面积上的切向力就是流体黏性引起的切应力。

表面力的作用机理实际上是周围流体分子或固体分子对所研究流体表面的分子作用力的宏观表现。

1.2　流体静压力及其特性

1.2.1　压力

在静止或相对静止的流体中，单位面积上的内法向表面力称为压强，在液压传动中习惯上称为“压力”。

1.2.2　流体静压力的特性

流体静压力的两个特性：①流体静压力垂直于其作用面，其方向指向该作用面的内法线方向；②静止流体中任意一点处流体静压力的大小与作用面的方位无关，即同一点各方向的流体静压力均相等。

1.3　流体静力学基本方程

流体静力学基本方程有以下三种表示形式（图1.2-1）

p=p0+ρgh　　（1.2-1）

p2-p1=ρgΔh　　（1.2-2）

式中　g——重力加速度（9.81m/s2）；

ρ——流体的密度，kg/m3；

p0——自由液面上的压力，Pa；

p——液体中任一点处的压力，Pa；

h——液体中任一点距自由液面的高度，m；

p1、p2——液体中任意两点1及2处的压力，Pa；

Δh——1、2两点间的垂直高度差，Δh=h2-h1=z2-z1，m；

z1、z2——1、2两点离基准面的垂直坐标，m。

注意：在应用式（1.2-2）及式（1.2-3）时，1及2这两点必须在连续的同一介质中。如不是在同一介质中或中间夹有其他介质，则该方程不适用。

1.4　压力的度量标准及测量

压力是流体内部各点单位面积上的法向力，也称为“压强”。压力的单位为“Pa”，按压力零点不同，其表示方法有以下三种。

①绝对压力　以绝对真空为零点。

②相对压力（表压力）以大气压力为零点。

③真空度　当绝对压力小于大气压力时，其小于大气压力的数值称为真空度，也称为负压。

pr=pm-pa　　（1.2-4）

pv=pa-pm　　（1.2-5）

式中　pm——绝对压力，Pa；

pr——相对压力（表压力），Pa；

pa——大气压力，Pa；

pv——真空度，Pa。

故　　pv=-pr　　（1.2-6）

测量压力的仪器主要有三种：金属弹性式压力计、电测式压力计和液柱式压力计。金属弹性式压力计是利用待测液体的压力使金属弹性元件变形来工作，其量程较大，多用于液压传动中；电测式压力计是将弹性元件的变形转换为电量，便于远程测量和动态测量；液柱式压力计测量精度高，但量程小，一般用于低压实验场所。

当被测流体的压力与大气压力相差很小时，为了提高测量精度常采用倾斜式微压计。微压计测试原理如图1.2-2所示。连通容器中装满密度为ρ2的液体，右边的测管可以绕枢轴转动从而形成较小的锐角，容器原始液面为O—O，当待测流体压力p大于大气压力pa并引入微压计后，微压计中液面下降Δh，而测管中液面上升h，形成平衡。根据等压面方程，有

pm=pa+ρ2（h+Δh）

表压力　pr=pm-pa=ρ2（h+Δh）

而　　h=l·sinα

根据体积相等原则

所以

当D≫d时，被测流体的相对压力

pr=ρ2lsinα

【例】如图1.2-3所示，一密闭容器中，上部装有密度为ρ1=800kg/m3的油，下部是水（其密度ρ2=1000kg/m3）。已知h1=0.3m，h2=0.5m，测压管中水银（其密度ρ=13600kg/m3）液面读数h=0.4m。求密闭容器中油面上的压力p0的值。

解　压力分布公式（1.2-1）只能在同种类连续介质中应用，对于多种流体系统可通过流体分界面分别应用式（1.2-1）。

按相对压力计算，pa=0

1、2两点在同一等压面上，p1=p2

而　　p1=pa+ρgh=ρgh

p2=p3+ρ2gh2

p3=p0+ρ1gh1=ρ1gh1

所以　　ρgh=p0+ρ1gh1+ρ2gh2

于是　　p0=ρgh-ρ1gh1-ρ2gh2

　　　　=13600×9.81×0.4Pa-800×9.81×0.3Pa-1000×9.81×0.5Pa

　　　　=4.61×104Pa=46.1kPa

1.5　静止流体对固体壁面的作用力

1.5.1　静止流体对平面壁的总压力

设有一任意形状的平板，其面积为A，置于静止液体（密度ρ）之中，如图1.2-4所示。液体中任意点的压力p与淹深h成正比，且垂直指向平板。液体对平板的总作用力，相当于对平行力系求合力。

在平板受压面上，任取一微小面积dA，其上的压力可看成均布，则

p=p0+ρgh=p0+ρgysinα

因此微元面积dA上受到液体的微小作用力为

dF=p·dA=（p0+ρgysinα）dA

积分上式得流体作用于平板A上的总压力

F=∫AdF=∫ApdA

　=∫A（p0+ρgysinα）dA

　=p0A+ρgsinα∫AydA

因为∫AydA是平面A绕通过o点的ox轴的面积矩，即∫AydA=ycA。yc是平板形心c到ox的距离。且ycsinα=hc，所以总压力

总压力的作用点称为压力中心，设为d点。总压力F对ox轴的力矩应该等于微小压力dF对ox轴的力矩之合，即

yd·F=∫ApydA

　　　=∫A（p0+ρgysinα）ydA

　　　=p0Ayc+ρgsinα∫Ay2dA

式中∫Ay2dA为面积A对ox轴的惯性矩Jx，且Jx=Jc+y2c，Jc是平面A对通过c点且平行于ox轴的惯性矩。

当液面为大气压力时，压力中心的计算公式为

1.5.2　静止流体对曲面壁的总压力

计算流体对曲面壁的作用力是空间力系求合力的问题。由于曲面不同点上的作用力的方向不同，因此常将各微元面积上的压力dF进行分解，然后再总加起来。

（1）水平分力

设曲面ab的面积为A，置于液体之中，如图1.2-5所示。假设液面为大气压力，在曲面ab上任取一微小面积dA（对应的淹没深度为h），其所受的作用力

将dF分解为水平分力dFy和垂直分力dFz，然后分别在整个曲面A上求积分，得

Fy=∫dFy=∫AdFcosθ

　=∫AρghdAcosθ=∫AρghdAy

　=ρg∫AhdAy

式中∫AhdAy=hcAy为面积A在zox坐标面上的投影面积Ay对ox轴的面积矩（x轴垂直于纸面），于是水平分力

Fy=ρghcAy　　（1.2-9）

其作用线通过Ay的压力中心。

（2）垂直分力

Fz=∫dFz=∫AdFsinθ

　=∫AρghdAsinθ=∫AρghdAz

　=ρg∫AhdAz

式中Az为面积A在yox坐标面上的投影面积，∫AhdAz为曲面上的液体体积V，通常称这个体积为压力体，于是

Fz=ρgV　　（1.2-10）

即曲面上所受到的总作用力的垂直分力等于压力体的液重，其作用线通过压力体的重心。

对柱体曲面，所受总作用力的水平分力Fy和垂直分力Fz，因为一定共面，合成的总作用力

它与垂直方向的夹角

且压力作用线必然通过垂直分力与水平分力的交点。

应该注意的是：压力体是所研究的曲面与通过曲面周界的垂直面和液体自由表面或其延伸面所围成的封闭空间。不管这个体积内是否充满液体，垂直分力的计算式Fz=ρgV是不变的。不过垂直分力的方向随压力体在受压面的同侧或异侧不同。如图1.2-6所示，左图压力体与受压曲面异侧，垂直分力向上；右图压力体与受压曲面同侧，垂直分力向下。

dF=ρghdA

【例】如图1.2-7所示，由上下两个半球合成的圆球，直径d=2m，球中充满水。当测压管读数H=3m时，不计球的自重，求下列两种情况下螺栓群A—A所承受的拉力。①上半球固定在支座上；②下半球固定在支座上。

解　①当上半球固定在支座上时，螺栓群A—A所承受的拉力F1为下半球所受水的铅垂向下作用力，即下半球压力体中液体的重力。下半球压力体的体积V下等于下半球的体积V1加上下半球的周界线与自由液面的延伸面所围成的直径为d、高为H的圆柱体体积V2。即

于是螺栓群A—A所承受的拉力

②当下半球固定在支座上时，螺栓群A—A所承受的拉力F2为上半球所受水的铅直向上作用力，即上半球压力体中液体的重力。上半球压力体的体积V上等于上半球的周界线与自由液面的延伸面所围成的直径为d、高为H的圆柱体体积V2减去上半球的体积V1。即

于是螺栓群A—A所承受的拉力F2

2　流体运动学基础

流体运动学研究流体的运动规律，即速度、加速度等各种运动参数的分布规律和变化规律。流体运动所应遵循的物理定律，是建立流体运动基本方程组的依据。这里涉及的基本物理定律主要包括质量守恒定律等。

2.1　研究流体运动的两种方法

2.1.1　拉格朗日法（Lagrange）

①拉格朗日坐标　在某一初始时刻t0，以不同的一组数（a，b，c）来标记不同的流体质点，这组数（a，b，c）就叫拉格朗日变数，或称为拉格朗日坐标。

②拉格朗日描述　拉格朗日法着眼于流场中每一个运动着的流体质点，跟踪观察每一个流体质点的运动轨迹（称为迹线）以及运动参数（速度、压强、加速度等）随时间的变化，然后综合所有流体质点的运动，得到整个流场的运动规律。

2.1.2　欧拉法（Euler）

①欧拉法　以数学场论为基础，着眼于任何时刻物理量在场上的分布规律的流体运动描述方法。

②欧拉坐标（欧拉变数）　欧拉法中用来表达流场中流体运动规律的质点空间坐标（x，y，z）与时间t变量称为欧拉坐标或欧拉变数。

流场中用来观察流体运动的固定空间区域称为控制体，控制体的表面称为控制面。

2.2　流体运动中的基本概念

2.2.1　定常流动与非定常流动

①定常流动　若流体的运动参数（速度、加速度、压强、密度、温度、动能、动量等）不随时间而变化，而仅是位置坐标的函数，则称这种流动为定常流动或恒定流动。

②非定常流动　若流体的运动参数不仅是位置坐标的函数，而且随时间变化，则称这种流动为非定常流动或非恒定流动。

③均匀流动　若流场中流体的运动参数既不随时间变化，也不随空间位置而变化，则称这种流动为均匀流动。

2.2.2　一维流动、二维流动、三维流动

①一维流动　流场中流体的运动参数仅是一个坐标的函数。

②二维流动　流场中流体的运动参数是两个坐标的函数。

③三维流动　流场中流体的运动参数依赖于三个坐标时的流动。

2.2.3　迹线与流线

①迹线　流场中流体质点的运动轨迹称为迹线。

②流线　流线是流场中的瞬时光滑曲线，在曲线上流体质点的速度方向与各点的切线方向重合，如图1.2-8所示。

流线具有以下特点：定常流动中，流线与迹线重合为一条；非定常流动中，流线的位置和形状随时间而变化，因此流线与迹线不重合。一般来讲，在某一时刻，通过流场中的某一点只能作出一条流线；流线既不能转折，也不能相交，但速度为零的驻点和速度为无穷大的奇点（源和汇）除外，如图1.2-9所示。

2.2.4　流管与流束

①流管　在流场中任取一不是流线的封闭曲线L，过曲线上的每一点作流线，这些流线所组成的管状表面称为流管。

②流束　流管内部的全部流线的集合称为流束。

③总流　如果封闭曲线取在管道内部周线上，则流束就是充满管道内部的全部流体，这种情况通常称为总流。

④微小流束　封闭曲线极限近于一条流线的流束。注意：流管与流线只是流场中的一个几何面和几何线，而流束不论大小，都是由流体组成的。

2.2.5　过流断面、流量和平均流速

①过流断面　流束中处处与速度方向相垂直的横截面称为该流束的过流断面。

②流量　单位时间内通过某一过流断面的流体量称为流量。流量可以用体积流量或质量流量来表示。

单位时间内通过某一过流断面的流体体积称为体积流量，以qV表示；单位时间内通过某一过流断面的流体质量称为质量流量，以qm表示。

设过流断面积为A，在其上任取一微小面积dA，对应的流速为u。则单位时间内通过dA上的微小流量为

dqV=udA

通过整个过流断面流量

qV=∫dqV=∫AudA　　（1.2-13）

相应的质量流量

qm=∫AρudA　　（1.2-14）

③平均流速　常把通过某一过流断面的流量qV与该过流断面面积A相除，得到一个均匀分布的速度，称为该过流断面的平均速度v。

2.3　连续性方程

根据质量守恒的原则，单位时间内通过管路或流管的任一有效断面的流体质量为常数。即

ρAv=C　　（1.2-16）

其中ρ、A、v分别为流体的密度、过流断面面积及过流断面上的平均速度。如为不可压缩流体，则ρ为常数，此时有

Av=C

或

A1v1=A2v2　　（1.2-17）

即流过过流断面A1的流量与流过过流断面A2的流量相等，即qV1=qV2。

3　流体动力学

流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律即研究流体动力学物理量和运动学物理量之间的关系的科学，也就是研究流体所受到的作用力与运动的速度之间的关系式。所应用的主要物理定律包括牛顿第二定律、机械能守恒定律等。

3.1　理想流体伯努利方程

在重力场中的理想流体做恒定流动，如流体为不可压缩流体，则沿流束或总流上任一过流断面有

式中　p——压力，Pa；

z——过流断面中心离水平基准面的距离，m；

v——过流断面上的平均速度，m/s；

ρ——流体的密度，kg/m3；

g——重力加速度（9.81m/s2）；

——单位质量流体的压力势能，而称为压力头；

zg——单位质量流体的位置势能，而z称为位置头，m；

——单位质量流体的动能；而称为速度头。

式（1.2-18）和式（1.2-19）的物理意义是理想流体中沿流束或总流各过流断面上单位质量流体的总能量守恒，或三者能量头之和为常数。式（1.2-18）和式（1.2-19）也可以写成下面的形式其中，下角标1和2分别表示流束或总流的任意两个过流断面。故式（1.2-20）和式（1.2-21）的物理意义是沿理想流体流束或总流任意两过流断面上的单位质量流体的总能量相等或总能量头相等。故理想流体伯努利方程实质上是能量守恒定律在流体力学中的具体体现。

3.2　实际流体总流的伯努利方程

在实际流体中，由于有黏性存在，因此流体流动时要克服摩擦力，从而引起能量损失。故流体总能量或总能量头将沿流动方向逐渐减小。因此对实际流体来说，伯努利方程变为

式中　hωg——单位质量流体从过流断面1流至过流断面2时损失的能量，hω称为能量损失；

α1，α2——1、2过流断面由于速度分布不均匀而引入的修正系数。对层流来说，α=2；对紊流来说，α=1.05～1.10。

【例】　已知叶片泵的排量为50L/min，进口管径为d1=25mm，吸油口离油箱液面的高度为h=0.3m，如图1.2-10所示。吸油管道上总的压力损失为3×103Pa，油的密度ρ=1000kg/m3，试确定泵吸油口处的负压。

解　取油箱液面为基准面，列油箱液面与泵吸油口断面这两个断面处的伯努利方程。对油箱自由液面来说，z1=0，p1=0，v1=0。对泵吸油口断面来说，z2=0.3m，v2=1.7m/s，而损失水头hω=3×103/（900×9.81）m=0.34m，按式（1.2-23）有

所以

p2=（-0.79×900×9.81）Pa=-6975Pa

故泵入口处负压为6975Pa。

3.3　系统中有流体机械的伯努利方程

式（1.2-22）和式（1.2-23）只适用于两个过流断面之间没有其他流体机械消耗能量或向流体供给能量的情况。当1、2两过流断面之间有流体机械时，单位质量理想流体伯努利方程将变成如下的形式

单位质量实际流体的伯努利方程则为

式中，H·g为流体机械向单位质量流体所供给的机械能，如流体机械由流体吸收能量（例如水轮机、液压马达等），则H·g为负值。

流体机械的流量为qV，密度为ρ，则单位时间向流体输送的能量（即功率）为ρgqVH，或功率N=ρgqVH。

3.4　恒定流动动量方程

流体力学中的动量方程为

式中　∑Fx，∑Fy，∑Fz——所研究的控制体中的流体所受到的合外力在x、y、z三个坐标轴上的分量，N；

v1x，v1y，v1z——流入控制体的速度v1在x、y、z三个坐标轴上的分量，m/s；

v2x，v2y，v2z——流入控制体的速度v2在x、y、z三个坐标轴上的分量，m/s；

ρ——流体密度，kg/m3；

qV——通过控制体的流量，m3/s。

【例】　如图1.2-11所示，水流经弯管流入大气当中，已知d1=100mm，d2=75mm，v2=23m/s，水的密度ρ=1000kg/m3，求弯管上所受的力。（不计水头损失，不计重力）

解　取1—1，2—2两缓变流断面，并以1—1断面中心线所在的平面为基准面，列写伯努利方程

式中z1=z2=0（不计重力），取α1=α2=1，hω=0（不计水头损失），p2=0（流入大气，相对压力为零），代入上式得

根据连续性方程有

所以

于是

以1—1、2—2断面及管壁所包围的流体为控制体，并设弯管对流体的作用力分别为、，方向如图1.2-11所示。则控制体中流体对弯管的作用力Fx、Fy与F'x、F'y大小相等，方向相反。列写x方向动量定理，得

∑Fx=ρqV（v2x-v1x）

即

所以

列写y方向动量定理，得

∑Fy=ρqV（v2y-v1y）

即

所得结果、均为正值，说明假设的弯管对流体的作用力的方向是正确的，则流体给弯管的作用力Fx、Fy与图中所给的、大小相等，方向相反。

作用力的合力

与水平方向夹角

4　流体在管路中的流动

流体在管路中的流动是工程实际当中最常见的一种流动情况。由于实际流体都是有黏性的，所以流体在管路中流动必然要产生能量损失。

4.1　管路中流体流动的两种状态

4.1.1　雷诺试验

英国物理学家雷诺（Reynolds）通过大量的实验研究发现，实际流体在管路中流动存在着两种不同的状态，并且测定了管路中的能量损失与不同的流动状态之间的关系，此即著名的雷诺实验。雷诺实验装置如图1.2-12所示。

实验过程中使水箱中的水位保持恒定。实验开始前水箱中颜色水的阀门以及玻璃管上的阀门都是关闭的。开始实验时，逐渐打开玻璃管出口端上的阀门，并开启颜色水的阀门，使颜色水能流入玻璃管中。当阀口开度较小，玻璃管中的颜色水流动速度较小时，颜色水保持一条平直的细线，不与周围的水相混合，见图1.2-13（a）。如果继续缓慢开大阀门，玻璃管中颜色水流动速度加快，可以发现，在一定的流动速度范围内，水流仍保持层流状态。当流速增大到某一值后，颜色水出现摆动现象，而不能维持直线的状态，如图1.2-13（b）所示。这说明流体质点出现了与主流动方向垂直的横向运动。若继续开大阀门，流速增大到某一值时，摆动的颜色水线突然扩散，并和周围的水流相混合，颜色水充满整个玻璃管，如图1.2-13（c）所示。如果把阀门从大缓慢关小，即使玻璃管中的水流速度由大逐渐减少，则流动会从紊流逐渐过渡到层流状态，使颜色水又恢复到一条平直的细线。（层流与紊流的概念见下文所述）

4.1.2　基本概念

①层流　流体质点平稳地沿管轴线方向运动，而无横向运动，流体就像分层流动一样，这种流动状态称为层流。

②紊流　流体质点不仅有纵向运动，而且有横向运动，处于杂乱无章的不规则运动状态，这种流动状态称为紊流。

③上临界流速　由层流转变为紊流状态时的流速称为上临界流速。

④下临界流速　由紊流转变为层流时的流速称为下临界流速vc。

雷诺通过大量的实验研究发现，对不同管径d，不同性质（密度ρ、运动黏度μ不同）的流体，它们在临界流速时所组成的无量纲数

基本上是相同的（ν为运动黏度系数）。Rec称为临界雷诺数，对应于下临界流速vc的称为下临界雷诺数Rec，对应于上临界流速的称为上临界雷诺数。实验测得Rec=2320，。对应于过流断面上平均速度v的雷诺数表达式为

当Re≤Rec=2320时，管路中的流动状态为层流；当时，管路中的流动状态为紊流。当雷诺数介于两者之间时，可能是层流也可能是紊流，由于过渡状态极不稳定，外界稍有扰动层流就转变为紊流，因此工程上一般将过渡状态归入到紊流来处理。而以下临界雷诺数Rec=2320作为判别层流与紊流的依据：Re≤2320，为层流；Re>2320，为紊流。

雷诺数的物理意义是作用于流体上的惯性力与黏性力之比。Re越小，说明黏性力的作用越大，流动就越稳定；Re越大，说明惯性力的作用越大，流动就越紊乱。

⑤当量直径　雷诺数表达式中的d代表的是管路的特征长度，对于圆形断面管，d就是圆管直径。对于非圆断面管，可以用水力半径R或当量直径dH表示。设某一非圆断面管道的过流断面积为A，与液体相接触的过流断面润湿周界的长度为l，则其当量半径为

当量直径为

则适用于非圆断面管的雷诺数表达式为

常见的断面形状及水力直径见表1.2-1。

4.2　管道中的压力损失

4.2.1　沿程压力损失

流体在管道中流动时，由于流体与管壁之间有黏附作用，以及流体质点间存在着内摩擦力等，沿流程阻碍着流体的运动，这种阻力称为沿程阻力。克服沿程阻力要消耗能量，一般以压力降的形式表现出来，称为沿程压力损失Δpλ，可按达西（Darcy）公式计算

或以沿程压头（水头）损失hλ表示

式中　λ——沿程阻力系数，它是雷诺数Re和相对粗糙度Δ/d（管材内壁绝对粗糙度Δ见表1.2-2）的函数，其计算公式见表1.2-3；

l——圆管的沿程长度，m；

d——圆管内径，m；

v——管内平均速度，m/s；

ρ——流体密度，kg/m3。

4.2.2　局部压力损失

流体在管道中流动时，当经过弯管、流道突然扩大或缩小、阀门、三通等局部区域时，流速大小和方向被迫急剧地改变，因而发生流体质点的撞击，出现涡旋、二次流以及流动的分离及再附壁现象。此时由于黏性的作用，质点间发生剧烈的摩擦和动量交换，从而阻碍着流体的运动。这种在局部障碍处产生的阻力称为局部阻力。克服局部阻力要消耗能量，一般以压力降的形式表现出来，称为局部压力损失Δpξ。

或以局部压头（水头）损失hξ表示

式中　ξ——局部阻力系数，它与管件的形状、雷诺数有关；

v——平均流速，m/s，除特殊注明外，一般均指局部管件后的过流断面上的平均速度。

4.2.3　局部阻力系数

除了突然扩大管件的局部阻力系数外，一般局部阻力系数ξ都是由实验测得，或用一些经验公式计算。而且大部分的局部阻力系数都是指紊流的。层流时的局部阻力系数资料较少。

（1）突然扩大局部阻力系数

管道突然扩大的结构简图如图1.2-14所示。

①层流　当Re<2320时，对大管的平均流速而言的突然扩大的局部阻力系数，可

用下面的公式

②紊流　对大管平均流速而言的突然扩大局部阻力系数为

其中的A1和A2分别为管道扩大前和扩大后所对应的过流断面面积。

突然扩大局部阻力系数亦可查表1.2-4。

（2）管道入口与出口处的局部阻力系数（表1.2-5和表1.2-6）

（3）管道缩小处的局部阻力系数（表1.2-7）

（4）弯管局部阻力系数（表1.2-8）

（5）分支管局部阻力系数（表1.2-9）

4.3　总能量损失

液压系统总是多种液压件和各种管件组合而成，因此一个系统的总压力损失则是将管道上的所有的沿程压力损失和局部压力损失按算术加法求其总和。即

5　圆管紊流

图1.2-15所示为流体作准定常紊流运动时，任一点处所测得的真实速度u随时间变化的情况。这种流动参数（如u）随时间的不规则变化，称为脉动现象。虽然u不断地随时间变化，但这种变化始终围绕某一平均值上下跳动。因此，工程上在计算紊流的流动参数时，就计算真实流动参数对时间的平均值。

真实流动参数对时间的平均值，称为时均流动参数，如时均流速为

式中　——时均点速，m/s，；

u——真实点速，m/s，u=f（x，y，z）；

T——确定时均值所取的时间，s；

真实流速与时均流速的关系

式中　u'——脉动速度，m/s，u'=f（x，y，z），其值可正可负。

工程上处理紊流问题，都基于流动参数时均化，以下所论述的紊流都是时均化的紊流。

5.1　紊流的速度结构、水力光滑管和水力粗糙管

5.1.1　紊流的速度结构

管中紊流的速度结构可以划分为以下三个区域。

①黏性底层区　在靠近管壁的薄层区域内，流体的黏性力起主要作用，速度分布呈线性，速度梯度很大，这一薄层叫黏性底层。如图1.2-16所示。

圆管中黏性底层的厚度为

式中　d——圆管直径，m；

Re——雷诺数；

λ——圆管的沿程阻力系数。

②紊流核心区　在管轴中心区域，黏性的影响逐渐减弱，流体的脉动比较剧烈，速度分布比较均匀，流体处于完全的湍流状态，这一区域称为紊流核心区。

③过渡区　处于黏性底层与紊流核心区之间的区域，这一区域范围很小，速度分布与紊流核心区的速度分布规律相接近。

5.1.2　水力光滑管和水力粗糙管

当黏性底层的厚度δ大于管壁的绝对粗糙度Δ时，管壁的凹凸不平部分完全被黏性底层所覆盖，紊流核心区与凸起部分不接触，流动不受管壁粗糙度的影响，因而流动的能量损失也不受管壁粗糙度的影响，这时的管道称为水力光滑管，这种流动称为水力光滑流动。当黏性底层的厚度δ小于管壁的绝对粗糙度Δ时，管壁的凹凸不平部分完全暴露在黏性底层之外，紊流核心区与凸起部分相接触，流体冲击在凸起部分，不断产生新的旋涡，加剧紊乱程度，增大能量损失，流动受管壁粗糙度的影响，这时的管道称为水力粗糙管，这种流动称为水力粗糙流动。

5.1.3　流速分布

由于紊流的流动规律极其复杂，至今仍无一个完整的理论公式来表达紊流的速度分布。现介绍一个适用于光滑管紊流区速度分布的指数公式

式中　——时均点速；

——管中心轴的最大时均点速；

y——管中任一点距管壁的垂直距离，m；

n——与雷诺数有关的指数，见表1.2-10。

5.1.4　切应力

紊流时的切应力，除了黏性切应力外，更主要的是由流体质点间掺混而产生动量交换所引起的紊动切应力（雷诺切应力），致使其能量损失比层流的要大。

5.2　管路计算

5.2.1　水力短管与水力长管

当管路计算中的局部压力损失与速度水头之和，与沿程压力损失相比，小到可以忽略不计时，称为水力长管，如输水管或输油管等。反之，当压力损失中，沿程压力损失和局部压力损失各占一定比例时，这类管路称为水力短管，如液压管路。因此水力短管和水力长管并非完全是几何长短的概念。

管路计算中所涉及的参数为管道长度l、管道直径d、压力损失Δp和输送流量q。一般情况下，长度l为已知值，因此管路计算可归结为以下三类问题：

①已知l、q及Δp，确定管径d；

②已知l、d及q，确定压力损失Δp；

③已知l、Δp及d，确定流量q。

管道直径可根据推荐的管中平均流速v来计算

式中　d——管道内径，mm；

q——管中流量，L/min；

v——管中推荐的平均流速，m/s，v值可按表1.2-11取值。

5.2.2　串联管路

不同直径的管道无分支地依次连接的管路称为串联管路，如图1.2-17所示。串联管路的特点是通过各段管路的流量是相等的；整个管长上的压力损失是各不同直径的管段上压力损失的和。

5.2.3　并联管路

两条或两条以上管路由一点分支，然后又汇合在另一点构成封闭的环路，称为并联管路，如图1.2-18所示。并联管路的特点是各分管的压力损失相等；各分管的流量不相等，它们的总和等于总流量。

【例】　如图1.2-19所示的水泵抽水系统，流量qV=0.0628m3/s，水的运动黏度ν=0.519cm2/s，管径d=200mm，h1=3m，h2=17m，h3=15m，L2=12m，沿程阻力系数λ=0.0242，各处局部阻力系数ζ1=3，ζ2（直角弯管d/R=0.8），ζ3（光滑管θ=30°），ζ4=1。求：（1）水泵的扬程；（2）水泵的有效功率。

解　（1）求水泵的扬程

取0—0，1—1两缓变过流断面，并以0—0为基准面，列写伯努利方程。考虑到0—0，1—1两断面间有泵，流体获得能量，设扬程为H，则

其中z0=0，z1=h1+h2，p0=p1=0（相对压力），取α0=α1=1，v0=v1=0。带入上式得

H=h1+h2+hω

hω=∑hλ+∑hζ

查表可得ζ2=0.024，ζ3=0.073。

所以

此即为泵的有效扬程。

（2）水泵的有效功率P

P=ρgHqV=1000×9.81×21.98×0.0628W

=13.54kW

6　孔口及管嘴出流

6.1　薄壁孔口和厚壁孔口

①薄壁孔口　如果液体具有一定的流速，能形成射流，且孔口具有尖锐的边缘，此时边缘厚度的变化对于液体出流不产生影响，出流水股表面与孔壁可视为环线接触，这种孔口称为薄壁孔口。薄壁孔口长径比L/d≤2。

②厚壁孔口　如果液体具有一定的速度，能形成射流，此时虽然孔口也具有尖锐的边缘，射流亦可以形成收缩断面，但由于孔壁较厚，壁厚对射流影响显著，射流收缩后又扩散而附壁，这种孔口称为厚壁孔口或长孔口，有时也称为管嘴。厚壁孔口长径比2<L/d≤4。

③收缩断面　薄壁孔口边缘尖锐，而流线又不能突然转折，经过孔口后射流要发生收缩，在孔口下游附近的c—c断面处，射流断面积达到最小处的过流断面，以Cc表示，称为收缩系数。收缩系数是收缩断面面积与孔口的几何断面积之比，即Cc=Ac/A。

6.2　大孔口和小孔口

①小孔口　以孔口断面上流速分布的均匀性为衡量标准，如果孔口断面上各点的流速是均匀分布的，则称为小孔口。

②大孔口　如果孔口断面上各点的流速相差较大，不能按均匀分布计算，则称为大孔口。

6.3　自由出流和淹没出流

①自由出流　以出流的下游条件为衡量标准，如果流体经过孔口后出流于大气中时，称为自由出流。

②淹没出流　如果出流于充满液体的空间，则称为淹没出流。

式中　Δp——孔口前后压力差，Pa；

A——孔口面积，m2；

ρ——流体的密度，kg/m3；

Cd——流量系数；

qV——流量，m3/s。

当管径与孔径之比d/D≤1/7时，Cd=0.60～0.61。当d/D较大时，Cd值增大，见表1.2-12。

Cd=0.60～0.61是在孔口离边壁较远时，即时（见图1.2-20）；当时，则孔口出流收缩不完全，Cd值也会增大。

Cd=0.60～0.61是在紊流情况下导出的，一般认为时，Cd=0.60～0.61不变；当Re<250时，Cd是变化的，如图1.2-21所示。在液压问题中，大多数孔口符合D/d>7和，而且多数情况下Re>250，因此用Cd=0.60～0.61是合理的。

当孔口面积不是圆形时，仍可用式（1.2-41）计算，而Cd一般仍采用0.60～0.61。例如圆柱滑阀的流量计算完全可按式（1.2-41）进行。对喷嘴挡板阀，如图1.2-22所示，当l<2xf0时，α<60°。喷嘴出口无倒角，也可以按锐缘薄壁孔口计算，Cd取0.60～0.61，孔口面积按环形缝隙πdxf0计。

当孔口的壁较厚时，则不能按薄壁孔口计。如l=（3～4）d，则按管嘴计算。此时流量公式仍可用式（1.2-41）计算，但流量系数Cd=0.80～0.82。当壁厚进一步加大时，则应按管路计算。

7　缝隙流动

液压技术中经常碰到缝隙中的流体流动问题。由于缝隙很小，缝隙中流动一般总是层流。

7.1　壁面固定的平行缝隙中的流动

设缝隙宽度为无限宽，则可以根据牛顿内摩擦定律导出单位宽度的流量为

式中　qw——单位宽度的流量，m3/s；

δ——缝隙高度，m；

l——缝隙长度，m；

μ——流体的动力黏度系数，Pa·s；

Δp——l两端的压差，Pa。

当宽度b为有限值，长度l又不太长时，则需引入修正系数c，c与l/δRe有关，其关系如图1.2-23所示。

此时的流量公式为

而

当l/δRe足够大时，c趋近于1。

7.2　壁面移动的平行平板缝隙流动

当两个平行平板之一以速度U运动时，如图1.2-24所示，则通过缝隙的流量由式（1.2-43）算出的流量再加上由于平板移动引起的流量之和，即

式中第二项的正负号取决于U的方向与Δp的方向是否一致，一致时取“+”号，相反时取“-”号。qV的单位为m3/s。

7.3　环形缝隙中的流体流动

图1.2-25（a）所示的同心环形缝隙中的流体流动本质上与平行平板中的流动是一致的，只要将式（1.2-43）或式（1.2-44）中的b用πD来代替就完全可适用于环形缝隙的情况。

①当环形间隙的壁面为固定壁面时（U=0），流量公式为

②当环形间隙的壁面有一侧以速度U运动时，流量公式为

图1.2-25（b）所示，则其流量应按下式计算

式中ε=e/δ。当偏心距达最大时，e=δ，即ε=1。此时

7.4　平行平板间的径向流动

当流体沿平行平板径向流动时，其流量可按下式计算

式中　r1，r2——径向缝隙的内径和外径，如图1.2-26所示；

Ce——考虑起始段引入的修正系数，Ce值与有关，如图1.2-27所示。

8　液压冲击

当管路中的阀门突然关闭时，管路中流体由于突然停止运动而引起压力升高，这种现象称为压力冲击。压力升高的最大值可按下式计算

Δp=ρcv　　（1.2-49）

式中　ρ——流体密度，kg/m3；

v——管中原来的流速，m/s；

c——冲击波的传播速度，m/s，c与管材弹性、管径、壁厚等有关。

可按下式计算

式中　K——流体的体积弹性系数，Pa；

D，δ——管径及管壁厚，m；

E——管材的弹性模量，Pa；

ρ——流体密度，kg/m3。

当管路为绝对刚体时

这就是流体中的声速，对水来说，c0=1425m/s；对液压油来说，c0=890～1270m/s。