1.14 标准正态分布重要性质

标准正态分布函数具有两个重要性质[6]，其中之一为

下面证明式1-7成立。

证明：假设c≥0，则c≥-c, u=c和u=-c关于标准正态分布曲线对称中心u=0对称，所以区间[ -∞, -c]内的面积等于区间[c, +∞]内的面积，见图1-5。根据Φ（c）的物理含义，Φ（-c）是标准正态分布函数φ（x）在区间[ -∞, -c]内的面积，而Φ（c）是标准正态分布函数φ（x）在区间[-∞, c]内的面积。由于正态分布（不管是一般正态分布，还是标准正态分布）在-∞到+∞之间的面积为1，所以1-Φ（c）就是区间[c, +∞]内的面积，而因对称性则区间[-∞, -c]内的面积等于区间[c, +∞]内的面积，故Φ（-c）=1-Φ（c）。

图1-5 Φ（-c）=1-Φ（c）示意图

同理，当c≤0时，命题仍然成立，不再赘述。

命题得证。

作者在研究过程能力指数过程中，不仅运用了正态分布概率计算通式，而且利用Φ（-c）=1-Φ（c）这一重要性质去研究过程能力指数与合格（缺陷）率的关系，发现了过程能力指数4个基本特性，创立了过程能力指数基本理论，建立了基于Cp的过程能力指数评价体系，奠定了统计质量评价理论基础。