如果每人只需要一个肾脏

罗斯、森梅兹和云韦尔在2004年的《经济学季刊》（The Quarterly Journal of Economics）上共同发表了题为《肾脏交换》（Kidney Exchange）的论文。当时“市场设计”这个词尚未为学术界所熟知，谁都没有想到，经济学的智慧可以运用到肾脏移植上。

从理论上说，他们的肾脏移植匹配模型源于罗伊德·沙普利和赫伯特·斯卡夫（Herbert Scarf）所创的“住宅市场模型”。也许有人会想，肾脏移植为什么会和住宅扯上关系，这是因为肾脏和住宅在“每人只需一个”这一点上是一致的。

沙普利生于1923年，是加利福尼亚大学洛杉矶分校名誉教授。我在前言中提过，2012年他和罗斯共同获得了诺贝尔经济学奖。

斯卡夫生于1930年，是耶鲁大学名誉教授，开发了使用计算机找出市场均衡的算法，证明了以合作行为为特征的市场均衡极限定理。

他们以住宅市场模型为对象的论文《核与不可分割性》（On Cores and Indivisibility）发表在1974年的《数理经济学》（Journal of Mathematical Economics）上。

所谓住宅市场模型是这样的：现在有学生宿舍，入住了很多学生。每个学生有一个房间，各房间的位置、日照及房租等各项条件有所不同。

有的学生觉得“比起我现在的房间，还是那个房间更好”。比如有人会想：“现在的房间日照是好，但是反正白天也不在房间里，暗一点也可以，我想换到房租便宜的房间。”还有人觉得：“房租稍贵点也没关系，想换一个大点的房间。”

于是，对现有房间不满意的学生为了交换房间聚在一起。但是并不强迫来了就必须换，也不保证可以换到期望的房间。

这里最基本的约定是保证每个人都不会换到比现在更不满意的房间这一最基本条件。该条件称为个体合理性（Individual Rationality）。

如果把这一情况与肾脏移植匹配相对照，学生就相当于患者，房间就相当于捐献者，现在所住的房间相当于不适合的捐献者，比现在的要好的房间相当于适合的捐献者。个体合理性条件意味着“不会和不适合的捐献者配对”。

接下来我们通过简单的例子来说明住宅市场模型。现在有四个学生1、2、3、4，各自在学生宿舍有自己的房间。为了使问题简化，每个学生现在所住的房间以该学生的名字命名。也就是说，现在学生1住房间1，学生2住房间2，学生3住房间3，学生4住房间4。他们都对现在的房间不满意，并且按照自己的个人好恶，为4个房间（房间1、2、3、4）排了优先次序。

来看一下这个表格，对于学生1来说排序是这样的：最好的是房间4，其次是房间3，第三位是房间2，第四位是房间1。这个排序称为偏好（Preference）。

在此例中，要满足“所有人都不会换到比现在更不满意的房间”这一个体合理性条件，十分容易。因为原本学生1、3、4就住在自己最不喜欢的房间，所以也就不可能换到比现在更不满意的房间。也就是说这里的个体合理性仅仅是要求学生2不会换到房间1去。满足这项条件的学生和房间的组合有很多，那么在这些组合中应该如何选择呢？

我们将后文对学生和房间的重新组合称为分配（Imputation）。我们先考虑这样一组分配：

分配A：学生1住房间3，学生2住房间4，学生3住房间1，学生4住房间2

分配A满足了个体合理性，但是该分配仍然有改善的余地。因为如果学生1和学生2在此基础上交换房间，他们都能换到最理想的房间。

也就是说：

分配B：学生1住房间4，学生2住房间3，学生3住房间1，学生4住房间2

优于分配A，这称为分配B对分配A进行了帕累托改进（Pareto Improvement）。

让我们在偏好表中，将分配A用□、分配B用○圈起来确认一下。

分配A被分配B帕累托改进。像这样，如果某个分配会被别的分配帕累托改进，就说明在不会使任何人处境变差的情况下，还有余地让某个人的情况变好，也就是说，资源没有处在最优分配的状况，尚未得到最好效率的利用。就拿分配A来说，它仍有通过交换来改善状况（既不给学生3、4带来不好的影响又可以让学生1和2更幸福）的余地。

已经没有空间进行帕累托改进的分配，被称为达到帕累托最优（Pareto Efficiency），分配A就没有达到帕累托最优。

学生们都想换到更理想的房间，所以，寻找满足帕累托最优的分配十分合理。那么分配B同时满足了个体合理性和帕累托最优，我们就应该选择它吗？事情并非如此简单，因为还存在同时满足个体合理性和帕累托最优的其他分配。

例如：

分配C：学生1住房间4，学生2住房间3，学生3住房间2，学生4住房间1

很容易确定它同时满足个体合理性和帕累托最优。

而且分配B和分配C之间相互不存在帕累托改进关系。因为对于学生1和2来说，分配B和C一样，对于学生3来说分配C更好，而对于学生4来说分配B更好。让我们在和上面同样的表格中将分配B用○、分配C用△圈起来确认一下。

那么分配B和分配C应该选择哪一个呢？我们来考虑一个新的判断标准。

如果采用分配B，学生2得到了房间3，学生3得到了房间1。但是当大家决定“那就选分配B吧”的时候，学生2和3两人说“我们还是不参加了”，抢在大家前头只在他们两人之间交换房间，这样学生2就可以得到房间3，学生3得到房间2。

和分配B相比，这样做学生2仍然分得房间3，这一点没有变化，但是学生3可以得到（比房间1）更令其满意的房间2。这次抢先交换，学生2无损无得，但是如果他和学生3关系好，或者偷偷从他那里收了钱的话，这样的私下协议就可能会发生。像这样由小集团发起的私下协议，称为阻止（Block）。

也许可以事先规定禁止“阻止”。但是如果这样的话，学生2和3可能从一开始就不会参加房间交换。参与者减少，交换的选择面就会变窄，效果就不理想。

不会发生阻止的分配称为强核配置（Strong Core Allocation），它具备两个优点。

首先从定义上来说，一旦确定“用这个分配（强核配置）”，就不可能发生私下协议。

不可能发生私下协议，也就意味着这个分配会给予全体成员通过任何协议都无法实现的高度满足，这也意味着学生参与交换不会失去什么。

也就是说强核配置可以有效地防止“阻止”，而且具有公平性。

在这个例子中，分配C是强核配置，不存在其他强核配置。

再进一步说，强核配置必然满足个体合理性和帕累托最优。因为个体合理性要求“不会有某个人因退出分配而受益”，帕累托最优要求“所有参与者作为一个整体不会因私下协议而受益”。而强核配置要求“无论某个人还是所有人，都不存在通过退出分配或私下协议而受益的可能”，所以强核配置必然满足个体合理性，而且满足帕累托最优。

下面强调两个关于强核配置的重要事实：

●事实1 强核配置一定存在。也就是说，无论有多少学生，他们的偏好如何，以实现强核配置为目标都是有意义的。

●事实2 强核配置一定唯一。这个结果让人意外，因为人们通常会觉得如果学生很多的话分配整体的数量也会变大，所以分配的数量应该也会增加。但是住宅市场模型中，强核配置在任何时候都是唯一的。也就是说要实现强核配置，不需要犹豫选择哪一个强核配置。

事实1由沙普利和斯卡夫在1974年发表的论文中证明，事实2由罗斯和安德鲁·波斯尔思韦特（Andrew Postlethwaite）1977年刊登在《数理经济学》上的论文中揭示。

罗斯当时是刚刚取得博士学位的年轻研究人员。他在理论实践层面的研究获得了较多褒奖，其实他在基础理论研究方面也做出了很多重要贡献。

通过上述两个事实我们可以知道，在住宅市场模型中强核配置永远是唯一的。但不能轻易说那就选强核配置吧，因为存在一个很大的问题：要选择强核配置必须先找到它。

“某个事物存在”和“有找到它的方法”是两回事。知道有德川宝藏在，但是不知道在哪里，还是不能解决问题。

在住宅市场模型中，分配表示学生和房间的组合。

假设现在有n个学生（和n个房间），分配的方式就有n的阶乘n! =n×（n-1）×……×2×1种。

这个数字会随着人数的增加而迅速增大。当只有3个学生时分配方式不过6种而已；但如果有10个学生的话，分配方式就会超过360万种。要逐一确认超过360万种的分配方式是否是强核配置，工作量很大。

有10个学生时，结盟成小集团的方式会超过1000个。所以哪怕仅仅针对一种分配方式，要确认其是否是强核配置也是非常困难的，花费时间做这样一一检视很不现实。

解决这个问题的方法是由戴维·盖尔发明的最适交易循环算法（Toptrading Cycles Algorithm，以下称为TTC算法）。