2.2.4 三个爱因斯坦系数A21、B21、B12之间的关系

前面讨论了自发辐射、受激辐射和受激吸收三个过程，并分别介绍了表征这三个过程中跃迁本领强弱的三个爱因斯坦系数A21、B21、B12。尽管这三个系数含义不同，但它们都是表征原子本身的特性，而且在光场和大量原子系统的相互作用下，自发辐射、受激辐射和受激吸收三个过程是同时发生的。因此，这三个系数之间必然存在着内在联系。

为了推导三个系数之间的关系，有必要了解一下热平衡状态下，物质中粒子数在各能级的分布规律。

当物体处于热平衡状态时，每个能级上都具有确定的粒子数，能级Ei上所具有的粒子数ni也被称为集居数，其分布规律服从玻耳兹曼（Ludwig Boltzman）定律，即

式中，ni为集居数（Ei能级上的粒子数）；fi为Ei能级的统计权重（为常数）；kb为玻耳兹曼常数，kb=1.38×10-23J/K。

从式（2-13）可看出：温度越高，粒子数也越多；能级越高，粒子数越少，如图2-5所示。

两个能级的粒子数之比为

式中，f1，f2为E1，E2能级的统计权重；n1为E1能级粒子数密度；n2为E2能级粒子数密度；T为热平衡状态的温度。

由式（2-14）可看出：两能级的粒子数之比与能级的能量大小E1、E2无关，只与它们的能量差（E2-E1）有关；当两能级间能量差一定时，温度越高，粒子数之比也越大；比值在0～1之间。

【例2-1】氖原子的某一激发态和基态能级的能量差ΔE为16.9eV，若该原子体系处于室温（T=300K），它处于激发态的原子数与处于基态的原子数之比是多少？（f1=f2）

解：根据玻耳兹曼分布定律有

所以在正常情况下，处于基态的原子数量是最多的；能级越高，处于该能级的原子数就越少。

【例2-2】室温下（T=300K），某物质中E1和E2两能级的能量差为0.5eV。计算E2能级粒子数与E1能级粒子数之比。当原子从E2能级跃迁到E1能级时，辐射出的光子波长为多少？

解：根据玻耳兹曼分布定律有

计算结果表明，室温下，处于基态的粒子数是处于激发态E2能级的粒子数的2.5×108倍。

计算波长：

可见此波长位于近红外波段。

光场与物质相互作用的结果应该使物质处于温度为T的热平衡状态。达到平衡时，单位体积单位时间内通过吸收过程从基态跃迁到激发态的原子数，等于从激发态通过自发辐射和受激辐射跃迁回基态的原子数，即

或

将式（2-14）代入式（2-16）中，可得

从式（2-17）可求出光场的单色辐射能量密度，即

而根据黑体辐射的普朗克公式，热平衡状态下黑体单色辐射能量密度

比较式（2-18）和式（2-19），可得到三个爱因斯坦系数之间的关系为

若f1=f2，则有B12=B21。