1.1 二维傅里叶变换

1.1.1 δ函数和其他常用函数

1. 阶跃函数

函数图形见图1.1-1（a）。step（x-x0）则表示间断点移到x0 的阶跃函数。当它和某函数相乘时，x＞x0 的部分，乘积等于原函数；x＜x0 的部分，乘积恒为零。因而阶跃函数的作用如同一个“开关”，可以某点为界“开启”或“关闭”另一个函数。常用它表示直边（或刀口）的透过率。

2. 符号函数

函数图形见图1.1-1（b）。注意它与阶跃函数的联系：

sgn（x-x0）则表示间断点移到x0 的符号函数。当它与某函数相乘时，可使x＜x0 部分函数的极性（正负号）改变。例如某孔径的一半嵌有π的位相板，可利用符号函数来描述它的复振幅透过率。

3. 矩形函数

函数以原点为中心，宽度为a，高度为1（见图1.1-1（c））。当a=1时，矩形函数为rect（x）。二维矩形函数，可表示成一维矩形函数的乘积：，式中a＞0，b＞0，它在xy平面上，以原点为中心，a ×b的矩形范围内，函数值为1；其他地方处处为零。当a=b=1时，则二维矩形函数表示成rect（x）rect（y）。

光学上常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透过率。它与某函数相乘时，可限制函数自变量的范围，起到截取的作用，故又常称之为“门函数”。

4. 三角形函数

式中，a＞0，函数以原点为中心，是底边宽为2a的三角形（见图1.1-1（d））。当a=1时，三角形函数为tri（x）。二维三角形函数可表示为一维三角形函数的乘积：，式中， a＞0，b＞0。当a=b=1时，则三角形函数表示成tri（x）tri（y）。

三角形函数可用来表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。

5. sinc函数

式中，a＞0，函数在原点具有最大值 1，零点位置在 x = ± na（n =1，2，3，…）处，参见图（1.1-1（e））。当a=1时，有sinc（x）=sinπxπx，它的零点位于x= ± 1，± 2，± 3，…处。

二维sinc函数可以表示为：，式中，a ＞0，b ＞0。零点位置在（± na， ± mb），n和m均为正整数。

sinc函数常用来描述狭缝或矩孔的夫琅禾费衍射图样。

6. 高斯函数

见图1.1-1（f），函数在原点具有最大值1，曲线下的面积为a（a＞0）。当a=1时，Gaus（x）=exp[ -πx2]。

二维高斯函数可以表示为

式中，a＞0，b＞0，函数曲面下的体积等于ab。当a=b=1时，有

也可用极坐标表示，令r2 =x2 +y2，有

高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束。

7. 圆域函数

参见图1.1-1（g），函数呈圆柱形，底半径为r0，高度为1。在极坐标系中写成。 当r0 =1时，圆域函数为circ（r）。

圆域函数常用来表示圆孔的透过率。

8. δ函数

二维空间δ函数的一般定义是

定义式表明，在原点以外脉冲函数的值恒为零，而在原点附近无限小的范围内，函数积分为1。

常用δ函数代表点质量、点电荷、点脉冲、点光源或者其他在某一坐标系中高度集中的物理量。对于实际物理量，当然这只是一种理想化处理，其目的在于使许多物理过程的研究更加方便。例如，线性系统的性质可由其对脉冲输入的响应来决定。任意复杂的输入函数可分解为许多适当分布和加权的δ函数，把它们分别作用于系统，各脉冲产生响应的线性叠加即为系统总的响应。

δ函数的另一种定义方式是把它看做由一些普通函数构成的序列的极限。函数的宽度逐渐减小，幅度逐渐增大，体积保持为1。δ函数定义为它们的极限：

图1.1-2示出了 δ 函数的图示方法，它用带箭头的竖线表示，具有单位长度，相应于δ函数的体积。

下面列出δ函数的常用性质，这些性质都可由脉冲函数的定义直接导出（本书未予证明）。

（1）筛选性质

在φ（x，y）连续的各点上，可通过位于（x0，y0）点的脉冲函数对φ（x，y）的作用，筛选出φ（x0，y0）。

（2）比例变化性质

（3）δ函数与普通函数的乘积

假定h（x，y）在（x0，y0）点连续。

9. 梳函数

沿x轴分布，间隔都等于1的无穷多脉冲函数，可用梳函数表示，即

式中，n取整数。利用δ函数的比例变化性质，可以把间隔为τ的等间距脉冲序列表示为梳函数形式

梳函数与普通函数的乘积是

显然，可以利用梳函数对其他普通函数做等间距抽样。

在x，y方向间隔分别等于a和b（a＞0，b＞0）的二维脉冲阵列，可以表示为

当a=b=1时，则有

图1.1-3给出一维和二维梳函数的图示方法。光学上常用梳函数表示点光源的阵列，或小孔阵列的透过率函数。

1.1.2 卷积和相关

1. 卷积

（1）卷积的定义

两个复值函数f（x，y）和h（x，y）的卷积定义为

式中，∗号表示卷积运算。f（x，y）和h（x，y）的变量改为和η，作为积分变量。x，y表示函数之一在，η平面上的位移量。

采用图解分析有助于理解卷积运算的真实含义。见图1.1-4中两个一维函数卷积的例子。

f（x）和h（x）的卷积为

根据定义，卷积的具体过程是：把自变量改为τ，画出f（τ）和h（-τ）。只要将h（τ）相对纵轴折叠便得到其镜像h（-τ）；再把它沿横轴平移x=x0，就得到了h（x0 -τ）。

当x＞0时，h（-τ）右移；当x＜0时，h（-τ）左移。为计算卷积，需对-∞ ～ +∞的每一个x值，都有一个h（x-τ），使它和f（τ）相乘，计算出f（τ）h（x0 -τ）乘积曲线下的面积，就得到了与位移量x0 相应的卷积值g（x0）。在图1.1-4中，选取x= ，0，，1，，2，分别算出f（τ）h（x-τ）乘积曲线下的面积，并利用这些结果画出g（x）的完整曲线。

上述卷积的图解方法，概括起来有四个步骤：折叠、位移、相乘、积分。图解方法在系统分析中是很有用的，它使我们能直观地理解许多抽象的关系。在直接计算卷积积分时，图解方法也有助于确定积分限。再看图1.1-5所示的例子，作卷积运算的函数是

当x≤0时，乘积f（τ）h（x-τ）为零，结果使g（x）=0。

当x＞0时，计算f（τ）h（x-τ）乘积曲线下的面积：

应当注意卷积运算的两个效应：

① 展宽 假如函数只在一个有限区间内不为零，这个区间可称为函数的宽度。一般来说，卷积的宽度等于被卷函数的宽度之和。例如，图1.1-4中卷积得到的三角形函数宽度就等于两个参与卷积的矩形函数宽度之和。

② 平滑化 被卷积的函数经过卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑。当然，平滑化的程度取决于被卷函数的结构。举一个实例说明这点：用矩形函数表示狭缝的透过率h（x），对光强的空间分布f（x）扫描，在狭缝后面用光电探测器记录光强分布g（x）。这一扫描记录的物理过程包含了平移、相乘、积分等几个环节，h（x）是偶函数，折叠不发生变化。因而这是一个卷积运算过程。当狭缝很窄时，g（x）接近于f（x）。狭缝越宽，平滑化越严重，g（x）中已失去f（x）的细节（见图1.1-6）。

（2）卷积运算定律

① 交换律

② 分配律

③ 结合律

（3）包含脉冲函数的卷积

任意函数f（x，y）与δ函数卷积

注意δ函数是偶函数，并利用其筛选性质得到

即任意函数f（x，y）与δ函数卷积，得出函数f（x，y）本身。将上式做简单推广得到

卷积的结果是把函数f（x，y）平移到脉冲所在的空间位置。

2. 相关

（1）互相关

两个复函数f（x，y）和g（x，y）的互相关定义为

式中，g∗是函数g的复共轭，★号表示相关运算。

若令-x=，η-y=η′，可以得到互相关定义的另一种形式：

若f和g是一维函数，互相关定义为

相关与卷积相比较差别仅在于：相关运算中函数g应取复共轭，但不需要折叠；而位移、相乘、积分的三个步骤是同样的。两个实函数（阶跃函数和负指数函数）的互相关图解分析见图1.1-7，与图1.1-5相比较，相关与卷积的结果完全不同。

互相关也可用卷积符号表示，即

显然，只有当g为实的偶函数时，才有f（x）★g（x）=f（x）∗g（x）。

互相关运算不满足交换律。若rfg（x，y）=f（x，y）★g（x，y）， rgf（x，y）=g（x，y）★f（x，y），则rfg（x，y）≠rgf（x，y）。

因此，相关计算时应注意两个函数的顺序，以及哪一个函数取复共轭，这一点和卷积很不同。

互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度。两个完全不同的、毫无关系的信号，对所有位置，它们互相关的值应为零。假如两个信号由于某种物理上的联系在一些部位存在相似性，在相应位置上就存在非零的互相关。图1.1-8中示出两个实函数相关的例子，在x=x0 处可看到相关峰值。

（2）自相关

复函数f（x，y）的自相关定义为

一维自相关函数定义为

对于复函数f（x，y），利用式（1.1-36）可知其自相关函数是厄米的，即

对于实函数f（x，y），自相关函数是实的偶函数，

自相关函数有一个重要的性质：它的模在原点最大，即

自相关函数乃是自变量相差某一大小时，函数值间相关的量度。当x=y=0时，f（，η）f∗（-x，η-y）就等于 2，对于每个（，η）点，这个值总是正的，积分rff（0，0）将有最大f（，η）值。当信号相对本身有平移时，就改变了位移为零时具有的逐点相似性，自相关的模减小。但是只要信号本身在不同部位存在相似结构，相应部位还会产生不为零的自相关值；当位移足够大时，自相关值可能趋于零。图1.1-9示出了实函数自相关的例子。

1.1.3 二维傅里叶变换定义及存在条件

函数f（x，y）的二维傅里叶变换定义为

记做F{f（x，y）}。式中x，y，fx，fy均为实变量，f（x，y）可为实函数，也可为复函数。F（fx，fy）是否为复函数取决于f（x，y）的性态。

类似地，可以定义傅里叶逆变换为

根据欧拉公式，exp[j2π（fxx + fyy）]可用频率为 fx，fy 的 x，y 的余（正）弦函数表示。式（1.1-44）表示函数f（x，y）是各种频率为fx，fy 的x，y的余（正）弦函数的叠加，叠加时的权重因子是F（fx，fy）。因此F（fx，fy）常称为函数f（x，y）的频谱。

什么情况下傅里叶积分才有意义？或者说傅里叶变换存在的条件是什么？假如函数f（x，y）满足下述条件：

① f（x，y）在整个xy平面绝对可积，即。

② 在任一有限区域里，f（x，y）必须只有有限个间断点和有限个极大和极小点。

③ f（x，y）必须没有无穷大间断点。

则函数f（x，y）的傅里叶变换存在。布拉塞维尔（Bracewell）曾指出：“物理上的可能是一个变换存在的很有力的充分条件。”然而，在分析系统时，为了方便，往往用理想化的数学函数来近似实际的物理波形，这些函数常不符合上述条件，如 δ函数、正余弦函数、阶跃函数等。显然，若希望用傅里叶分析讨论更多的有用函数，必须对傅里叶变换定义做些推广。

1.1.4 广义傅里叶变换

若函数可以看做某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中每一函数进行变换，组成一个新的变换式序列，这个新序列的极限就是原来函数的广义傅里叶变换。

以函数g（x，y）=1为例说明广义变换的计算。显然它不符合傅里叶变换存在条件，但可以把它定义为矩形函数序列的极限

不难求出矩形函数的傅里叶变换

根据广义变换定义

即

广义变换可以按照和通常变换相同的规则进行运算，而不再考虑二者的差别。当一个函数不满足变换存在的条件时，我们仍说它有一个变换式，这实际上就是指广义变换。

1.1.5 虚、实、奇、偶函数傅里叶变换的性质

利用欧拉公式，可把式（1.1-43）写成

如果 f（x，y）=fr（x，y）+j fi（x，y）

其中fr（x，y）和fi（x，y）分别为复函数f（x，y）的实部和虚部，则上式进一步化为

其中，R（fx，fy）和I（fx，fy）分别为复函数F（fx，fy）的实部和虚部。当f（x，y）具有下述特性时，上式还能进一步简化，其傅里叶变换也表现出相应的特殊性质：

（1）f（x，y）是实函数，即f（x，y）=fr（x，y）时，有

R（fx，fy）为偶函数，I（fx，fy）为奇函数，因而F（fx，fy）是厄米型函数，即

（2）f（x，y）是实值偶函数，则

因为F（fx，fy）=F（-fx，-fy），所以F（fx，fy）也是实值偶函数。

（3）f（x，y）是实值奇函数，则

因为F（fx，fy）= -F（-fx，-fy），所以F（fx，fy）是虚值奇函数。

显然，傅里叶变换并不改变函数的奇偶性，通常把这个性质称为傅里叶变换的对称性。

表1.1-1中列出了虚、实、奇、偶函数的傅里叶变换性质。我们不再一一证明。

① 若实部为奇函数，虚部为偶函数，则函数是反厄米型函数。

1.1.6 傅里叶变换定理

设函数g（x，y）和h（x，y）的傅里叶变换分别为G（fx，fy）和H（fx，fy），则有以下定理。

（1）线性定理

即两个函数之和的变换等于它们各自变换之和。

（2）相似性定理

即空域中坐标（x，y）的扩展，导致频域中坐标（fx，fy）的压缩及频谱幅度的变化

（3）位移定理

即函数在空域中平移，带来频域中的线性相移。另一方面有

即函数在空域的相移，会导致频谱的位移。

（4）帕色伐尔（Parseval）定理

若g（x，y）表示一个实际的物理信号， G（fx，fy）2 通常称为信号的功率谱（或能量谱）。该定理表明信号在空域的能量与其在频域的能量守恒。

（5）卷积定理

即空间域两个函数的卷积，对应在频域得到它们各自变换式的乘积。

另一方面有

当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用卷积定理就可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的变换式。而且卷积定理为获得两个函数的卷积提供了另一途径，即将两函数的变换式相乘，再对乘积做逆变换。

（6）自相关定理（维纳-辛钦定理）

即信号的自相关和功率谱之间存在傅里叶变换关系。

另一方面有

（7）傅里叶积分定理

在g的各个连续点上

即对函数相继进行变换和逆变换，又重新得到原函数。

1.1.7 可分离变量函数的变换

在某个坐标系中，一个二维函数如能表示为两个一维函数的乘积，则称此函数在这种坐标系中是可分离的。例如，若

g（x，y）=gx（x）·gy（y）

则函数g在直角坐标系中是可分离的。它的傅里叶变换式为

即函数g的二维傅里叶变换式，只是两个一维傅里叶变换式的乘积。由于函数的可分离性，使复杂的二维计算简化为更简单的一维计算。

1.1.8 傅里叶－贝塞尔变换

极坐标中的函数g，若它仅仅是半径r的函数，即

g（r，θ）=gR（r）

则称它是圆对称的。由于光学系统通常具有圆对称性，研究圆对称函数的傅里叶变换是十分必要的。

g在直角坐标中的傅里叶变换式为

把xy平面和fxfy平面用直角坐标表示的变量变换为极坐标表示的变量：

则式（1.1-60）变为

利用贝塞尔恒等式

式中，J0 是零阶第一类贝塞尔函数。把它代入式（1.1-61），得到

由于变换式不再依赖于角度φ，而仅仅是半径ρ的函数，因此可用G（ρ）替代G（ρ，φ）。即圆对称函数的傅里叶变换式本身也是圆对称的，它可通过一维计算求出。称傅里叶变换的这种特殊形式为傅里叶-贝塞尔变换或零阶汉克尔变换，用符号B{}表示。

用完全类似的方法可证明圆对称函数G（ρ）的逆变换为

因此，对于圆对称函数变换和逆变换运算并没有差别，只不过前者积分在空间域，后者积分在频率域。

傅里叶-贝塞尔变换只不过是二维傅里叶变换用于圆对称函数的一个特殊情况，因而傅里叶变换的有关定理完全适用于傅里叶-贝塞尔变换，只不过这些定理有不同的表述方式。例如，相似性定理为

傅里叶积分定理：在gR（r）连续的每一r值上有

1.1.9 周期函数的傅里叶变换

引入广义函数概念后，可以直接对周期函数进行傅里叶变换。先把周期函数g（x）表示为傅里叶级数形式

其中f0 是函数g（x）的基频。根据傅里叶变换定义

交换求和与积分的先后次序，得到

利用式（1.1-45）和变换的位移定理得

结果表明，周期函数的频谱由一系列适当加权的δ函数构成，是频率间隔为f0 的离散谱。

显然，傅里叶级数可以看做傅里叶变换的一种特殊情况

1.1.10 一些常用函数的傅里叶变换式

1. δ函数

利用δ函数筛选性质

因此 F {δ（x）} =1

同理可证明对于二维δ函数有

2. 梳函数

梳函数可以看做周期函数，把它展开为傅里叶级数

式中，f0 =1/τ，傅里叶系数为

因此

即

或者

当τ=1时，有 F {comb（x）} =comb（f）

对于二维梳函数有

3. 矩形函数

二维矩形函数是可分离的函数，不难求出

4. 高斯函数

由于，所以

即高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数。由函数的可分离性，可以证明二维高斯函数的变换式为

5. 余弦函数

同理可证

6. 三角形函数

三角形函数可以看做两个矩形函数的卷积。利用卷积定理和矩形函数的傅里叶变换式可以很方便地计算三角形函数的傅里叶变换。

图1.1-10所示为利用卷积定理的图解方法。这种方法用图形表示出函数在空间域和频率域的对应关系，分析思路直观又便于记忆。

7. 圆域函数

由于函数是圆对称的，利用傅里叶-贝塞尔变换式

做变量置换，令r′=2πrρ，并利用恒等式

则有

式中，J1 是一阶第一类贝塞尔函数。图1.1-11示出了圆域函数变换的结果，它也是圆对称的，中央峰值为π，零点位置是不等距的。

一些常用的傅里叶变换对见表1.1-2。