第四章 正弦交流电路

复习内容

本章主要介绍了正弦交流电的基本概念、表示方法和正弦交流电路的分析计算方法。

1．了解正弦交流电的产生过程。

2．熟练掌握正弦交流电的基本概念及主要参数。

3．掌握正弦交流电的各种表示方法及相互间的关系。

4．会用相量图分析和计算简单的交流电路。

5．熟练掌握纯电阻 电路、纯电感电路、纯电容电路和RLC串联电路的分析方法，并能熟练计算相关物理量。

6．熟练掌握交流电路中有功功率、无功功率、视在功率和功率因数的概念和计算，了解提高功率因数的意义和方法。

4.1 正弦交流电的基本概念

一、正弦交流电的产生过程

（一）正弦交流电的产生过程

1．正弦交流电：大小和方向都随时间做周期性变化的电动势、电压和电流分别叫做交变电动势、交变电压、交变电流，统称为交流电。

2．正弦交流电的产生：将矩形线圈置于匀强磁场中匀速转动，产生按正弦规律变化的交流电，叫做正弦交流电，它是一种最简单而又最基本的交流电。

3．正弦交流电一般表达式。

正弦交流电在时域内可用正弦或余弦函数来表示：

e=Emsin（ωt+φe）

i=Imsin（ωt+φi）

u=Umsin（ωt+φu）

式中，Em、Im、Um称为这些正弦量的最大值。

（二）正弦交流电波形图

正弦交流电的变化规律也可以用波形图直观地表示出来，如图1-4所示。

二、正弦交流电的三要素

（一）正弦交流电的三要素

振幅、初相、频率称为正弦交流电的三要素。

（二）正弦交流电的角频率、周期和频率

1．角频率：交流电每秒钟变化的电角度，用ω表示，单位为弧度/秒（rad/s）。

2．周期：交流电完成一次周期性变化所需的时间，用T表示，单位为秒（s）。

3．频率：交流电在1秒钟内完成周期性变化的次数，用f表示，单位为赫兹（Hz）。它们之间的关系如下：

（三）正弦交流电的最大值、有效值和平均值

1．最大值。

正弦交流电在时域内可用正弦或余弦函数来表示：

e=Emsin（ωt+φe）

i=Imsin（ωt+φi）

u=Umsin（ωt+φu）

式中，Em、Im、Um称为这些正弦量的最大值。

2．有效值。

把交流电i与直流电I分别通过两个相同电阻，如果在相同时间内产生的热量相同，则该直流电的数值I就叫交流电i的有效值。我们平时所说的交流电的值都是有效值。

3．正弦交流电的有效值和最大值的关系：

4．平均值与最大值的关系。

平均值是指交流电压或电流在半个周期内所有瞬时值的平均数，是最大值的2/π，即0.637。

（四）正弦交流电的相位和相位差

1．初相：正弦交流电解析式中ωt+φ0称为交流电的相位，又称相角。计时开始时刻，即t=0时的相位φ0叫初相，它反映了交流电起始时刻的状态。

2．相位差：两个同频率正弦量的相位之差，即初相之差。表征两个同频率正弦量变化的步调，即在时间上超前或滞后到达正、负最大值或零值的关系，用φ表示。

3．相位关系：

（1）若φ＞0，则称u在相位上超前i一个φ角；

（2）若φ＜0，则称u在相位上滞后i一个φ角；

（3）若φ=0，则称u与i同相；

（4）若，则称u与i正交；

（5）若φ=π，则称u与i反相。

初相随计时起点的改变而改变，而相位差则保持不变，两者均在-π~+π范围内取值。

4.2 正弦交流电的表示方法

1．正弦交流电的表示方法

正弦交流电的表示方法有解析式法、波形图法、矢量（相量）图法。

2．矢量图表示法

用初始位置的矢量表示一个正弦量，矢量的长度与正弦量的最大值或有效值成正比，矢量与横轴正方向的夹角等于正弦量的初相，这种方法称为正弦量的矢量图表示法。矢量图参考教材第93页图4-11和图4-12。可以利用平行四边形法则进行矢量运算（参考教材第94页图4-13）。

特别指出，用矢量图表示法只能求解同频率正弦量的和或差。

4.3 正弦交流电路

一、纯电阻电路

（一）纯电阻电路中电压与电流的关系

1．电压与电流的大小：

式中，U、I指的是电压、电流的有效值。

2．电压与电流的相位关系：电压与电流同相即φu=φi。

（二）纯电阻电路的功率

（1）瞬时功率：p=ui=UI-UIcos2ωt

（2）平均功率（有功功率）：P=UI

二、纯电感电路

（一）电感对交流电的阻碍作用

1．感抗：电感对交流电的阻碍作用称为感抗。

2．感抗的计算：XL=ωL=2πfL

式中，XL、L、f的单位分别是Ω（欧姆）、H（亨）、Hz（赫兹）。

3．电感线圈的特性：电感线圈具有“通直流、阻交流”和“通低频、阻高频”的特性。

（二）纯电感电路中电压与电流的关系

1．电压与电流的大小：

XL=ωL=2πfL

2．电压与电流的相位关系：电压超前电流π/2，即

φu-φi=π/2

（三）纯电感电路功率

1．瞬时功率：pL=uLi=ULIsin2ωt

2．有功功率：PL=0

3．无功功率：，单位是乏（var），表征电感元件与电源之间能量交换的最大速率。

三、纯电容电路

（一）电容对交流电的阻碍作用

1．容抗：电容对交流电的阻碍作用称为容抗。

2．容抗的计算：XC=1/ωC=1/2πfC

式中，XC、C、f的单位分别是Ω（欧姆）、F（法）、Hz（赫兹）。

3．电容的特性：电容具有“通交流、阻直流”和“通高频、阻低频”的特性。

（二）纯电容电路中电压与电流的关系

1．电压与电流的大小关系：

2．电压与电流的相位关系：电压滞后电流π/2，即

φu-φi= -π/2

（三）纯电容电路的功率

1．瞬时功率：pC=uCi=UCIsin2ωt

2．有功功率：PC=0

3．无功功率：，单位是乏（var），表征电容元件与电源之间能量交换的最大速率。

四、RLC串联电路

（一）RLC串联电路端电压与电流的相位关系

1．XL＞XC，X＞0，φ＞0，总电压u超前电流i锐角φ，电路呈电感性，称为感性电路。

2．XL＜XC，X＜0，φ＜0，总电压u滞后电流i锐角φ，电路呈电容性，称为容性电路。

3．XL=XC，X=0，φ=0，总电压u与电流i同相，电路呈电阻性，称为串联谐振电路。

（二）RLC串联电路端电压与电流的大小关系

1．RLC串联电路中欧姆定律的表达式：

2．RLC串联电路端电压间的大小关系

（1）瞬时值间的关系（参考教材第87页图5-27）：

u=uR+uL+uC

（2）有效值间的关系：

（3）电压三角形：

其中，

3.RLC串联电路总阻抗：

阻抗的单位是欧姆（Ω）。

（1）电抗：

X=XL-XC

电抗的单位是欧姆（Ω）。

（2）阻抗三角形：

（3）阻抗角：

（三）RLC串联电路的两个特例

1.RL串联电路

（1）电压间的关系：

此时总电压超前电流的角度为：

（2）电流：

（3）阻抗：

（4）阻抗角：

2．RC串联电路

（1）电压间的关系：

此时总电压滞后电流的角度为：

（2）电流：

（3）阻抗：

（4）阻抗角：

（四）RLC串联电路的功率

1．有功功率：电阻上所消耗的功率。

2．无功功率：QL和QC分别表征它们能量交换的最大速率。

Q=ULI- UCI=（UL- UC）I=I2（XL-XC）=UIsin φ

3．视在功率：表征电源提供的总功率。

P=Scos φ Q=Ssin φ

（五）功率因数

有功功率与视在功率的比值叫功率因数。表征电源功率被利用的程度用λ表示。

1．功率因数：

2．提高功率因数的意义。

（1）可充分发挥电源设备的潜在能力，提高经济效益；

（2）大大减小输电线路的电压损耗和功率损耗，节省电能。

3．提高功率因数的方法。

（1）提高用电设备本身的功率因数；

（2）在感性负载上并联电容器。提高功率因数的方法参考教材第112页。