0.2 计算机中的数制与码制

0.2.1 计算机中的数

计算机内部由触发器、计数器、加法器、逻辑门等基本的数字电路构成。数字电路具有两种不同的稳定状态且能相互转换，用“0”和“1”表示最为方便。因此，计算机处理的一切信息包括数据、指令、字符、颜色、语音、图像等均用二进制数表示。但是二进制数书写起来太长，且不便于阅读和记忆，所以微型计算机中的二进制数都采用十六进制数来缩写。十六进制数用0～9、A～F等16个数码表示十进制数0～15。然而人们最熟悉、最常用的是十进制数。为此，要熟练掌握二进制数、十六进制数、十进制数的表示方法及它们相互之间的转换。它们之间的关系如表0-1所示。为了区别十进制数、二进制数及十六进制数，在数的后面加一字母，用B（Binary）表示二进制数；D（Decimal）或不带字母表示十进制数；H（Hexadecimal）表示十六进制数。

表0-1 不同进位记数制对照表

1.二进制数和十六进制数间的相互转换

二进制整数转换为十六进制数，其方法是将二进制数从右（最低位）向左每4位为1组分组，最后一组若不足4位则在其左边添加0，以凑成4位，每组用1位十六进制数表示。如

1111111000111B→1111111000111B→0001111111000111B=1FC7H

十六进制数转换为二进制数，只需用4位二进制数代替1位十六进制数即可。如

3AB9H=0011101010111001B

2.十六进制数和十进制数间的相互转换

十六进制数转换为十进制数十分简单，只需将十六进制数按权展开相加即可。如

1F3DH=163×1+162×15+161×3+160×13

=4096×1+256×15+16×3+1×13

=4096+3840+48+13=7997

十进制整数转换为十六进制数可用除16取余法，即用16不断地去除待转换的十进制数，直至商等于0为止。将所得的各次余数依倒序排列，即可得到所转换的十六进制数。如将38947转换为十六进制数，其方法及算式如下：

即38947=9823H。

3.计算机中数的几个概念

（1）机器数与真值

机器数：机器中数的表示形式。它将数的正、负符号和数值部分一起进行二进制编码，其位数通常为8的整数倍。

真值：机器数所代表的实际数值的正负和大小，是人们习惯表示的数。

有符号数：机器数最高位为符号位，“0”表示“+”（正），“1”表示“-”（负）的数。

无符号数：机器数最高位不作为符号位，而是当做数值的数。

（2）数的单位

位（bit）：一个二进制数中的1位，其值不是1，便是0。

字节（Byte）：一个字节，就是一个8位的二进制数，是计算机数据的基本单位。

字（Word）:两个字节，就是一个16位的二进制数，它需要两个单元存放。

双字：两个字，即4字节，一个32位二进制数，它需要4个单元存放。

因此，只有8位、16位或32位机器数的最高位才是符号位。

0.2.2 计算机中的有符号数的表示

符号数有原码、反码和补码3种表示法。

1.原码

数值用其绝对值，正数的符号位用“0”表示，负数的符号位用“1”表示。如：

8位原码数的范围为FFH～7FH（-127～127）。原码数00H和80H的数值部分相同、符号位相反，它们分别为+0和-0。16位原码数的数值范围为FFFFH～7FFFH（-32767～32767）。原码数0000H和8000H的数值部分相同、符号位相反，它们分别为+0和-0。

原码表示简单易懂，而且与真值的转换方便。但若是两个异号数相加，或两个同号数相减，就要做减法。为了把减运算转换为加运算，简化计算机的结构，就引进了反码和补码。

2.反码

正数的反码与原码相同；负数的反码：符号位不变，数值部分按位取反。

例如，求8位反码机器数：

3.补码

正数的补码与原码相同；负数的补码为其反码加1。

例如，求X1和X2的8位补码：

X1=+4：[X1]原=[X1]反=[X1]补=00000100=04H
X2=-4：[X2]原=10000100，[X2]反=11111011，[X2]补=[X2]反+1=11111100=FCH

8位补码数的数值范围为-128～127（80H～7FH），16位补码数的数值范围为8000H～7FFFH（-32768～32767）。字节80H和字8000H的真值分别是-128（-80H）和-32768（-8000H）。补码数80H和8000H的最高位既代表了符号为负，又代表了数值为1。

求补码除了上面的反码加1的方法外，还有以下方法。

①快速求法：将负数原码的最前面的1和最后一个1之间的每一位取反。例如

②两数互补是针对一定的“模”而言的，“模”即计数系统的过量程回零值，如时钟以12为模（12点也称0点），4和8互补；一位十进制数3和7互补（因为3+7=10，个位回零，模为101=10）；两位十进制数35和65互补（因为35+65=100，十进制数两位回零，模为102=100）；而对于8位二进制数，模为28=100000000B=100H；同理16位二进制数，模为216=10000H。由此得出求补的通用方法：一个数的补数=模-该数。这里补数是对任意数而言的，包括正、负数；而补码是针对符号机器数而言的，因此，求补和求补码是有区别的。下面用[X]补表示X的补码。

设有原码机器数X，则：

例如，对于8位二进制数：

对于16位二进制数：

4.几点说明

①根据两数互为补的原理，对一个补码机器数求补码就可以得到其原码；将原码的符号位变为正、负号，即是它的真值。

例如，求补码数FAH的真值。因为FAH为负数，求补码[FAH]补=86H=-6。又如，求补码数78H的真值。因为78H为正数，求补码[78H]补=78H=+120。

②一个用补码表示的机器数，若最高位为0，则其余几位即为此数的绝对值；若最高位为1，其余几位不是此数的绝对值，必须把该数求补（按位取反（包括符号位）加1），才得到它的绝对值。如X=-15，[-15]补=F1H=11110001B，求补得00001110+1=00001111B=15。

③当数采用补码表示时，就可以把减法转换为加法。

【例0-1】 64-10=64+（-10）=54

结果相同，其真值为36H（=54）。由于数的8位限制，最高位的进位自然丢失，在计算机中，进位被存放在进位标志CY中。用补码表示后，减法均可以用补码相加完成。因此，在计算机中，凡是符号数一律用补码表示，用加法器完成加、减运算，用加法器和移位寄存器完成乘、除运算，以简化计算机结构。

【例0-2】 34-68=34+（-68）=-34

34=22H=00100010B68=44H=01000100B[-68]补=10111100B

结果相同。因为符号位为1，对其求补，得其真值：-00100010B，即为-34（-22H）。

由上面两个例子还可以看出：

①补码运算后的结果为补码，需再次求补才能得到运算结果的真值；

②用补码相加完成两数相减，相减若无借位，化为补码相加就会有进位；相减若有借位，化为补码相加就不会有进位。

0.2.3 进位和溢出

【例0-3】105+50=155

若把结果9BH视为无符号数，为155，结果是正确的。若将此结果视为符号数，其符号位为1，应求其补码得-65H，即-101。两正数相加结果为负，这显然是错误的。其原因是和数155大于8位符号数所能表示的补码数的最大值127，使数值部分占据了符号位的位置，产生了溢出，从而导致结果错误。又如：

两个负数相加，和应为负数，而结果01100101B却为正数，这显然是错误的。其原因是和数-155小于8位符号数所能表示的补码数的最小值-128，也产生了溢出。

结论：当两个补码数相加结果超出补码的表示范围时，就会产生溢出，导致结果错误。

计算机中设立了溢出标志位OV，通过最高位的进位（符号位的进位）CY和次高位进位（低位向符号位的进位）CY-1异或产生。

【例0-4】 74+74=4AH+4AH

例0-3中 OV=1，CY=1，例0-4中OV=1，CY=0，由此可见，溢出和进位并非有必然的联系，这是由于两者产生的原因不同，两者判断的方法也不同，重述如下。

溢出OV：当两个补码数相加结果超出补码表示范围就会产生溢出，OV=CYCY-1；

进位CY:当运算结果超出计算机位数的限制（8位、16位），会产生进位，它是由最高位运算产生的，在加法中表现为进位，在减法中表现为借位。

0.2.4 BCD码

生活中人们习惯使用十进制数，计算机只能识别二进制数，为了将十进制数变为二进制数表示，出现了BCD码（Binary Coded Decimal），即二进制代码表示的十进制数。顾名思义，它既是逢十进一，又是一组二进制代码。用4位二进制数编码表示1位十进制数称为压缩的BCD码，8位二进制数可以表示2个十进制数位。也可以用8位二进制数表示1个十进制数位，这种BCD码称为非压缩的BCD码。十进制数和BCD码的对应关系见表0-2。

表0-2 BCD编码表

【例0-5】 求十进制数876的BCD码。

压缩的BCD码：[876]BCD=100001110110B=876H

非压缩的BCD码：[876]BCD=000010000000011100000110B=080706H

例如，十进制数1994的压缩的BCD码为1994H，1994的非压缩的BCD码为01090904H。

由上例可见，求十进制数的BCD码无须经历每位数先变为二进制数，再变为十六进制数的过程，直接在十进制数后加H即可。这里要注意，BCD码是编码，它和真值是有差别的。

0.2.5 BCD码的运算

BCD码运算应该得到BCD码结果。由于计算机是按二进制数运算的，结果不为BCD码，因此要进行十进制调整。调整方法为：当计算结果有非BCD码或产生进、借位时，加法进行+6、减法进行-6调整运算。

【例0-6】 计算BCD码 78+69=？

【例0-7】 计算BCD码 38-29=？

在计算机中，有专门的调整指令完成调整操作。

0.2.6 ASCII码

表0-3 常用字符的ASCII码

美国标准信息交换码ASCII码（American Standard Code for Information Interchange），用8位二进制编码表示字符，用于计算机与计算机、计算机与外设之间传递信息。每一个符号都有对应的ASCII码，常用数字和字母的ASCII码如表0-3所列。在程序中，字符可用ASCII码表示，也可以用加引号的字符表示，例如字符4，可以用34H表示，也可以用“4”表示，此时，它只有符号的意义，而无数量的概念。