传感器与自动检测
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1.1.3 测量误差的分类及来源

在测量过程中,由于被测量千差万别,影响测量工作的因素非常多,使得测量误差的表现形式也多种多样,因此测量误差有不同的分类方法。按误差表现的规律划分为系统误差、随机误差、粗大误差和缓变误差。

1.系统误差

对同一被测量进行多次重复测量时,若误差固定不变或者按照一定规律变化,这种误差称为系统误差。系统误差主要是由于所使用仪器仪表误差、测量方法不完善、各种环境因素波动以及测量者个体差异等原因造成的。

(1)系统误差的分类

按照所表现出来的规律,通常把系统误差划分为四类。

① 固定不变的系统误差。

固定不变的系统误差是指在重复测量中,数值大小和符号均不变的系统误差。多数是由于测量设备的缺陷或者采用了不适当的测量方法造成的。例如,天平砝码的质量误差、观测者习惯性的错误观测角度等。固定不变的系统误差又叫恒值系统误差。

② 线性变化的系统误差。

线性变化的系统误差是指随着测量次数或时间的增加,数值按照一定比例而不断增加(或减少)的系统误差。例如,用齿轮流量计测量含有微小固体颗粒的液体时,由于磨损会使泄漏量越来越大,这样就产生了线性变化的系统误差。

③ 周期性变化的系统误差。

周期性变化的系统误差是指数值和符号循环交替、重复变化的系统误差。例如,用热电偶在露天环境下测温时,其冷端温度随着昼夜温度的变化做周期性变化。若不进行冷端温度补偿,测量结果必然包含有周期性变化的系统误差。

④ 复杂规律变化的系统误差。

复杂规律变化的系统误差是指既不随时间做线性变化,也不做周期性变化,而是按照复杂规律变化的系统误差。

线性、周期性或复杂规律变化的系统误差统称为变值系统误差。

系统误差反映了测量值偏离真值的程度,也可用“正确度”一词表征。

系统误差一般可通过实验或分析的方法,查明其变化的规律及产生的原因,因此,它是可以预测的,也是可以消除的。

(2)系统误差的发现

系统误差是由于被测量受到若干因素的显著影响而造成的,测量结果的影响也远比随机误差严重,所以必须想办法发现和消除系统误差的影响,把它降低到允许限度之内。

① 实验比对法。用多台同类或相近的仪表对同一被测量进行测量,通过分析测量结果的差异来判断系统误差是否存在。例如,用天平和台秤称量同一物体,即可发现台秤存在的系统误差。

② 残余误差观察法。将一个测量列的残余误差(测量值与测量值平均值之差)在pin坐标中依次连接后,通过观察误差曲线即可以判断有无系统误差的存在。如图1.2所示,图(a)不存在系统误差,图(b)存在线性变化的系统误差,图(c)存在周期性变化的系统误差,图(d)同时存在线性变化和周期性变化的系统误差。

图1.2 pi—n示意图

③ 准则判别法。有许多准则可以方便地判断出系统误差的存在,如马利科夫准则可以判断测量列中是否存在线性变化系统误差;阿贝-赫梅特准则可以判断测量列中是否存在周期性变化系统误差等。

(3)系统误差的减小和消除方法

为了进行正确的测量并取得可靠的数据,在测量前或测量过程中,应尽量消除产生系统误差的来源,同时检查测量系统和测量方法本身是否正确。

① 替代法。在测量条件不变的基础上,用标准量替代被测量,实现相同的测量效果,从而用标准量确定被测量。此法能有效地消除检测装置的系统误差。

② 零位式测量法。测量时将被测量x 与其已知的标准量 A 进行比较,调节标准量使两者的效应相抵消,系统达到平衡时,被测量等于标准量。

③ 补偿法。在传感器的结构设计中,常选用在同一干扰变量作用下所产生的误差数值相等而符号相反的零部件或元器件作为补偿元件。例如热电偶冷端温度补偿器的铜电阻。

④ 修正法。仪表的修正值已知时,将测量结果的指示值加上修正值,就可以得到被测量的实际值。此法可削弱测量中的系统误差。

⑤ 对称观测法(交叉读数法)。许多复杂变化的系统误差,在短时间内可近似看做线性系统误差。在测量过程中,合理设计测量步骤以获取对称的数据,配以相应的数据处理程序,从而得到与该影响无关的测量结果。这是消除线性系统误差的有效方法。

⑥ 半周期偶数观测法。周期性系统误差的特点是每隔半个周期所产生的误差大小相等、符号相反。假设系统误差表现为正弦规律,在τ1时刻误差表示为ε1=εm sin ωτ1,相隔半个周期的τ2时刻,即ωτ2=ωτ1+π,误差ε2 =εm sin ωτ2 =εm sin(ωτ1+π)=-εm sin ωτ1,取τ1τ2两个时刻测量值的平均值,则测量结果中就不含有周期性系统误差了。

2.随机误差

对同一被测量进行多次重复测量时,若误差的大小随机变化、不可预知,这种误差称为随机误差。随机误差是由很多复杂因素的微小变化引起的,尽管这些不可控微小因素中的一项对测量值的影响甚微,但这些因素的综合作用造成了各次测量值的差异。

(1)随机误差的统计特性

随机误差就单次测量而言是无规律的,其大小、方向均不可预知,既不能用实验的方法消除,也不能修正,但当测量次数无限增加时,该测量列中的各个测量误差出现的概率密度分布服从正态分布,即

式中,Δx = x - L为测量值的绝对误差,σ 为分布函数的标准误差。

测量结果符合正态分布曲线的例子非常多,例如,某校男生身高的分布、交流电源电压的波动等。由式(1.6)和图1.3不难看出,具有正态分布的随机误差具有对称性、单峰性、有界性和抵偿性等特征。

图1.3 随机误差的正态分布曲线

(2)随机误差的估计

随机误差反映了测量结果的“精密度”,即各个测量值之间相互接近的程度。对式(1.6)分析后可以发现,当σ 变化时,正态分布曲线的形状会随之改变。若σ 变小,则曲线尖锐,说明小误差出现的概率增大,大误差出现的概率减小,测量值都集中在真值附近,这时测量值的离散程度小;反之,若σ 增大,则曲线平坦,说明大误差和小误差出现的概率差异减小,测量值不是集中在真值附近,而是离散程度变大。这个现象说明,σ 值直接反映了测量结果的密集程度,因此常用σ 值来表征测量的精密度。

当对某个量x进行无限次测量时,各次测量误差平方和的平均值的平方根称为均方根误差,也叫标准误差,即

由于真值L0未知,且实际测量中的测量次数为有限值,所以通常用测量值的算术平均值x替代真值L0,x按下式计算

这时均方根误差可按下式计算

式中,pi称为残余误差(残差),它可表示为

式(1.9)称为贝塞尔公式,是求σ 值的近似公式。

在实际测量中,人们常关注测量值xi在真值附近某一范围的概率大小,此范围一般取标准误差σ 的若干倍 的对称区间,即[-],该区间称为置信区间或置信限,k称为置信系数,习惯上k取整数。误差落在置信区间[-]的概率称为置信概率Pk = 1时, P{|Δx|≤σ }=68.62%;k = 2时,P{|Δx|≤2σ }=95.44%;k = 3时,P{|Δx|≤3σ }=99.73%。由于误差出现在区间[-3σ , 3σ]的概率已经达到99.73%,可以认为某次测量的误差基本上都落在这个区间,所以可用3σ作为极限误差。

由于测量次数有限,因此L0仍有一定误差,只是L0的估计值。某个测量列的x与另一个测量列的之间也有区别,即x同样存在分散性问题。算术平均值的标准误差σ-与测量值的标准误差σ 的关系为

对于一个等精度的、独立的、有限的测量列来说,在没有系统误差和粗大误差的情况下,它的测量结果通常表示为

应该指出,在任何一次测量中,系统误差和随机误差一般都是同时存在的,而且两者之间并不存在绝对的界限。

3.粗大误差

测量结果明显偏离其实际值时所对应的误差称为粗大误差或疏忽误差,又叫过失误差。含有粗大误差的测量值称为坏值。

产生粗大误差的原因有操作者的失误、使用有缺陷的仪器、实验条件的突变等。正确的测量结果中不应包含粗大误差。

实际测量时必须根据一定的准则判断测量结果中是否包含有坏值,并在数据记录中将所有的坏值都予以剔除。同时,操作人员应加强工作责任心,对测量仪器进行经常性检查、维护、校验和修理等,以减少或消除粗大误差。

在无系统误差的条件下对被测量进行等精度测量后,若个别数据与其他数据有明显差异,则表明该数据可能包含粗大误差,这时应将其列为可疑数据。但可疑数据并不一定都是坏值,因此发现可疑数据时,要根据误差理论来决定取舍。

误差理论剔除坏值的基本方法是首先给定一个置信概率并确定一个置信区间,凡超出此区间的误差即认为它不属于随机误差而是粗大误差,应将该粗大误差所对应的坏值予以剔除。常用的拉依达准则(3σ 准则)规定:凡是随机误差大于3σ 的测量值都认为是坏值,应予以剔除。

4.缓变误差

数值随时间而缓慢变化的误差称为缓变误差,主要是由于测量仪表零件老化、失效、变形等原因造成的。这种误差在短时间内不易察觉,但在较长时间后会显露出来。通常可以采用定期校验的方法及时修正缓变误差。

此外,测量误差还有其他的分类方法。

按被测量与时间的关系划分,测量误差可分为静态误差和动态误差。静态误差是指被测量稳定不变时所产生的测量误差。动态误差指被测量随时间迅速变化时,系统的输出量在时间上却跟不上输入的变化而产生的误差。例如,用水银温度计插入 100℃的沸水中,水银柱不可能立即上升到100℃,此时读数必然产生动态误差。

按测量仪表的使用条件分类,可将误差分为基本误差和附加误差。基本误差是指传感器在标准条件下使用时所具有的误差,它属于系统误差。当使用条件偏离标准条件时,传感器必然在基本误差的基础上增加了新的系统误差,称为附加误差。

任务与实施

【任务】 在对被测量进行等精度多次重复测量,并取得一系列测量数据之后,就要对数据进行准确的加工整理和分析,以便得到一个较理想的测量结果。考虑到系统误差可以利用有关方法予以消除,故假定本任务给出的测量数据中不含有系统误差。

用温度传感器对某温度进行12次等精度测量,测量数据(℃)如下:

20.46、20.52、20.50、20.52、20.48、20.47、20.50、20.49、20.47、20.49、20.51、20.51

要求对该组数据进行分析整理,并列写出最后的测量结果。

【实施方案】 数据处理一般采取的步骤如下:

1.记录填表

将测量数据xii = 1,2,3,…,n)按测量序号依次列在表格的第1、2列中,如表1.2所示。

表1.2 测量结果的数据整理举例

2.计算

① 求出测量数据列的算术平均值,填入表1.2第2列的下面。

② 计算各测量值的残余误差pi =xi-,并相应列入表1.2中的第3列。当计算无误时,理论上有=,但实际上,由于计算过程的四舍五入所引入的误差,此关系式通常不能0满足。此处 =0.004≈0。

③ 计算值并列在表1.2第4列,按贝塞尔公式计算出标准误差σ 后,填入本列下面。

由于 =44.68 × -,于是104

3.判别坏值

根据拉依达准则检查测量数据中有无坏值。如果发现坏值,应将坏值剔除,然后从第 2步重新计算,直至数据列中不存在坏值。如果无坏值,则继续步骤4。

采用拉依达准则检查坏值,因为3σ = 0.06,而所有测量值的剩余误差pi均满足|pi|<3σ,显然数据中无坏值。

4.列写最后的测量结果

① 在确定不存在坏值后,计算算术平均值的标准误差-。

② 写出最后的测量结果:x= ±,并注明置信概率。

由于-=3× 0.006=0.018,因此最后的测量结果写为

x=20.493±0.018(℃)(p=99.7%)

5.思考

针对x=20.493±0.018(℃)的测量结果,有人认为最后的测量结果只有两个:20.475℃和20.511℃,对此你是如何理解的?