3.4 圆轴扭转的应力和强度
3.4.1 等直圆轴扭转时横截面上的应力
工程中最常见的轴是圆截面轴，本节将研究圆轴扭转时横截面上的应力分布规律，即确定横截面上各点的应力，分析将通过以下三个步骤进行：
（1） 根据实验观察到的扭转变形特征提出变形假设——平面假设，并据此导出变形的几何关系，获得应变分布的规律；
（2） 根据物理关系——剪切胡克定律，得到应力分布的规律；
（3） 由静力学等效关系得到由内力扭矩计算横截面上各点应力的公式。
变形特征和平面假设
取一等截面圆轴，如图3-6（a）所示，在圆轴的表面绘上纵向线和圆周线，然后在轴的两端施加一对外力偶矩，如图3-6（b）所示。在小变形的情况下，可以观察到，圆轴扭转变形与薄壁圆筒的扭转变形相同，各纵向线倾斜了同一微小角度 γ ；各圆周线均绕轴线旋转了一微小角度，而圆周线的长度、形状和之间的间距均未改变。圆周表面由周向线和纵向线所组成的正方形格子变成了菱形。由此做出圆轴扭转变形的平面假设：圆轴变形后其横截面仍保持为平面，其大小及相邻两横截面间的距离不变，且半径仍为直线。按照该假设，圆轴扭转变形时，其横截面就像刚性平面一样，绕轴线转了一个角度。
图3-6 扭转变形特征和平面假设
几何关系
如图 3-7（a）所示，利用两横截面m-m和n-n，从圆轴中取出长为dx的微段。根据微分的概念，变形后截面n-n相对于截面m-m绕轴旋转了一微小角度dϕ。根据平面假设，半径O2C转至O2C′，O2D转至O2D′。考察表面微小方格（称为微元）ABDC的变形：BD = AC = dx，变形后表面上的点C移至点C'，点D移至点D'，于是有
CC′=R dϕ
根据切应变的定义，微元ABDC的切应变γ，即表面点A的切应变为
根据平面假定，距轴心O1、O2为ρ 处同轴柱面上微元EFGH[如图3-7（b）所示]，即点E的切应变为
图3-7 圆轴扭转时横截面上的切应力
显然，γρ发生在垂直于半径O2H的平面内。由于dϕ/dx对同一横截面上的各点为一常数，故式（3-8）表明：圆轴扭转时，横截面上任一点的切应变与该点至截面中心的距离成正比，即切应变沿半径方向线性分布。
根据平面假设，圆轴扭转变形时其上每一点只产生周向位移，设点E的位移为uϕ，则点H的位移为uϕ + duϕ，于是HH' = duϕ，式（3-8）可改写为
该方程和式（3-8）均称为扭转的几何方程。
物理关系
根据横截面上的切应变分布表达式（3-8），应用剪切胡克定律，可得
式（3-9）表明：圆轴扭转时横截面上任一点的切应力与该点至截面中心的距离成正比，因此与圆心等距的同心圆上各点的切应力大小相等。由于切应变与半径垂直，因而切应力方向也垂直于半径。根据切应力互等定理，轴的纵截面上也存在同样大小的切应力，其分布如图3-7（c）所示。
由于式（3-9）中的dϕ/dx尚未知，因而尚不能用以计算切应力，为了确定未知量dϕ/dx，需要考虑静力学等效。
静力学关系
显然，任一横截面上的内力扭矩是由该截面上分布的切应力合成的。如图3-8所示，在横截面上任取一微面积dA，其上的微内力τρdA对圆心的矩为τρdA⋅ρ，所有内力矩的和等于该截面上的扭矩T，即
图3-8 扭矩与切应力之间的静力学等效
其中
称为横截面的极惯性矩（second polar moment），其量纲为m4。由式（3-10）得
将式（3-11）代入式（3-9），即得到横截面上距圆心为ρ的任一点的切应力计算公式：
由式（3-11）可知，当ρ值达到最大ρ = R时，即在圆轴外表面，切应力达到最大：
式中
称为抗扭截面模量（section modulus in torsion），其量纲为m3。
以下两点值得注意：
（1） 以上各式是以平面假设为基础导出的。实验结果表明，平面假设只有对横截面不变的圆轴才正确，所以上述各公式只适用于等直圆轴。但对截面沿轴线变化缓慢的小锥度锥形杆也可近似利用这些公式进行计算。
（2） 导出以上公式时使用了剪切胡克定律，因此只适用于最大切应力小于剪切比例极限的情况，即适用于线弹性范围内的等直圆杆。
截面极惯性矩和抗扭截面模量
上述公式中引进了截面极惯性矩IP和抗扭截面模量WP，下面针对最常用的实心和空心截面给出这两个量的计算。
1） 实心圆截面
如图3-9（a）所示，根据式（3-10）计算极惯性矩，得
图3-9 实心圆截面和空心圆截面的极惯性矩计算
根据式（3-13），得抗扭截面模量为
2） 空心圆截面
如图3-9（b）所示，根据式（3-10）计算极惯性矩，得
根据式（3-13），得抗扭截面模量为
式中，α = d/D。当α = 0时，式（3-15）退化为式（3-14）。
例题3-2
直径D=50 mm的圆轴，受到扭矩T=2.15 kN⋅m的作用。试求距离轴心10 mm处的切应力，并求横截面上的最大切应力。
解：
由圆轴扭转横截面上任意一点切应力公式可知，距轴心10 mm处的切应力为
截面上的最大切应力为
3.4.2 等直圆轴扭转时斜截面上的应力
与杆件拉压时的情况一样，可以通过横截面上的应力计算任意斜截面上的应力。为此，以成对的横截面、径向截面和圆周切向截面从受扭的等直圆轴内截取一微小的长方单元体，如图3-10（a）所示，其中前后面为两圆周切向截面，其上不受力；左右面为两横截面，上下为两径向截面，这些面上分别有切应力τ 和τ'。分析在单元体内垂直于前后面的任意斜截面mn上[如图3-10（b）所示]的应力。
图3-10 圆轴扭转时斜截面上的应力
设斜截面外法线方向n与x轴的夹角为α，并规定由x轴逆时针转至截面外法线方向为正；斜截面mn的面积为d A，则面mb和面nb的面积分别为dA cos α和dA sin α。由截面法取左半部分为研究对象，设斜截面上的正应力和切应力分别为σα和τα，如图 3-10（b）所示，利用平衡方程得
∑Fη=0, σαdA+（τdAcosα）sinα+（τ′dAsinα）cosα=0
∑Fξ=0, ταdA−（τdAcosα）cosα+（τ′dAsinα）sinα=0
根据切应力互等，有τ 和τ' 相等。整理上式，得任意斜截面上的正应力和切应力计算公式：
由式（3-17）看出：
（1） 单元体的四个侧面α = 0°和α = 90°，其上切应力的绝对值最大，均为τ；
（2） α = ±45°截面上的切应力为零，而正应力的绝对值最大，一个为拉应力，另一个为压应力，其大小均为τ，且与切应力作用面互成45°，如图3-10（d）所示。
3.4.3 圆轴扭转的强度条件
图 3-11 为典型的塑性材料（低碳钢）和脆性材料（铸铁）试件扭转加载时的应力-应变曲线。其中，低碳钢有明显的屈服，相应的剪切屈服强度为τs，强度极限为τb；铸铁没有明显的屈服，达到强度极限τb时破坏。图3-12为两种材料试件扭转破坏的形式，其中，低碳钢试件沿横截面破坏，断口比较光滑平整，属于剪切破坏；铸铁试件沿 45°螺旋面断开，断口呈细小颗粒状，属于拉伸破坏。显然，低碳钢试件的扭转破坏可认为是由于横截面的切应力达到临界值而引起的；而铸铁试件的扭转破坏则是由于45°斜截面上的拉应力达到临界值引起的。但由式（3-17）知，该斜截面上的正应力与横截面的切应力大小相等，所以两种情况下都可以利用横截面的切应力建立强度条件，即
图3-12 低碳钢和铸铁试件的扭转破坏形式
式中，τmax指圆轴所有横截面上切应力中的最大值。对于等截面圆轴，最大切应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大切应力不一定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩T和相应抗扭截面模量WP的数值综合考虑才能确定。[τ ]为许用切应力，对低碳钢一类的塑性材料，取为
对铸铁一类的脆性材料，则取为
式中，n为安全系数。
例题3-3
阶梯形圆轴如例题图 3-3（a）所示，AB段的直径d 1=50 mm，BD段的直径d 2=70 mm，外力偶矩分别为：MeA=800kN·m,MeC=1kN·m,MeD=1.8kN·m。许用切应力[τ]= 40 MPa。试校核该轴的强度。
例题图3-3
分析：首先应绘制该轴的扭矩图，但由于属变截面圆轴，所以最大切应力不一定发生在扭矩最大的截面，应根据扭矩T和相应抗扭截面模量WP的数值综合考虑确定；对于阶梯轴，可以每段进行强度校核。
解：扭矩图如例题图3-2（b）所示。虽然CD段的扭矩大于AB段的扭矩，但CD段的直径也大于AB段直径，所以对这两段轴均应进行强度校核。
AB段：
CD段：
故该轴满足强度条件。
例题3-4
材料相同的实心轴与空心轴，通过牙嵌离合器相连，如例题图3-4所示。已知轴所传递的外力偶矩为Me=700 N·m。设空心轴的内外径比α=0.5，许用切应力[τ]= 20 MPa。试计算实心轴直径d1与空心轴外径D2，并比较两轴的截面面积。
例题图3-4
解：
对实心轴利用扭转强度条件得
求解得
d1≥56.3 mm
取d1=57mm。
对空心轴利用扭转强度条件得
求解得
D2≥57.5 mm
取D2=58mm，于是内径d2=αD2=29mm。
实心轴与空心轴的截面积比为
讨论：
（1） 由上述结果可以看出，在传递同样的力偶矩时，空心轴所耗材料比实心轴少。因此，从强度方面考虑，空心圆轴要比实心圆轴更合理，所以工程上在加工工艺的允许下往往将轴制成空心的。但空心圆轴的壁厚不能过薄，否则发生局部皱褶而丧失承载能力。实际中，应综合考虑强度、刚度、加工复杂性、经济成本等合理设计截面形式。
（2） 上述结论也可以用扭转理论所提供的应力分布规律来解释。实心轴中心部分的材料受到的切应力很小，这部分材料没有充分发挥它的作用，因此做成空心的更能充分利用材料。
例题3-5
传动机构如例题图3-5所示，功率从轮B输入，通过锥形齿轮将其一半传递给铅垂轴C，另一半传递给水平轴H。已知输入功率P1 = 14 kW，水平轴E和H的转速n1 = n2 = 120 r/min；锥齿轮A和D的齿数分别为Z1 = 36，Z3 = 12；各轴的直径分别为d1 = 70 mm，d2 = 50 mm，d3=35 mm，试确定各轴横截面上的最大切应力。
例题图3-5
分析：首先需根据传递的功率确定各轴所受的扭矩，然后利用式（3-13）计算最大切应力。
解：
1） 求各轴所承受的扭矩
各轴所传递的功率分别为
P1=14kW,P2=P3=P1 /2=7 kW
各轴的转速分别为
n1=n2=120r/min
由式（3-1）求得各轴承受的扭矩为
2） 计算最大切应力
由式（3-13）得轴E、H、C横截面上的最大切应力分别为
