3.3 薄壁圆筒的扭转——纯剪切

在研究轴扭转的应力和变形之前，本节先研究一个比较简单的扭转问题，即薄壁圆筒的扭转。这是一个纯剪切的情况，可以帮助我们认识切应力和切应变的规律。本节仍然根据对变形特征的实验观察，获得横截面上的应力特征和分布形式，然后依据静力等效由内力确定应力，并在实验的基础上获得联系切应力和切应变的剪切胡克定律。

图3-4（a）为一等截面的薄壁圆筒（壁厚δ远小于其平均半径r0，一般δ≤r0/10）为了观察其变形特征，受扭前先在圆筒表面画上纵向线及圆周线。当圆筒两端加上一对力偶Me后，可以观察到，如图3-4（b）所示：各纵向线仍为直线，且均倾斜了同一微小角度γ；各圆周线的形状、大小和之间的间距都没有变化，只是绕轴线转了不同角度。由此说明，圆筒横截面及含轴线的纵向截面上均没有正应力，即横截面上只有切应力τ，它沿圆周方向，并组成与外力偶矩Me相平衡的内力系。因为薄壁的厚度δ很小，所以可以认为切应力沿壁厚方向均匀分布，又因在同一圆周上各点情况完全相同（轴对称），即切应力相同，如图3-4（c）所示。这样，任一横截面上的切应力对圆筒轴心的力矩为2πr0δ⋅π⋅r0。由平衡方程∑Mx=0，得

用相邻的两个横截面和两个纵向截面从圆筒中取出边长分别为dx、dy（无限小）和δ（有限大）的六面体，如图3-4（d）所示，其左、右两侧面是横截面的一部分，上面有等值反向的切应力τ，组成一个力偶矩为（τδdy）dx的力偶。为了保持平衡，六面体的上、下面上必存在等值反向的切应力τ′，并组成一力偶。由ΣMz=0，得

式（3-4）表明：在互相垂直的两个平面上，切应力总是成对出现，且数值相等；两者均垂直于两个平面的交线，方向则同时指向或同时背离这一交线。这就是切应力互等定理。由上述六面体沿筒厚度δ方向任意截取无限小长度dz的微小单元体dxdydz，仍然可以证明该结论。后面将进一步证明：该定理对任意受力状态都成立，即任一点处沿两个相互垂直的平面上的切应力均具有该性质。

如图3-4（d）所示的六面体的四个侧面上，只有切应力而没有正应力作用，这种受力情况称为纯剪切。

观察薄壁圆筒上由纵向线及圆周线组成的方格在外力偶作用下的变形[见图3-4（b）]可以发现：变形后圆筒两端发生相对转动，原来的方格变成了倾斜的平行四边形，即原来相互垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量γ，在图3-4（d）所示的六面体上也同样可以显示该变形特征，按照式（1.4）的定义，γ就是切应变。若ϕ为圆筒两端的相对扭转角，l为圆筒的长度，切应变γ为

通过薄壁圆筒扭转试验可以发现：切应力低于剪切比例极限时，扭转角 ϕ与外力偶矩 Me成正比，如图3-5（a）所示的低碳钢薄壁圆筒扭转曲线。由式（3-3）和式（3-5）可知，切应力τ与Me成正比，切应变γ与扭转角ϕ成正比。因此由图3-5（a）便可作出图3-5（b）所示的τ-γ曲线，其中OA为一直线端，点A对应的切应力τp为剪切比例极限。这表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比，可以写为

式（3-6）称为材料的剪切胡克定律（Hooke's law in shear），式中比例常数G为材料的剪切弹性模量（shear modulus of elasticity），其量纲与弹性模量E的相同，单位为Pa。其值随材料而异，钢材剪切弹性模量约为80 GPa。

至此，我们已经引入了三个弹性常量，即弹性模量E、泊松比ν、剪切弹性模量G。值得指出的是，对各向同性材料三个弹性常数之间存在关系：

可见，三个常数中只有两个是独立的，知道任意两个，就可确定另一个。上述结论将在第 7 章给出证明。