第5章 “要命”的数字，生活中处处离不开它(1)

生活中处处离不开数学

从我们上小学一年级开始，直到高中三年级，这12年的时间中，年年都要学习数学。在中小学课程中，数学、语文、外语并称三大主干课，世界各国都是如此。

这主要有三方面的原因：

数学和语文、外语一样，也是一种语言，它是科学的语言。它使用数字、符号、公式、图像、概念、定理等位置关系，帮助人类认识世界、探索未来。不懂数学，就不能理解科学。

数学对于培养、训练人的理性思维十分有益。如果说语文能用来表示人的感情、愿望、意志，进行形象思维的话，那么数学主要用来进行概括、抽象、推理和论证等理性思维。数学严格精确、从不含糊，对于培养人的思维能力是必不可少的。

数学用途广泛。小至上街买东西，大至设飞机、火箭，控制卫星运行，全离不开数学。数学是科学发展的基础，它的发展进步推动了科学技术的向前发展。

有的同学并不喜欢学习数学，常常是为了应付考试才去努力学习。其实中小学课本中讲授的数学知识都是数学的基础内容，是今后生活、工作、学习中不可少的，如加减乘除要反复计算，做起来很枯燥，但实际上哪里都能用上，买东西算账、丈量土地、从事设计，哪一样又能离开数学呢？

数学是研究数与形的科学，凡是有“数量大小”和“形状位置”的事物都离不开数学知识。因为数学具有抽象性的特点，所以看上去干巴巴的很枯燥，但它往往会出人意料地不知在什么地方就派上用场，让你大吃一惊。

统计无处不在

统计数字是现代社会不可少的，大到国家每隔一定年限对全国人口进行的普查统计，小至一位老师在考试结束之后对学生的成绩进行分数统计。而今天，统计学的理论和方法不仅得到了广泛的应用，还改变着人们对世界的认识。那么，统计是怎么出现的呢？

早在17世纪，有一个叫约翰·格朗特的英国商人，对政府公布的死亡表进行了研究。他发现各种疾病、自杀和五花八门的事故导致死亡的人数所占的百分比是基本不变的，而因传染病死亡的人数所占的百分比波动较大。1662年，他把自己的研究成果发表在名为《对死亡表的自然观察和政治观察》一书中，这本书被称为“真正统计科学的开端”。

统计学就是用于对足够多的反映社会现象的量进行观察研究，并揭示其规律的科学。

例如，考察人的智力情况。任意选择一些人，用设计好的试题测验他们的智力。

测试的结果是：他们的智力分布呈现出一条钟型曲线。即智力一般的人占绝大多数，智力低下和智力超常的人均占少数。而且测试的人越多，曲线就越呈钟形。人类的智。力在总体上服从一种确定的定律，这一规律只有依靠统计学的研究才能发现。

现代统计学有什么特点呢？

第一，现代统计在概率论的基础上，建构了其独特的数学方法；第二，统计采用抽样的方法，注重由样本（抽出的样品称样本）对总体进行推断；第三，统计离不开大量的观察，并分析观察结果的规律性；第四，统计学必经研究科学的有效的实验设计（如智力测验中试题的设计）。进入20世纪，统计学获得了巨大的发展和迅速的普及。试想：在自然科学领域里的物理化学、地质学、遗传学，在社会科学领域里的经济学、社会学、管理学，甚至民意测验、资产评估、产品销售、犯罪案件等等，哪一项能离开统计？统计真是无处不在的。

0的意义不是没有

上学以后我们最先学习的是算术课，便认识了0这一数字，它可能是你所学过的最小的数字了。那么。是什么含义呢？若用手指数铅笔盒内铅笔的数目，1代表一支铅笔，而O便表示无铅笔，即0的意思就是没有；若你学过减法，而10减10等于0，意思是说减没了，好像10个苹果让人吃掉了，最后一个不剩。看来0确实表示没有。

平常0是表示没有，可是它的意义不只表示没有，有时还有其他的意义。

在人们日常生活当中，天气的冷热程度用气温来表示，它随着一年四季的交替而不断变化。像0℃表示什么含义呢？它表示冰和水混合在一起的那个温度，自0℃以上为零上，零上17℃～22C即最适于人类生活的温度；自0℃向下则称为零下，零下温度绝对值越大则越寒冷。

再像在计算机内使用的0与1就不是算术上的0与1了。它分别代表电平的高低状态，1表示高电平，0表示低电平，这时的0绝对不是没有，却是一种相对较低的概念。

还有许多例子都能说明0在生活中有许多含义，不只表示算术内的没有。实际0本身一样充满了矛盾。像任意多个数与0相加，0并不可以改变它们和的值；但许多个数相乘时，只要其中有一个数若是0，它的乘积就是0，看0的威力有多么大啊！

要解决这样的矛盾问题，我们一定要知道数学上的概念都是相对的，绝不是不变化的，也是这样。

0在数学上是一个十分重要的数字，0至1的飞跃便体现了从无到有的过程，而1至百、千、万的变化也体现了很多的不同。0不只表示“没有”，而为“有”奠定了基础。但在生活中0较多地表示一种状态，为0以下与0以上的状态提供了可参照的标准，它的含义并不是只用“没有”就能说清楚的。

为什么1+1可以等于1

我们初学算术时，就已知道1+1=2了，这是确定无疑的。假如有人做加法1+1的答数不是2，那就要得0分。但是，当我们学到了二进位制的计数法后，就知道在二进位制里1+1=10而不是1+1=2了。由于在二进位制里，根本就没有2这个数字。

现在这里又写了这样一个等式1+1=1。到底是什么道理呢？这叫做逻辑代数中的加法。

在逻辑代数里，也与二进制数一样，我们只有两个符号：1和0。但是二进位制数里的1，确实表示一样东西1，1是真正的数。0则表示没有，它也是真正的数字。

而且在逻辑代数里，1和0并不是数字而是符号。在一般的逻辑电路中，1表示电路是通的，0表示电路是断的。

例如有一个电路：在这个电路里，E是电源，例如是几只干电池。P是一只小的灯泡。电路里通了电以后，小灯泡P就发光，这个时候的符号是1。电路里断了电以后，小灯泡P就不发光，这个时候符号是0。

A和B就是两AI开关。按上了就通电，拉开了就断电。现在假如开关A按上，开关B拉上。那电路通过开关A接通了，灯泡P亮了，得1。

假设开关A拉开，开关B按上。那电路通过开关B接通了以后灯泡P亮了，也得1。

现在假如把开关A及开关B都按上，两条电路全接通了，那就应该是1+1了。但是灯泡P只可以发同样的亮光。所以也还是1。

因此，用数学式子来表示，就得1+1=1。

从这几个情况来看是完全正确的，开关A按上了是1，开关B按上了也是1，开关A和B一起按上了还是1，这究竟是为什么呢？

这就叫逻辑代数的加法。

在我国科技迅猛发展过程中，逻辑代数这样的数学知识会慢慢变为人人都应该知道也能了解的常识了。从逻辑代数里，我们可以知道，0和1并不只是代表数，而且还代表一种情况。因为有许多有关数字计算习惯用的法则，在逻辑代数里就会发生一些新的概念。

数学家可以很成功地把楼梯开关的种种情况，通过一个数学式变成0及1，并且还组成有趣的逻辑关系。我们日常在使用着的楼梯开关竞与数学密切地联系起来了，你想到过吗？

为什么会有“+-×÷=”这些符号“+、-、×、÷”和“：”这五个符号，小学生和学前幼儿也已懂得它们的意义及其用法，在高等数学里当然少不了它们。但是它们的来历确实经过了一段十分曲折的发展历程。

古希腊与印度人不约而同，都把两个数字写在一起，表示加法，如3+1/4就写成了3×1/4。直到现在，从带分数的写法中还可能看到这种方法的痕迹。

若要表示两数相减，就把这两个数字写得离开一些，如6-1/5的意思就是6减去1/5。

于是后来，有人用拉丁字母的P（Plus的第一个字母，意思是相加）代表相加；用M（Minus的第一个字母，意思是相减）代表相减。如5P3就表示5+3，7M5就表示7-5。到中世纪后期，欧洲商业开始变发达。许多商人常在装货的箱子上画一个“+”字，表示重量超过一些；画一个“-”字，表示重量还不足。文艺复兴时期，意大利的艺术大师达·芬奇在他的一些作品中也采用过“+”和“。”的记号。公元1489年，德国人威德曼在他的著作中开始正式用这两个符号来表示加减运算。到了后来又经过法国数学家韦达的大力宣传以及提倡，这两个符号才普及，到了1630年，最终获得大家的公认。

在我国，以“李善兰恒等式”闻名的数学家李善兰，也曾用“1”表示“+”：用“▲”表示“-”。因为当时社会上普遍使用筹算以及珠算来进行加、减、乘、除，所以还没有创立专用的运算符号。

后来人们开始采用了印度数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0（叫阿拉伯数码，但发明者却是印度人），同时也采用了“+”和“-”的记号。至于“×”“÷”符号的使用，大约也不过三百多年。传说英国人威廉·奥特来德于1631年在他的著作上用“×”表示乘法，于是后人就把它沿用到今天。

中世纪时，阿拉伯数字十分发达，还出了一位大数学家阿尔花拉子密，他曾经用“3/4”表示3被4除。大多数人认为，现在通用的分数记号来源就是出于这里。

至于“÷”的使用，能追溯到1630年一位英国人约翰·比尔的著作。人们估计他大概是根据阿拉伯人的除号“-”与比的记号“：”合并转化而成的。

在国内，人们也曾把单位乘法叫“因”，单位除法叫“归”，被乘数叫“实”，乘数叫“法”，乘的结果叫“积”。在除法中，尽管被除数与除数也叫“实”与“法”，但他们相除的结果却叫“商”。

现代许多国家的出版物中，都是用“+”“-”来表示加与减，“×”“÷”的使用则远没有“+”“-”来得普遍。如，一些国家的课本中用“。”来代替“×”。在苏联或德国出版物中，很难看到“÷”，大多用比的记号“：”来代替。实际上，比的记号的用法可以说与“÷”号基本一样，可以不必再画出中间的一条线。所以，这个“÷”号，现在用得越来越少了。

在这些符号当中，等号是相当重要的。巴比伦以及埃及曾用过各种记号来表示相等，但是最先得到公认的，是古代大数学家丢番图的记法esti和isas，简写为IS。

它们在中世纪，用来表示相等的记号有过特别大的混乱。第一个使用近代的“：”

号的见雷科德的名著《智慧的磨刀石》，但“=”号直到18世纪才被普及，当时“=”号的两条线的长度经常被画得相当长。雷科德也曾说，他选择两条等长的平行线作为等号，原因是因为它们再相等不过了。

商品上的条形码

大超市里的各种商品上都贴着一组平行排列的、宽窄不一的黑白条纹，这就是条形码。付款的时候，商场里的收银员用一种特殊的设备在商品的条形码上一扫，商品的名称、价格等信息就读到计算机里去了，真是又简单又快速，太方便了。不知你想过没有，条形码为什么能存储商品的价格信息呢？