Python概率统计
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1.6　全概率公式与贝叶斯公式

下面建立两个重要的计算概率的公式：全概率公式与贝叶斯公式。

1.6.1　样本空间的划分

设事件集合A1，A2，…，An满足以下两个条件：

（1）Ai∩Aj=∅，并且P（Ai）＞0对任意的1≤i，j≤n成立。

（2）。

则称A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分。这样的事件集合也称为完备事件组。如果A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，则对于每次试验，事件A1，A2，…，An中有且仅有一个发生。

1.6.2　全概率公式

设样本空间为S，事件A1，A2，…，An是S的一个划分，并且每个P（Ak）＞0，则对于任何一个事件B，有以下公式：

称此公式为全概率公式。特别地，当n=2时，A和就是S的一个划分，由全概率公式可得

【例1-16】　设有一批产品，其中甲公司生产的占60%，乙公司生产的占40%，甲公司产品合格率是95%，乙公司产品合格率为90%，求从这批产品随机抽取一件为合格品的概率。

解：设A={抽取的是甲公司的产品}，则，设B={抽取产品合格}，根据所给的条件有

由全概率公式有

例1-16代码如下：

     #第1章/1-9.py
     pA, pA_ = 0.6, 0.4
     pBA, pBA_ = 0.95, 0.9
     pB = pA * pBA + pA_ * pBA_
     print(pB)

输出如下：

     0.9299999999999999
　　　　

【例1-17】　一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽出一个，抽出后不再放回，求第2次抽出的是次品的概率。

解：设A表示事件：第1次抽出的是正品；B表示事件：第2次抽出的是次品，则

根据题意，抽出后不再放回，可得

由全概率公式得

代码如下：

     #第1章/1-10.py
     n_plus = 10
     n_minus = 2
     n = n_plus + n_minus
     PA = n_plus/n
     PA_ = 1-PA
     PB_A = n_minus/(n-1)
     PB_A_ = (n_minus-1)/(n-1)
     #全概率公式
     p = PA * PB_A + PA_ * PB_A_
     print('第2次抽出的是次品的概率为', p)

输出如下：

     第2次抽出的是次品的概率为0.16666666666666666

1.6.3　贝叶斯公式

设样本空间为S，事件A1，A2，…，An是S的一个划分，并且每个P（Ak）＞0。设B为任意事件，并且P（B）＞0，则由全概率公式可得

以上公式称为贝叶斯公式。贝叶斯公式也被称为后验概率公式或者逆概率公式，它表示在已知结果发生的情况下，求导致这一结果的某种原因的概率大小。

【例1-18】　四位工人生产同一种零件，产量分别占总产量的35%、30%、20%、15%，并且这四人生产产品的不合格率分别为2%、3%、4%、5%。从这批产品中任取一件，求

（1）它是不合格品的概率。

（2）已知是不合格品，它是第1个工人生产的概率。

解：设B={抽取产品不合格}，设Ai={抽取的产品是第i个工人生产的}，则

P（A1）=0.35，　P（A2）=0.3，　P（A3）=0.2，P（A4）=0.15

P（B|A1）=0.02，　P（B|A2）=0.03，　P（B|A3）=0.04，　P（B|A4）=0.05

（1）由全概率公式得

（2）由贝叶斯公式得

代码如下：

     #第1章/1-11.py
     import numpy as np
     pA = np.array([0.35, 0.3, 0.2, 0.15])
     pBA = np.array([0.02, 0.03, 0.04, 0.05])
     pB = (pA * pBA).sum()
     print('它是不合格品的概率:', pB)
     print('它由第1个工人生产的概率:', 0.35 * 0.02/pB)

输出如下：

     它是不合格品的概率:0.0315
     它由第1个工人生产的概率:0.2222222222222222

【例1-19】　玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0、1、2只残次品的概率分别是0.8、0.1、0.1，一顾客要购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看4只，若无残次品则买下整箱玻璃杯，否则退回。求

（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率。

（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。

解：设事件A表示顾客买下所查看的一箱玻璃杯，事件Bi表示这一箱中恰好有i件残次品。根据题意可知

（1）由全概率公式

（2）由贝叶斯公式

代码如下：

     #第1章/1-12.py
     from scipy.special import comb
     PB0 = 0.8
     PB1 = 0.1
     PB2 = 0.1
     PA_B0 = 1
     PA_B1 = comb(19, 4)/comb(20, 4)
     PA_B2 = comb(18, 4)/comb(20, 4)
     #第(1)问
     p = PB0 * PA_B0 + PB1 * PA_B1 + PB2 * PA_B2
     print('顾客买下该箱玻璃杯的概率为', p)
     #第(2)问
     p = PB0 * PA_B0/p
     print('在顾客买下的一箱中, 确实没有残次品的概率为', p)

输出如下：

     顾客买下该箱玻璃杯的概率为0.9431578947368422
     在顾客买下的一箱中, 确实没有残次品的概率为0.8482142857142857
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