现实世界的幂律分布

幂律分布最早是由意大利经济学家维尔弗雷多·帕累托发现的。1895年，帕累托在研究个人收入分布时发现，大多数人都不富裕，只有极少数的人是超级富豪。人们的收入每增加1%，相应的家庭数量就会减少1.5%。在此基础上，他提出了20/80法则，即20%的人口占据了80%的社会财富。20世纪50年代，地震学家贝诺·古登堡和查尔斯·克里特在研究地震时发现，地震的等级分布并不符合正态分布，地震能量每增加一倍，相应震级的地震发生概率就会降低3/4，因此，大多数地震都是小规模、低震级地震，极少数地震震级极高。20世纪60年代，耶鲁大学数学家贝努瓦·曼德尔布罗特研究芝加哥商品交易所棉花价格的波动以及黄金、小麦等商品数据时，再度发现了幂律分布。此外，他还注意到商品价格的波动似乎没有自然的时间尺度。如果他从图上抽取一小部分，比如一个小时的数据，再把它拉长到一天的长度，人们根本无法分辨哪个图代表的是一个小时的数据，哪个是一天的数据。这也就是幂律分布的所谓标度不变性，或称规模缩放不变性，即不同的幂律函数只是不同系数的标度缩放，其函数图像具有相似不变性，也就是说幂律分布具有分形特性。

幂律分布强调了重要的少数与琐碎的多数。事实证明，“二八定律”在世界中无处不在，如20%的品牌占有80%的市场份额，20%的产品贡献了80%的企业利润，20%的上市公司创造了市场80%的价值，20%的股民赚了股市80%的钱等。1997年，史蒂夫·乔布斯重新回到苹果公司以帮其摆脱亏损严重的境况。乔布斯的改革遵循了幂律分布的特点，即抓住重要的少数，忽视不重要的多数。首先，乔布斯从人员结构入手，在留住核心人才的基础上对公司进行大量裁员，同时换掉与自己理念不合的董事。其次，产品结构上，把原来60多个产品线精简到4个。再次，减少部门层级，推行扁平式管理。最后，将日常工作化繁为简，仅讨论头部重要事项，帮助员工集中精力完成重点工作。经过乔布斯大刀阔斧的改革，苹果重回巅峰。意大利公司杜嘉班纳原本走的是高端奢侈品品牌路线，但为了能在市场中排名更靠前，公司曾经想要同时兼顾高端和低端市场，结果使得高端产品不再高端，品牌层级整体下滑。所以成功的奢侈品企业不会去尝试布局低端市场，因为20%的高端市场对于这些企业已经足够。

“二八定律”是幂律分布的直观体现，体现了原因和结果、努力和报酬之间的不平衡性，这在社会、经济和生活中无处不在。“二八定律”在某种程度上解释了为什么几乎所有银行都青睐于服务大客户而不愿意服务中小客户，因为银行在耗费同样成本的情况下小客户带来的利润较低。尽管互联网可以缓解这个矛盾，但总体而言，以传统方式服务客户所获收入不足以支撑服务长尾客户。

人们通常认为社会的财富服从正态分布，但残酷的是，社会绝大多数财富被极少数人所占有。统计学中经常使用平均数的概念，但平均数在某种情况下会淡化和隐藏财富分配的不均。比如，将姚明放到100个普通人中并不会显著改变平均身高，但将比尔·盖茨放到100个普通人中就会极大地改变平均财富水平。在呈现正态分布的领域，所有个体和平均值的差距不会很大；在呈现幂律分布的领域，一些个体与平均值的差距却会非常显著。

现实世界中，各种各样的现象符合幂律分布特征，包括太阳黑子的强度、生物灭绝事件的规模、战争伤亡人数、城市规模、中国人口区域分布、互联网各网站浏览量（80%的网站基本上很少有人浏览）、企业规模、视频下载量（80%的视频基本上很少有人下载）等，这些都遵循“二八定律”。某头部视频公司首席财务官曾感慨，中国年产千部电视剧，但其中成为热点核心的、被观众所喜爱的只有零星几部。这种商业模式下很多内容生产商虽被扶持，但极少的爆款导致其运营成本不断增加，经营异常艰难。

很多理论模型能反映幂律分布，包括优先链接模型、沙堆模型、自组织临界模型等，它们可以解释城市规模、图书销量、网络链接点击量、交通拥堵程度、战争伤亡人数以及地震、火灾和雪崩的大小等。中国有个成语叫防微杜渐，实际上就是要防止概率小但影响力大的事件发生。在金融市场中，最重要的就是防范风险，金融从业人员最重要的任务是管理风险，发生概率为百万分之一的灾难一旦发生就有可能导致整个金融系统的崩溃。