非线性增长的两种形态——指数型和对数型

对于指数型增长，我们可以参考水葫芦的后期迅猛生长，对数型增长则更多被用于探讨边际收益递减的情况，数学上我们习惯用凸函数和凹函数来描述这两种增长形态。

凸函数在生活中有通俗的说法，即复利法则，有人更为直观地称之为70法则。70法则是指如果一个变量在每个周期都以R%增长，那翻一番所需要的周期总数就是70/R，这反映了增长率的累积效应。以房价为例，如果房价每年上涨10%，那么房价大约7年会升值一倍，如果这种趋势一直持续35年，那么房价将会增长至32倍，即100万元的房子会在35年后上涨到3 200万元。如果一个人可以让他的财富保持每年10%的增长，那么7年后他的财富就能翻一番。巴菲特说过一个有趣的原则，“投资的第一法则是不要亏钱，第二法则是做好第一条”。翻倍赚钱的关键在于复利的取得。

也有人把70法则运用在了其他领域，人口学家用指数模型研究人口问题。如果人口每年增长7%，那么人口在10年后会翻一番，在30年后会翻三番（增长至8倍）。早在1798年，英国政治经济学家、人口学家托马斯·马尔萨斯就观察到人口数量呈指数级增长的现象，并指出，如果经济体生产粮食的能力是呈线性增长的，就会出现粮食危机。但回过头来看这两个主张，其实都不成立。人口看似呈指数级增长，可是马尔萨斯没有考虑到人类发展的客观规律：当人均收入提高、经济独立性增强时，人类生育意愿会下降。中国有句古话叫作“养儿防老”，即在经济不发达时，人类早期旺盛的生育愿望源自他们将孩子作为自己老年时期的经济保障。基于这样的逻辑，人口不可能长期保持7%的增长；粮食的产量也不是呈线性增长的，马尔萨斯没有考虑到技术的飞跃，比如在水稻产量上，袁隆平发明杂交水稻之后，亩产千斤的目标得以实现。

凹函数也反映了非线性增长的重要形态，在经济学中有着广泛体现。数学中凹函数的二阶导数小于零，这在经济学中意味着边际效用递减。边际效用递减是指在一定时期内，在其他商品或服务消费量不变的条件下，消费者从每一相继单位的商品或服务中得到的效用都比从前一单位中得到的效用低。消费者在饥饿时吃的第一个“包子”效用是最大的，此时消费者获得极大满足，也愿意为“包子”支付高价格。随着吃的“包子”越来越多，消费者每吃一个“包子”所得到的满足感在不断降低，“包子”所产生的边际效用不断下降，消费者愿意支付的价格也在不断降低。最终当消费者吃饱时，边际效用为零，总效用达到最大，消费者将不再吃。商家也会利用边际效用递减规律，消费者买得越少，单价就会越高，而其买得越多，单价就越低。类似地，我们在生活中做一件事情，一开始会热情高涨，但是随着时间推移，我们的热情与兴趣会逐渐消退，最后可能感到索然无味。《曹刿论战》中所提到的“一鼓作气，再而衰，三而竭”，说的也是这个道理。