第1章：通过量的初值与终值的比值证明下述命题

引理1

在任何有限时间内，量和量的比值都会趋于相等，其差值会持续减小。若是这个差值小于给定值，那么量和量的比值将最终相等。

如果有人对此持有反对意见，可以假设量和量的比值不相等，并且用D表示两者的最终差值，由此可以得出，量和量的比值不能以比差值D小的量趋于相等，而这与命题相矛盾。

引理2

直线Aa、AE和曲线acE组成任意图形AacE，其中包括多个平行四边形AKbB，BLcC，CMdD等等，且底边AB、BC、CD等相等，其边Bb、Cc、Dd等与边Aa平行。再作平行四边形aKbI、bLcm、cMdn等，假设平行四边形的底边不断减小，且平行四边形的数量不断增加且趋于无穷，那么曲线acE的内切图形AKbLcMdD、外切图形AalbmcndoE和曲线AabcdE将趋于相等，其最终比值也将趋于等量比。（图A 1-1）

（图A 1-1）

因为内切图形和外切图形的差值是平行四边形KaIb、Lbmc、Mcnd、DdoD等的和。就是说，因为它们的底边相等，我们可以以任意平行四边形的底边为宽，以高的和Aa为高，做出平行四边形ABIa。因为AB是无限减小的，所以这个平行四边形将比任意给定的空间小。根据引理1，内切图形和外切图形最终趋于相等，且与曲线图形相等。

引理3

即便平行四边形的底边AB、BC、CD等都不相等，但只要它们将无限减小，那么其最终比值也是等量比。（图A 1-2）

（图A 1-2）

做一个平行四边形，底边AF是最大上限，那么，它的值将比内切图形与外切图形的差值要大。但是因为其底边AF是无限减小的，所以这个平行四边形将比给定的任意平行四边形都小。

推论Ⅰ.那些不断减小的平行四边形的总和最终将与曲线图形完全相同。

推论Ⅱ.那些不断减小的弧线ab、bc、cd等的弦组成的直线图形最终将与曲线图形完全相同。

推论Ⅲ.如果那些外切直线图形的切线弧长都相等，那么外切图形也与曲线图形完全相同。

推论Ⅳ.外周为acE的最终图形是直线图形的曲线极限，而不是直线图形。

引理4

在图形AacE和PprT中分别有两组内切的平行四边形，且每组所含平行四边形的数量相等，其底边趋于无限减小，同时，两者内切平行四边形的最终比值是相等的，那么图形AacE和PprT的比值也相等。（图A 1-3、1-4）

（图A 1-3）

（图A 1-4）

因为两个图形中的平行四边形是相互对应的，所以，前一个图形中的所有平行四边形的总和与后一个图形中的所有平行四边形的总和的比值，与两个图形的比值相等。因为根据引理3，前一个图形和平行四边形的总和的比值等于后一个图形和平行四边形的总和的比值。

推论.假设任意两个量被分割为若干相等的部分，当它们的份数不断增大且自身的值不断减小（趋于无穷）时，且每个部分都有一个给定的相同比值，第一个对应第一个，第二个对应第二个，以此类推，那么所有部分加起来的整量的比值也相等。因为在引理4的图形中，如果将每个平行四边形的比值看作部分的比值，那么这些部分的和必定等于平行四边形的和。假设平行四边形的数量不断增大，本身无穷地减小，那么这些无穷量的总和就等于其中一个图形中平行四边形与另一个图形中对应的平行四边形的最终比值。也就是说，这些无穷量的总和等于两个量中任意相对应的单个部分的最终比值。

引理5

在相似图形中，所有对应的边（不论是直线还是曲线）成正比，并且其面积的比值等于对应边的比值的平方。

引理6

任意弧线ACB是给定的，直线AB是对应的弦，取任意点A作直线AD与弧线ACB相切，切点为A，且向两边无限延长。假设点A、B不断靠近且趋于重合，那么其弦与切线组成的角BAD将不断变小，最终会完全消失。（图A 1-5）

（图A 1-5）

假设角BAD不会消失，弧线ACB和切线AD将构成一个角，那么弧线在A点就会不断偏离原本的位置，而这与命题相矛盾。

引理7

同样假设：弧线、弦和切线的最终比值是相互相等的。

当点B不断靠近点A时，假设直线AB、AD不断延长，在足够远处分别取点b、点d，然后作直线bd与BD平行，且让弧线Acb始终与弧线ACB相似。再假设点A和B点重合，那么根据引理6，角dAb会消失，直线Ab、Ad将和弧线Acb重合且相等。所以，直线AB、AD和弧线ACB的最终比值是等量比。

推论Ⅰ.假设过B作直线BF，使它与切线AD平行，过点A作任意直线AF，使它与任意直线相交于F，那么直线BF与趋于消失的弧线ACB的最终比值是等量比。因为在平行四边形AFBD中，线段BF与线段AD的最终比值始终是等量比。（图A 1-6）

（图A 1-6）

推论Ⅱ.假设过点B、A分别作直线BE、BD和AF、AG，使其分别与切线AD及其平行线BF相交，那么所有线段AD、AE、BF、BG与弧线AB、弦AB的最终比值都是等量比。

推论Ⅲ.在所有与最终比值相关的推论中，这些线段都是任意的，且可以相互替换。

引理8

假设直线AR、BR与弧线ACB组成图形RACB，与弦AB、切线AD组成三角形RAB、三角形RAD，点A、B不断靠近并趋于重合，那么这些趋于消失的图形最终相似，且最终比值是等量比。（图A 1-7）

（图A 1-7）

当点B不断趋于靠近点A，假设直线AB、AD、AR延长到远处某点b、d和r，并且作直线rbd与直线RD平行，使得弧线Acb始终与弧线ACB相类似。然后，再假设点A、B重合，那么角bAd将会不断减少直到消失，即三角形rAb、rAcb、rAd将会相似且相等，也就是说重合。由此得出，与这三个三角形始终相似且成等量比的三角形RAB、RACB、RAD最终也相似且相等。

推论.在所有与最终比值相关的推论中，这些三角形都是任意的，且可以相互替换。

引理9

假设直线AE、弧线ABC给定，两者以给定角相交于点A，且直线AE为弧线ABC的切线。同时，取两条平行直线BD、CE，分别与弧线ABC相交于点B、C，点B、C不断向点A靠近且趋于重合，那么三角形ABD和ACE面积的比值等于其对应边的比值的平方。（图A 1-8）

（图A 1-8）

当点B、C向点A不断靠近时，假设直线AD不断向远处延长，然后取任意两点d、e，那么线段Ad与AD成正比、Ac与AE成正比。另作直线bd、ec与直线BD、EC平行，并分别与直线AB、AC相交于点b、c。弧线Abc和弧线ABC相似。再作经过A点作直线Ag与两条弧线相切，且与直线DB、EC、db、ec分别相交于点F、G、f、g。假设直线Ae长度是固定值，让点B、C不断与点A重合，那么角cAg将消失，弧线面积Abd将与直线面积Afd重合，弧线面积Ace将与直线面积Age重合。根据引理5，三角形Adf和Aeg面积的比值等于对应边Ad、Ae的比值的平方，同时三角形ABD和ACE面积始终与三角形Adf和Aeg面积成正比，且边AD、AE也始终与边Ad、Ae成正比，因此可以得出，三角形ABD与ACE面积的最终比值等于对应边AD和AE的比值的平方。

引理10

物体受任意一个指定力的作用，不管这个力是已知不变的，还是持续增大或持续减小的，物体在初始阶段的运动距离始终与时间的平方成正比。

假设用直线AD、AE表示时间，直线DB、EC表示该时间段物体运动的距离，那么运动所产生的距离就可以用三角形ABD、ACE的面积来表示。根据引理9，初始阶段的运动距离与时间AD、AE的平方成正比。

推论Ⅰ.在成比例的时间内，物体在相似图形的相似部分运动，其产生的距离误差与所用时间的平方成正比。而这些误差是由作用于物体的力引起的，可以根据物体在这些相似图形中的运动求出。若是这些力不存在，那么误差也不会存在，物体将在这个时间内到达既定位置。

推论Ⅱ.同理，物体在相似图形的相似部分运动，受到成比例的力的作用，那么产生的误差与这个力与时间的平方的乘积成正比。

推论Ⅲ.同理，这个引理可以解释物体在受不同力作用时产生的距离的相关问题，即物体产生的距离与运动初始阶段的力和时间的乘积成正比。

推论Ⅳ.这个力与运动初始阶段的距离成正比，与时间的平方成反比。

推论Ⅴ.所用时间的平方与距离成正比，与力成反比。

附录

假设我们对不同未知量进行比较，其中一个量都可以被认为与另一个量成正比或反比。这意味着一个量增大或减少时，另一个量也以相同比例增大或减少，或是后者与前者的倒数以相同比例增大或减少。假设任意一个量被认为与其他任意两个或更多的量成正比或反比，那么第一个量则与其他量的复合数以相同比例增大或减少，或是后者与前者的倒数的复合数以相同的比例增大或减少。

举个例子，假设A与B、C成正比，与D成反比，那么A与B×C×以相同比例增大或减少。也就是说，A与的比值是固定值。

引理11

假设经过接触点的所有弧线的曲率是有限的，那么弧线内趋于消失的接触角的弦最终与相邻弧线的弦的平方成正比。（图A 1-9）

（图A 1-9）

情形1.弧线AB的切线是AD，作直线BD与切线AD垂直相交于D点，那么BD为接触角的弦，直线AB是弧线AB的对应弦。另经过点B作直线BG与弦AB垂直，作直线AG与切线AD垂直，二者相交于点G。让点D、B和G分别靠近点d、b和g，假设直线BG和AG最终在点J相交，且点D、B将与点A重合，得出，线段GJ的长度可能比任意给定距离小。根据圆的属性，AB2＝AG×BD，Ab2＝Ag×bd，所以，AB2与Ab2的比值是AG和Ag的比值与BD和bd比值的乘积。不过，因为GJ比任意给定长度小，AG和Ag的比值与等量比的差值也可能比任意给定值小，所以，AB2与Ab2的比值与AG和Ag比值的差值也比任意给定值都小。根据引理1得出：AB2∶Ab2＝BD∶bd。

情形2.假设直线BD与AD组成任意指定值的角，那么BD与bd的最终比值也和之前的比值相等，所以AB2与Ab2的比值也和BD与bd的比值相等。

情形3.假设角D为任意角，直线BD经过任意给定点，或为任意直线，那么角D和角d将不断趋于相等，且比给定的任意差值小。根据引理1，角D、d最终将趋于相等，因此，直线线段BD与bd的比值与之前的比值相等。

推论Ⅰ.假设切线AD、Ad、弧线AB、Ab及其对应正弦BC、bc最终和弦AB、Ab相等，那么AB2和Ab2最终也将与弦BD、bd成正比。

推论Ⅱ.AB2和Ab2最终与其正弦BC、bc成正比，又因为正弦和弦BD、bd成正比，所以正弦将被平分，并趋于向给定点重合。

推论Ⅲ.这些正弦和物体运动时间（物体以给定速度沿着弧线运动所需时间）的平方成正比。

推论Ⅳ.因为三角形ADB与Adb面积的比值等于边AD和Ad的立方的比值，同时等于边DB和DB的比值。由此可以得出，三角形ADB的面积与Adb面积的比值等于（AD×DB）∶（Ad×db），AD2∶Ad2＝DB∶db；进一步得出，三角形ABC的面积与Abc面积的比值等于BC3∶bc3。

推论Ⅴ.因为直线DB平行于db，且与直线AD、Ad的平方成正比，根据抛物线的属性，所以弧线面积ADB和Adb分别是直角三角形ADB和Adb面积的三分之二，剩下的弓形面积AB、Ab则是对应的直角三角形的三分之一。因此，这些弧线图形的面积和弓形图形的面积恰好与切线AD、Ad的平方成正比，且与相对应的弧或弦AB、Ab的立方成正比。

附录

不过，我们讨论的所有问题都有一个假设的前提，即切角不会无限大于或小于圆形和切线组成的任意切角。也就是说，通过点A的弧线的曲率不会无限大或无限小，且AJ的长度是一个限定值。我们可以设定直线DB与AD的立方成正比，如此，切线AD和弧线AB之间就不可能存在过点A的其他弧线，所以这个切角会无限小于弧线的切角。同样，假设直线DB与AD4、AD5、AD6或AD7等成正比，那么得到一系列趋于无限的切角，且后者无限小于前者。而假设直线DB与AD2、AD、AD、AD、AD或AD等成正比，得到另外一系列趋于无限的切角，那么第一个切角和弧线的切角相等，第二个切角将变得无限大，且后者无限大于前者。从这些切角中任取两个，则两者中间还可以插入另一系列的任意切角，那么它们会以两种方式趋于无限，即后者永远都比前者无限大或无限小。

举个例子，取任意两项AD2和AD3，在两者中间插入另一个系列，即AD、AD、ADADADADAD、AD、AD等。同样，在这个系列中任意两项中间也可以插入新的系列的任意项，其任意两者的差别都有无限的可能性。就如同我们的自然界充满无限可能一样。

以上假设，我们都从弧线和其组成的图形规律中得以证实，并且已经很好地应用到立体曲面和立体容积的运算中。运用这些引理，我们可以规避古代几何学家使用的烦琐且晦涩的解题方法。在证明的过程中，我们可以使用不可分法进行简便计算，但是这个方法不够精确、严谨和几何化。所以，在之后的命题中我将使用最初的量和最终的量的和，以及新生的初量和趋于消失的量的比值来证明。即用这些量的和与比值的极限作为前提，尽可能简化地证明这些量的极限值。现在它们已经用不可分法得到充实证明，所以我可以准确地运用。因此，之后我提到的微小部分的量，或用短弧线代替直线，大家不要认为我在说不可分量，实际上我是指那些趋于消失的可分量；也不要以为我在说那些可知部分的总和与比值，实际上我是指那些和与比值的极限；同时，我在证明中所说的力，也只是引理中所提到的力。

或许有人会提出反对意见，认为根本不存在趋于消失的量的最终比值，因为在量消失前，其比值不是最终的，而当量消失后，其比值也将不复存在。但是，根据同样的道理，我们可以做出以下假设：物体到达某给定位置后不再运动，则速度消失。在物体到达这一位置前，这个速度并非最终速度，当它到达后，速度变为0。那么答案很简单，这个最终速度是物体以这个速度运动，是它到达目的地那一瞬间的速度，而不是它到达目的地停止前的速度，也不是停止后的速度。换一种说法，这个速度是物体到达目的地并停止运动时的速度。

同样的道理，趋于消失的量的最终比值是这个量消失瞬间的比值，而不是它消失前或消失后的比值。因此，新生的初量的最初比值（不管是增大还是减小），都可以被认为是其开始时的比值，同时，开始时的和与最后的和也可以被认为是其刚开始时与刚结束时的和。

最终速度就是运动在最后时刻、不能超越的极限。也就是说，所有初量和最终量以及其比值都有一个极限，这些极限是可以确定且真实存在的，所以我们可以利用几何学来计算它。同时，我们要求解和证明其他任何类的几何问题时，都必须依赖严谨的几何学。

或许还有人持有反对意见，认为若是趋于消失的量的最终比值是可以确定的，那么其最终量也可以确定。即所有量都将包括不可分量，然而，这与欧几里得的著作《几何原本》中证明的不可比较量的论点互相矛盾。所以说，这一论点是建立在一个错误命题之上的。

当量趋于消失时，其比值并不是最终量的比值，而是这个量无限地减少且聚集到一个极限，且这个无限减小的量的比值始终以小于某一任意给定值的量向这个极限靠近。它永远不会超过这个极限，也不会到达这个极限。在无限大的量中，这一点表现得更明显。

如果两个量的差是给定值，且无限增大，那么这些量的最终比值也是给定值，是一个等量比。但是我们不能认为其最终量或最大量是固定值。因此，我在下文中提到最小的、趋于消失的量或最终量，大家不要认为它们是确定的量，而是那些无限减小的量。