四、n阶行列式

有了排列的一些基础知识，就可以在分析三阶行列式表达式特点的基础上给出n阶行列式的定义。

由三阶行列式的运算结果可以看出，三阶行列式的值由6项（3！项）构成，每一项都是取自不同行不同列的3个元素的积。而三级排列共有6个，在书写时可以把每项元素的行标排成123自然排列。

列标j1j2j3要取遍所有三级排列。这6项中一半的项带正号，一半的项带负号，项的符号与列标排列的奇偶有对应关系。显然123、231、312都为偶排列，321、213、132都为奇排列。当j1j2j3为偶排列时前面带正号，相反带负号，故每项前所带符号可以表示为。从而，三阶行列式可以表示为所有取自不同行不同列的三个元素的乘积的代数和，即

其中，∑表示把所有项加起来，而j1j2j3要取遍所有三级排列。

二阶行列式亦有相同的结论，。故由此得到n阶行列式的记号和运算。

定义1-8　n×n个数排成n行n列，按如下方法计算其值的记号称为n阶行列式。

其中，j1j2j3…jn取遍所有n级排列，aij称为第i行第j列的元素。

n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积代数和，各项符号由列标n级排列j1j2…jn的奇偶性决定，偶排列带正号，奇排列带负号。

n阶行列式在n＞3时，不能使用对角线法则计算。

例1-4　计算行列式的值。

解　此行列式中有很多元素为0，则通项中就有很多项为0，只需找出所有元素都不为0的项加起来即可。

由于每项取自不同的行与不同的列，第一行只有选a1n才不为0，第二行只有选a2，n-1，第三行只有选a3，n-2，…，第n行只能选an1，这样n！项中只有a1na2，n-1…an1这一项不为0，故行列式值为

练习

1.计算下列行列式的值。

2.计算以下排列的逆序数，从而判断它们的奇偶性。

（1）4132

（2）35412

3.在六阶行列式中，a21a53a16a42a65a34这一项应该带什么符号？

4.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。

5.已知是关于x的一次多项式，求该式中x的系数。