1.2 可靠性分布模型简介

可靠性分布模型是由产品失效数据拟合出来的概率模型，在可靠性分析中，它能够准确反映产品的失效分布规律并且与可靠性评价特征量也有着紧密的联系。常用的机电类可靠性分布模型有韦布尔分布模型、指数分布模型、正态分布模型和对数正态分布模型，本节将详细分析这4种分布模型并推导出模型求解方法。

1.2.1 韦布尔分布模型

韦布尔（Weibull）分布模型对浴盆曲线反应较为灵敏。在工程应用中，两参数韦布尔分布是最基本的形式，设T～W（β，η），则其可靠性评价函数分别表示为

其中，β为形状参数，η为尺度参数。

当η取值不同时，函数的峰度也会不同，但并不影响图像形状；β则决定了图像形状的变化趋势，改变β的值会对函数性质产生根本影响。图1-4给出了当η恒定（η=500）而改变β时，4种可靠性评价函数仿真曲线的变化情况。

对于采用韦布尔分布模型的可靠性评价函数，其求解过程主要是对各参数的估计。基于最大似然估计（M aximum Likelihood Estimation, MLE）的参数求解法（MLE法），精度和统计性质较高，求解结果不依赖于经验分布函数，且可对参数点估计与区间估计进行有效的评估，尤其在处理不完全故障数据时具有明显优势。故本节采用MLE法对模型参数进行求解，其方法建立过程如下：

设样本T的概率密度为

式中，θ为函数的待估计参数，假设（T₁，T₂，…，T_n）为随机变量，且观测值t_i（i=1，2，…，n）的联合概率密度为

则（T₁，T₂，…，T_n）落入（t₁，t₂，…，t_n）邻域内的概率为

求解出最大值，该值即为参数的最大似然估计值。另外式（1-18）的Δt_i是一独立增量，故

式中，称为极大似然函数。当分布函数中有参数θ₁，θ₂，…，θ_k时，则最终构建的似然函数表达式如式（1-20）所示。

对于包含参数β、η的韦布尔分布，将式（1-13）代入式（1-20），建立极大似然函数：

对式（1-21）进行对数变换：

对参数β、η求偏导得：

整理得：

式（1-24）即为两参数MLE公式，该超越方程可通过MATLAB的牛顿-拉夫逊迭代算法求解。

1.2.2 指数分布模型

指数分布模型是一种恒定故障率的模型（具有唯一参数）。设随机变量T～E（λ），则其可靠性评价函数分别为

其中，λ表示失效率，是一个常数。指数分布模型可靠性评价函数仿真曲线如图1-5所示。

对参数λ推导极大似然估计公式，由式（1-26）和式（1-20）可得指数分布似然函数：

对式（1-29）进行对数变换：

对参数λ求偏导：

令式（1-31）等于0，解得λ的MLE公式为

1.2.3 正态分布模型

正态分布（高斯分布）模型对平均寿命附近失效集中发生的现象具有灵敏的响应度。设随机变量T～N（μ，σ2），则F（t）的函数表达式为

式中，μ为位置参数（均值），σ为尺度参数（σ2为方差）。由于式（1-33）没有封闭解，计算较为困难，故引入标准正态分布T～N（0，1）。

首先，令

则有

因此，对于求解非标准形式的正态分布，要先对其进行标准化处理。最终，可靠性评价函数的标准化形式处理如下：

当μ恒定（如μ=10）而改变σ时，4种可靠性评价函数仿真曲线如图1-6所示。

对参数μ、σ2推导极大似然估计公式，由式（1-38）和式（1-20）可得正态似然函数：

对式（1-41）进行对数变换：

对参数μ、σ2求偏导：

最终整理得到正态分布参数的MLE公式为

1.2.4 对数正态分布模型

若设非负随机变量t的对数lnt服从正态分布，则变量t服从对数正态分布，即lnt～N（μ，σ2），F（t）的函数表达式为

若令，则其可靠性评价函数可处理为标准化形式：

尺度参数σ的变化会对函数曲线产生影响，函数变化趋势如图1-7所示（图中参数μ的取值为ln500≈6.2）。

对参数μ、σ2推导极大似然估计公式，由式（1-47）和式（1-20）可得对数正态似然函数：

对式（1-50）进行对数变换：

对参数μ、σ2求偏导：

最终整理得到对数正态分布参数的MLE公式为