1.1.2 典型海谱函数

海谱是海面的功率密度谱，反映了海浪波的能量统计分布，可以根据海浪能量的平衡方程或者对实验获得的海浪数据进行统计得到。海谱与海面高度的自相关函数有着傅里叶变换的关系。20世纪50年代以来，许多海洋工作者通过实验观测研究随机海浪，对得到的测量数据进行统计分析，最后总结出了一些经典的海谱函数模型[2-5]。最早的海谱函数是 Neumann 谱，限于当时的实验条件，Neumann谱从概念上来讲与后来的海谱函数有所区别，但是对于当时海浪的研究和发展起到了重要的理论指导作用。根据北大西洋在1955年至1960年之间的海洋观察资料，Pierson和Moskowitz于1964年提出了P-M海谱模型（简称P-M谱），P-M谱具有比较可靠的实验数据基础，可以对完全发展的海浪进行有效模拟。由于 Neumann谱和 P-M谱均属于重力波谱，在此基础上，Fung 等人在1982年利用Pierson提出的张力波谱对P-M谱进行修正，得到了半经验的A.K.Fung完全海谱，比原来的P-M谱包含了更多的海浪波谱成分。鉴于前面的几种模型只能对完全发展的稳态海面进行描述，根据1968年至1969年间英国、美国、德国等在丹麦、德国西海岸以外共同开展的联合北海波浪计划（Joint North Sea Wave Project，JONSWAP），Hasselmann等人提出了适合非稳态海面描述的JONSWAP海谱模型，该谱在概念上考虑了风区的因素，因此被看作是国际标准海谱。在前面研究工作的基础上，Apel等人在实验室造波池进行实验，通过处理测量数据提出了 Apel 谱，此模型能够描述顺风和逆风情况下海谱的区别，但是在张力波的描述上还不够充分。基于水池实验测量数据，Elfouhaily在1997年提出的 Elfouhaily 谱具有明确的物理意义，而且能够很好地描述重力波谱和张力波谱，模型的建立未依赖于遥感数据，但是却与实测结果符合得很好。

线性海浪假设忽略了海浪波在水平方向和垂直方向上的不对称性，而越来越多的海场景观测和实验室测量结果表明，由于风、浪和流场之间的非线性效应，实际的海浪具备许多非线性特征。在描述海浪波之间的非线性特性时，以上海浪谱均存在一定的缺陷，必须使用高阶谱。幸运的是，对于海面尾迹背景波浪的电磁散射计算，仅需要最基本的线性波浪模型便已足够。线性波浪意味着将海水视为无旋、无黏性、不可压缩的流体，且忽略波浪破碎与气体混合作用。海面在大尺度上可以视作平稳随机过程，仅需描述海浪的二阶统计学特性即可满足海洋背景波浪的电磁散射计算要求。

一般情况下，二维海谱可用以下表达式描述：

式中，Ψ（k）表示全向海谱，也被称为一维谱，Φ（k，φ）为方向函数，方位关系如图1-4所示。

Elfouhaily 谱可以完整地描述从重力波到毛细波整个频率范围内海浪能量的分布，该谱有时也被称为E谱或ESKV谱（ESKV为几个作者姓氏首字母组成的缩写），其全向海谱表达式如下[5]：

k2Ψ_E（k）值表示海浪的斜率谱，与海面波浪的均方斜率有关，而k3Ψ_E（k）值表示海浪的曲率或饱和度谱，与波浪的均方耗散率有关，B_l和B_h分别表示低频（重力波）曲率谱和高频（张力波）曲率谱。其中低频曲率谱可表示为

式中，是任意空间波数k对应的海浪相速度，k_m=370rad/s，，，Ω_c表示峰值重力波相速度，为波浪的峰值角频率ω_p对应的空间频率，为给定风速下的逆波龄，取值在0.84到5之间，0.84对应完全发展的海浪谱（PM谱），Ω_c越小，波浪传播时间越长，波浪越“老”，对应风区越大，海浪谱中低频分量越多。L_PM对应PM谱，而J_p为峰值增强函数，可以分为峰值增强参数γ和其指数Γ两部分：

其中，

类似地，ESKV谱中的高频曲率谱B_h可表示为

式中，α_m为海浪中短波分量的广义平衡参数，与海面摩擦风速u*有关：

其中，c_m表示在海谱空间频率k_m处的海浪相速度，C_d=0.00144；短波反作用函数F_m可表示为

图1-5展示了不同风速条件下完全发展的ESKV高度谱、斜率谱和曲率谱。图中黑点代表风速10m/s情况下的PM谱。为了与对应风速下的PM谱对比，取逆波龄Ω_c=0.84。可以看到，ESKV谱与PM谱在低频区保持一致，其主要区别出现在高频区，在三种谱线中，ESKV谱的高频分量下降趋势先略微缓和，之后随着频率增加迅速减小，而PM谱的各曲线在对数坐标系下均保持原来趋势，ESKV谱更好地描述了海浪中重力—毛细波至毛细波频段的能量分布情况。比较不同风速的结果可知，相同逆波龄的海面，风速越大，海浪传播距离越远，海谱的低频分量越多，对应峰值频率变低，峰值变高。而对于高频分量而言，ESKV谱的高频部分的斜率谱和曲率谱随着风速的增加有着较明显的提升，而高度谱的变化相对细微。这说明在海浪毛细波频段，随着频率增加，其斜率的改变要比波高改变更显著。

图1-6给出了海面风速10m/s时不同逆波龄下的ESKV高度谱、斜率谱和曲率谱。相同风速的海面，逆波龄越小，海浪发展越充分，海浪谱中低频成分越多。而在相同风速下，海浪各发展阶段的各谱线高频成分完全相同。各谱线重力波段在逆波龄大于2的时候会发生畸变，一般将逆波龄大于2的海浪称作“年轻”海面，小于2的海浪称作“成熟”海面。鉴于 ESKV 谱对于海浪发展情况和毛细波描述的优势，如无特殊说明，后文所用海谱均默认为ESKV谱。

相比于海浪频率谱，传播方向谱的形式较少，主要可分为单边和双边两种形式。其中，余弦功率模型最早由Pierson提出，Longuet-Higgins 在此基础上提出了单边余弦功率形式的传播方向谱模型：

式中，φ_w表示海浪传播主方向，通常定义为海面风向，C_s表示传播方向谱的归一化系数：

s 表示传播方向谱的宽窄系数，一般与风速、频率与波龄有关。Γ（·）表示Gamma函数。

Elfouhaily等人在ESKV模型中使用了一种双边形式的传播方向谱：

式中，Δ（k）表示方向谱的迎风—侧风（Upwind-Crosswind）比，与海面风速和海浪各成分相速度有关：

图1-7分别给出了单边余弦传播方向谱和双边 ESKV 传播方向谱的函数，这两种函数都满足归一化条件，且两种函数均在低频情况下上表现出比高频情况更强的方向性。如它们各自名称所述，这两种谱的主要区别在于是否考虑到海浪的主波能量传播方向：双边方向谱函数在顺风逆风两侧能量分布是对称的，能量峰值平等地分布在风向两侧，最小值出现在侧风方向；而单边方向谱主要能量集中在顺风方向，逆风方向没有能量传播。对于线性滤波法而言，单边谱和双边谱模型在瞬态海面建模与电磁计算中是通用的，但是对于时变海面仿真，单边谱模型能更好反映海浪的实际传播方向。

需要说明的是，尽管上述海浪模型已经足够完成海面尾迹背景波浪的电磁散射计算与成像仿真，但统计模型对海面的描述仍存在其局限性，真实海洋的流场特性要比上述模型都要复杂得多，实际海浪的演化、各波浪间的非线性作用以及海浪主波方向变化等因素很难体现在统计模型中。