1.3.2　线性相关和线性无关

如果有一组向量α1，…，αm存在不全为0的数k1，…，km，使得

k1α1+…+kmαm=O

其中O为各个元素都为0的向量，就称α1，…，αm是线性相关的，否则称α1，…，αm是线性无关的。如果α1，…，αm是线性相关的，并且kj≠0，那么

即在这组向量中，存在可以由其他向量表示的向量αj。

例如，对于向量，，，因为α1=2α2+α3，即

α1可以由α2和α3线性表示，所以，这组向量是线性相关的。

线性相关意味着这组向量在方向上存在冗余。例如，有两个地方A和B，B在A的东边1千米、南边1千米，这时B在A东南方向千米就是冗余信息，因为通过东边和南边已经完全可以推断出东南方向的信息了，如图1-9所示。

图1-9

如果去除这组向量中的α1，仅保留α2和α3，那么有且仅有k2=k3=0时k2α2+k3α3=0，其他情况都不为0，因此α2和α3线性无关。

如果一组向量α1，…，αm是线性无关的，那么其中的任何一个向量都不能由其他向量线性表示，这组向量也就不存在冗余。有一个结论：在n维向量中，一组线性无关的向量中最多有n个向量。但是，我们可以找到无数组线性无关的向量。