二、势场与力的关系

在《张朝阳的物理课》第一卷中我们讲过，如果质量为m的质点处于位置(x,y,z)，质量为m0的质点处于位置(x0,y0,z0)，那么两个质点之间的引力势能为

其中,G是万有引力常数，r是两个质点之间的距离，满足

r2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2

（1）

观察u的表达式，我们可以发现u/m是一个只与m0和时空位置有关的量，由此可以进一步定义在(x,y,z)处单位质量所获得的引力势能为引力势：

根据我们前面对标量场的描述可知，引力势是一个标量场。

对引力势做梯度运算，可得

为了进一步求出上式等号右边的偏导数，我们同时在式（1）两端对x求偏导数可得

所以

同理可以得到r关于y与z的偏导，将这些偏导数的表达式代入式（2），得到

其中，表示对应的单位矢量。

根据牛顿万有引力定律，质点m受到m0的引力为

可以发现，与引力势的梯度有如下关系：

我们可以定义单位质量的质点所受的引力为质点所在位置的引力场，记为。从上式可以看到，质点m0所产生的引力场为。

对于多个质点所产生的引力场，我们可以使用叠加原理来进行计算。如果使用下标i区分各个质点，那么ϕtotal=Σiϕi。根据单质点引力场的结论，我们有。于是，对引力场使用叠加原理可得

可见，一般的引力场都等于引力势的负梯度。