二、小质量物体在大质量天体引力作用下的轨道

要想详细地厘清引力弹弓效应，我们需要计算出小质量物体在大质量天体引力作用下的轨道方程。其实在《张朝阳的物理课》第一卷中就已经推导过行星的轨道方程，不过当时的主要焦点是椭圆轨道。在这里，我们将使用更便捷的方法得到一般性的轨道方程。

简单起见，我们忽略小质量物体自身的引力，并将大质量天体固定于坐标原点。设大质量天体的质量为M，小质量物体的质量为m。在大质量物体的引力场中，物体的动力学方程可以写为

我们并不打算直接求解这个矢量微分方程，而是先考虑这个体系的守恒定律。首先，我们有角动量守恒，这一点可以从有心力场引起的力矩上看出：

这导致角动量是一个不随时间改变的量。根据向量叉乘的性质，与都垂直于，因此与两者总在同一个平面上，这说明物体绕天体的运动是一个平面运动。在这个平面上，以大质量天体的中心为原点建立极坐标系(r,θ)，于是物体的速度可以表示为

其中，上方标有一点的r和θ分别表示它们对时间的导数，即与。

接下来要考察的守恒定律是能量守恒定律，为此，我们在式（1）等号左边点乘物体在时间dt内的位移：

然后，在式（1）右边点乘：

上式使用了标量场的微分关系以及作为保守力场的引力场所满足的条件：

由这些结果我们能够写出

于是

在物体运动过程中保持不变。事实上，E正是物体的能量。

将速度表达式代入前述两个守恒量中，我们得到

定义常数α=L/m，于是，借此消去E中的可得

我们只关心轨道方程，即作为θ的函数的r(θ)，因此我们使用链式法则将dr/dt进行改写：

其中，撇号表示对θ的一阶导数。将上式代入式（2），我们得到

接着，引入y=1/r，可以将上式改写为

这是一个非线性微分方程，在通常情况下是难以求解的。在这里，我们可以通过猜测解的形式来进行求解。方程中同时出现了y与y′ 的同次幂项，这启发我们使用三角函数来试探解的形式。我们不妨设解拥有形式

y=Acosθ+B

将此形式代入方程并整理，可得

要想这个方程对任意θ成立，必须让cosθ前面的系数为零，由此得到

将其代入前式可以解出A为

在上式的开方中只保留了正根，这是因为我们总可以选择θ的起点使得A>0。由这些结果可以得到轨道方程为

此结果表明物体的轨道是圆锥曲线。在θ=0 处，r(θ)取得其最小值，因此在最终的结果中，我们将极轴取在了圆锥曲线的对称轴上，而坐标原点是圆锥曲线的一个焦点。

上述圆锥曲线的类型取决于A与B的相对大小，有如下三种可能性。

（1）A<B，此时Acosθ+B总是大于零的，这使得无论θ取任何值，r(θ)都取有限值，这对应椭圆轨道。

（2）A=B，此时在θ=π 处有Acosθ+B=0。定性地说，这意味着当θ靠近π 时。r将变得任意大，这对应抛物线轨道。

（3）A>B，此时在θ<π 处，Acosθ+B就有机会取到零值，取零值时的θ由A与B决定，其代表了渐近线的方向，这对应双曲线轨道。

对于双曲线轨道，我们能够给出渐近线对应的角方向。如果令其补角为β，则有

注意，2β是双曲线的两条渐近线在双曲线这一侧的夹角。