一、使用高斯定理计算球壳的引力场

我们在《张朝阳的物理课》第一卷中借助球坐标系计算了均匀球壳对质点的引力，发现球壳对其外部质点的引力可以等效为将球壳的所有质量集中在球心时的引力，而处于球壳空腔内的质点感受到球壳的引力为零。这个结论可以用来分析球体的引力。如果球的密度分布ρ只依赖球壳到球心的距离，那么这个球体可以看作一系列不同半径均匀球壳的集合。根据叠加原理可以知道，整个球体对球外质点的引力也可以等效为把球体全部质量集中在球心后对同一质点的引力。由于宇宙中大部分的大质量天体是球形的，球体引力的这个特殊性质使得我们在计算宇宙中天体的万有引力时非常方便，例如在中学物理中直接将地球等效为一个质点来计算它对卫星的引力，现在我们知道这样处理所得到的结果是正确的。

下面我们利用高斯定理，重新证明球壳对外部质点的引力可以等效为球壳所有质量集中在球心时的引力。选取与球壳同心的一个球面S，设S的半径为r。由球壳的球对称性可知，球壳引力场呈球对称分布，所以S上的引力场大小相等，方向平行于径向。因为万有引力是吸引力，所以是沿着径向指向球壳中心的。我们将S的方向取为向外，记，那么根据这里的分析，我们可以得到引力场在S上的通量为

（1）

其中，第二个等号之所以成立，是因为球面S的表面积为4πr2。

设球壳的总质量为M，假设球面S的半径大于球壳的外半径，那么S内部包含了球壳的所有质量，根据高斯定理，我们得到

此结果与式（1）对比，我们得到−4πGM=−4πr2g，所以

引力场方向沿径向指向球心。由于一个质量为M的质点在距离r处产生的引力场大小也是GM/r2，方向指向质点所在位置，这说明球壳对球壳外质点的引力可以等效为球壳所有质量集中在球心时的引力。

如果球面S的半径小于球壳的内半径，那么S内部不含任何物质，所以引力场在S上的通量为零，根据式（1）可知g=0，这说明球壳内质点感受到的引力为零。

经过上述分析我们可以发现，只通过高斯定理进行简单的推导，就得到了以前通过复杂积分计算才能得到的结果，这展现了高斯定理的强大作用。