代数的原始形态

我国在商代的早期奴隶社会里，农业、畜牧和冶炼等生产，在奴隶辛勤劳动的基础上都比夏代有了发展。那时候人们在农业生产中长期观察天象，由此制订历法，掌握了寒暖季节，能够及时进行耕作，使农业生产继续推进。由于天文历法的研究必通过相当繁复的数字计算，于是数学也随着发展起来。当时的奴隶被贵族强迫着劳动，生产的东西自己不能享用，过着牛马一般的生活，连生命也没有保障，因而常常起来反抗。在商末和西周时，即奴隶社会后期，奴隶主对奴隶的剥削和虐待越来越残酷，使阶级斗争变得很激烈，更多的奴隶不断地起来反抗，他们毁坏生产工具，并大批逃亡。因此，到后来生产逐渐萎缩，这种奴隶社会的生产关系已经成为生产力发展的障碍。到了春秋、战国时期，奴隶社会渐渐瓦解，转变为地主以地租形式削农民的封建社会的生产关系。这样一来，农民生产的东西除了一部分被地主剥削去以外，还可以留一些自己享用，因而他们的劳动兴趣一般要比奴隶高。由于生产关系的改变，社会生产力就显着提高起来，随着生产力的提高，出现了胜过原有青铜器的铁制工具，发明了用牛拉犁耕地，工业上又有了专门工匠，商业上已由物物交换变成用金钱做交易的媒介。这些经济上的变化也推动了各种学术向前发展。就数学方面来说，有关田地面积、仓库容量、工程土方、商品交易、粮食分配等的计算方法，一定都产生于这时候或更早的时期。虽然没有一本秦代以前的数学书流传下来，但在东汉初年（公元第一世纪后期）编写完成的《九章算术》中的大部分内容，无疑都是总结了秦以前的人民在生产实践中的经验而产生的。《九章算术》中除了上述的全用已知数列式计算的方法以外，还有把未知数也列入算式中的“方程”算法，这已经越出了算术的范围，成为代数的原始形态了。方程算法和现今代数里解多元一次方程组类似，它虽然可能起源于汉代，但在世界数学史上还是最先进的。

因为在方程的算法里必须用到负数，所以《九章算术》里已经讲到正负数的计算方法。在西洋数学史里面谈到负数，一般都说导源于印度，其实印度在七世纪时才提出正负数的计算法则，很可能是从中国传过去的。至于在欧洲，十五世纪的数学家还不认识负数，直到十六世纪中叶，对正负数的意义也还没有完全领会。

中国古代算书谈到方程的，除《九章算术》外，较早的还有《孙子算经》（约四世纪末）和《张丘建算经》（约五世纪）。各书所用消去未知数的方法，都是所谓“直除法”，仅有刘徽在《九章算术》方程章第七题下面的注解（公元263年）里，补充了一个不同的解法，这个解法和现今代数里经过互乘的“加减消元法”完全一样①[_{①从现传的“微波榭”刊本《孙子算经》里，我们看到卷下的第28题是一个方程问题，它的解法和刘微在《九章算术》方程章第七题下面所注的一样，是互乘而不是直除，但是，根据南宋刻本《孙子算经》（孤本现存上海图书馆），知道《孙子算经》原本也用直除，而现传本是经过清代戴震校订的，他在卷下第28题的解法中加了二十三个字，于是就把原来的直除相消改作互乘相消了。}]，这里先把正负数的计算作一简略记述后，再分别举例介绍方程的两种解法。