1.2.2 多因子模型的数学语言

前面我们提到，股票多因子模型也常被叫作股票Alpha策略，下面我们就来解释一下这背后的原因。

一只股票的涨跌可以分成两个部分：股票自身的特性与当时大盘整体的表现。

例如，某一天上证指数上涨1.5%，而上证指数中的股票A上涨1.7%，股票B上涨1.2%，这个时候我们就可以认为，两只股票自身特性所带来的收益分别是0.2%（1.7%-1.5%）、-0.3%（1.2%-1.5%），而两只股票共有的大盘表现就是1.5%。

在上面的例子中，我们将股票的收益率进行了简单的分解：由股票自身特性所带来的收益称为Alpha收益，而归属于大盘整体表现的收益，称之为Beta收益。

当然，Alpha收益和Beta收益都是可正/可负的。通俗来讲，所谓的Alpha收益就是跑赢了大盘多少个点。

所以，我们就有下面这个公式：

R_it=Alpha_it+Beta_t

式中，R_it是股票i在t时刻的收益率，Alpha_it为t时刻股票i的Alpha收益率，Beta_t为t时刻的大盘收益率。对于一只股票是如此，对于多只股票的组合也是如此。因为股票组合就是一系列股票的加权组合。

式中，P_t是股票组合的整体收益率，w_it为某一时刻股票组合中股票i的权重，Alpha_it为t时刻股票i的Alpha收益率，Beta_t为t时刻的大盘收益率。整个组合超过大盘的部分就是整个组合的Alpha收益率。

对于Beta收益，也就是大盘的涨跌，投资者可以通过卖空股指期货的方式进行对冲。即我们可以不考虑大盘的涨跌，只要组合具有正的Alpha收益，那么即使整体收益率是负的，也可以获得不错的收益。

例如我们持有某一个股票组合，股票全部来自中证500指数。在某一年的牛市中，我们的组合上涨了55%，中证500指数上涨了53%。那么我们在持有组合的同时，在股指期货上做空中证500股指期货，先不考虑升水、贴水等其他交易成本的影响，股指期货给我们带来53%的亏损，则最终的收益是55%-53%=2%。这样我们就剥离出来了Alpha收益。

或许有的读者觉得2%过少，但是如果我们将场景切换为熊市，市场下跌53%，这个时候只要Alpha收益为正，最后的收益就是正的。

对冲基金的常规做法就是使用多因子模型构建股票组合，然后利用股指期货做空，获取Alpha收益。正是因为这样的操作方法较为常见，所以很多时候股票多因子模型也被叫作Alpha策略或市场中性策略。

当然，股票多因子模型也可以不使用股指期货做空，而仅利用多因子模型进行股票的选择和权重的配置，从而对指数收益进行增强。

上面我们仅对股票的收益进行了简单的分解，将其分为Alpha收益和Beta收益，这也是多因子模型理论框架的起点。

下面我们来简单了解一下多因子模型的数学公式。

R_it=α_i+β_1if_1t+β_2if_2t+…+β_kif_kt+ξ_it

上面式子对股票收益率的分解更加细化。式中，R_it是股票i在t期的收益率，与之前一致。α_i则代表收益率的常数项，通常这一项数值极小，趋近于零。β_kif_kt是因子k在R_it上的收益率分解。其中，β_ki是股票i在k因子上的敞口，也就是股票的该因子的因子值，f_kt是k因子的因子收益率。所以股票的收益率并不能完全被我们所知道的因子解释，所以会有一个残差项ξ_it。