1.2.3　采样与频谱搬移

对模拟信号进行数字化的第一个步骤就是采样，最基本的采样定理就是前面提到过的奈奎斯特采样定理，另外我们还要简单讨论带通采样定理的相关问题。

1.奈奎斯特采样定理

奈奎斯特采样定理可以表述为：设有一个频率带限信号x(t)，其频带限制在（0，fH）内，如果以不小于fs=2fH的采样频率对x(t)进行等间隔采样，得到时间离散的采样信号x(n)=x(nTs)（其中Ts=1/fs，称为采样间隔），则原信号x(t)将被所得到的采样值x(n)完全确定。

上面这段描述读起来总感觉有些拗口。如何用更为通俗易懂的语言来理解这些枯燥的理论正是我们需要做的事。首先需要说明的是频率带限的概念，前面已经讨论了频谱及带宽的概念，这里理解频率带限就容易得多了。频率带限信号就是指信号的频率只在一定的频带之内存在，超出这一范围的频率信号全部为0。既然是频带信号，则能量就一定是有限的，也就是所说的能量信号。实际情况中显然不是如此，工程中所处理的信号几乎都是功率信号，因此这里所说的频率带限信号只具有理论上的意义。工程上的信号可以看成理论信号的近似。例如，采用滤波器对所要处理的信号进行处理，则带外的信号能量很少，就可以看成频率带限信号了。虽然与理论分析的结果有些差异，但并不影响工程应用的正确性。另一个需要说明的概念是时间离散的采样信号，注意与工程上实际处理的数字信号相区别，数字信号在时间和幅值上都是离散的，而奈奎斯特采样定理中描述的采样信号仅指时间离散，在幅值上并不是离散的值。这又有什么区别呢？对采样后的信号进行量化处理就变成数字信号了，两者之间存在一个量化误差。奈奎斯特采样定理中的最后一句“原信号x(t)将被所得到的采样值x(n)完全确定”，也就是说可以用x(n)通过一种算法完全恢复出x(t)。这里说的“完全确定”“完全恢复”，是指不会引起任何误差，当然前提是信号x(t)为带限信号，且采样的数值没有经过量化。

奈奎斯特采样定理说明，如果以不低于信号最高频率两倍的采样频率对频率带限信号进行采样，那么所得到的离散采样值就能准确地确定原信号。下面我们从数学上进行简单的证明，给出用离散值x(n)表示带限信号x(t)的数学表达式。

引入单位冲激函数δ(t)（简称冲激函数），构成周期冲激函数p(t)：

根据傅里叶变换，将p(t)用傅里叶级数展开，可得：

对x(t)用采样频率fs进行采样后得到的采样信号可以表示为：

设x(t)的傅里叶变换为x(ω)，则xs(t)的傅里叶变换Xs(ω)可表示为：

式中，ωs=2π/Ts=2πfs。由此可见，采样信号的频谱为原信号频谱以ωs为周期频移后的多个叠加。如果原信号x(t)的频谱如图1-10（a）所示，则采样信号的频谱如图1-10（b）所示（图中ωH=2πfH）。

从式（1-9）可以看出，采样信号的频谱是周期性的。根据前面的讨论，我们可以从以下几个方面进行理解。

（1）再次验证前面讨论过的一个概念，即离散信号的傅里叶变换一定是周期性的。

（2）采样信号的频谱是无限带宽的，或者说其频率范围扩展到了整个频域，而不是只限于某一个带宽内。

（3）图1-10（a）表示的是实信号的频谱，其傅里叶变换的表达式具有关于原点偶对称的两个部分，但现实中的频谱成分只有正频率部分。

（4）对信号在时域上进行采样，相当于对频谱进行周期性的搬移，并且同时向频域正反两个方向搬移；这种搬移也可以分别看成原信号频谱正负两部分的周期性搬移，正负频率部分均向正向搬移，在正频率部分形成实际的频谱形状。

（5）实信号的采样信号仍然是实信号，因此其频谱仍然是关于原点偶对称的。

理解采样对原信号频谱的搬移过程及方法非常重要，这一点在分析带通采样定理时还会用到。从采样前后的频谱形状也可以看出，正是由于在傅里叶变换中引入了负频率成分，采样前后信号的频谱形状变换关系才变得更容易理解。

接下来继续推导采样信号x(n)如何还原成原信号x(t)。由图1-10可知，由于采样频率fs满足采样定理的条件，即大于2fH，因此图1-10中的阴影部分频谱并没有与其他频谱混叠。这时只需要用一个带宽不小于ωH的滤波器，就能够滤出原信号x(t)。同样，图中所画出的矩形低通滤波器在工程上是无法实现的，这里也只具有理论上的意义，但对工程应用具有很强的指导意义。理想滤波器对应的冲激响应h(t)可以由傅里叶变换公式得到，即：

当fH=2fs时

式中，称为采样函数。根据信号分析理论可知，采样后的信号经低通滤波器后的输出为（用符号*表示卷积运算）：

式（1-12）为奈奎斯特采样定理的数学表达式，即频率带限信号x(t)可以由其取样值x(n)来准确地表示，只需要采样频率满足条件即可。奈奎斯特采样定理的意义在于，时间上连续的模拟信号可以用时间上离散的采样值来取代，这样就为模拟信号的数字化处理奠定了理论基础。

2.带通信号采样定理

奈奎斯特采样定理只讨论了频谱分布在（0，fH）上信号的采样问题，如果信号的频率分布在某一有限的频带（fL，fH）上，那么该如何对图1-11（a）所示的频率带限信号进行采样呢？当然，根据奈奎斯特采样定理，仍然可以按fs≥2fH的采样频率来进行采样。但是人们很快就会想到，当fH≫B=fH−fL时（B为信号带宽），也就是当信号的最高频率fH远远大于其信号带宽B时，如果仍然按照奈奎斯特采样频率来采样，则其采样频率会很高，很难实现，或者后续处理的速度也满足不了要求。由于带通信号本身的带宽并不一定很宽，那么自然会想到能不能采用比奈奎斯特采样频率更低的频率来采样呢？甚至使用两倍带宽的采样频率来采样呢？这就是带通信号采样定理要回答的问题。

根据信号的傅里叶变换性质可知，实信号的频谱一定是关于零频轴呈对称分布的，如图1-11（a）所示。以频率fs对其采样后的信号频谱，其实是对原信号以fs为周期搬移的结果，如图1-11（b）所示。显然，不失真重建信号的充要条件是搬移后的频谱互不重叠。取图1-11（b）中的第k个周期，该周期内的频谱为原x(f)的正频谱和负频谱的k次正向搬移，为保证频谱不混叠，要求：

对式（1-13）经过简单的整理，可以得到带通信号采样定理：采样频率并不需要一定大于信号最高频率的2倍，用较低的采样频率也可以正确反映带通信号的特性。对于某带通信号，假设其中心频率为f0，上、下边带的截止频率分别为fH=f0+B/2、fL=f0−B/2。对其进行均匀采样，满足采样值无失真地重建信号的充要条件为：

式中，fL/B表示不大于fL/B的最大整数。

根据式（1-14），对带通信号进行采样时，采样频率的范围是由一些不连续区间组合而成的。对于带宽为B的带通信号，最低采样频率是多少呢？我们需要对式（1-13）进一步进行分析。采样频率fs的范围关键在于k值的选取。

（1）当fL<B时，k=0，此时fs≥2fH，等同于奈奎斯特采样定理。

（2）当fL=mB，m为大于0的整数时，fs的最小取值为2B。

（3）其他情况，fs≥2B。也就是说，只有当带通信号的最低频率等于带宽的整数倍时，满足频谱不混叠条件的最低采样频率才是信号带宽的2倍，否则采样速率应大于信号带宽的2倍。

前面都是理论的推导和概念上的讨论，我们再以一个具体的例子来看看如何应用带通采样定理。假设在某个数字通信系统中，信号的带宽B为10.4 MHz，载波频率f0是典型的70 MHz，满足采样条件的采样频率fs是多少呢？根据式（1-13）不难算出，满足无失真重建信号的采样频率（单位为MHz）fs为：

(25.0667，25.92)∪(30.08，32.4)∪(37.6，43.2)∪(50.1333，64.8)∪(75.2，129.6)∪(150.4，inf)

假设取fs=32 MHz，则采样后的信号频谱是如何变换的呢？对于数字通信接收端来讲，对信号采样后通常需要进行解调处理，需要产生与载波信号相同频率的本地载波信号来实现零中频搬移。采用32 MHz的信号直接对70 MHz的中频信号采样后，数据速率就变成了32 MHz。如果要产生70 MHz的载波信号，则载波信号的数据速率必须大于140 MHz。如何实现解调呢？在分析奈奎斯特采样定理及带通采样定理时，我们已经了解到，采样的过程其实是对信号的频谱搬移过程。采样频率为fs，信号中心频率为f0，则采样后信号的中心频率fas变换为：

根据奈奎斯特采样定理，采样频率为fs时，只能无失真地处理小于fs/2的信号。对于带通信号来讲，也只能处理信号带宽全部处于fs/2以内的那部分频率信号。根据式（1-15），容易计算出采样后信号的中心频率fas取值为6 MHz、26 MHz、38 MHz等。因此，采样后需要处理的中心频率为6 MHz，信号频率范围为（0.8 MHz，11.2 MHz）。本地载波信号的频率只需为6 MHz即可。也可以理解为，32 MHz对（64.8 MHz，75.2 MHz）范围内的信号采样，等同于对（0.8 MHz，11.2 MHz）范围内的信号采样后获得的信号。这里的“等同”有一个前提条件，即信号频带外没有任何噪声。当有噪声时，由于采样后噪声谱的叠加，满足奈奎斯特条件的采样信号显然具有更高的信噪比。在本书后续介绍MATLAB软件时，还会以具体的实例来进一步验证两种采样的区别。