1.2　数字通信中的几个基本概念

1.2.1　与频谱相关的概念

在数字通信中，我们会经常用到频谱的概念，频域分析也是信号分析最基本和最广泛使用的方法，通信人员最直接的体验就是用频谱分析仪分析测试信号的频谱。与频谱相关的概念有很多，如幅度谱、相位谱、功率谱和能量谱等，常常让人很感到糊涂，搞不清其中的关系。在信号分析中经常会出现负频率成分，这到底又是怎么回事呢？现实中会存在具有负频率成分的信号吗？

1.傅里叶变换

在讨论上述概念之前，我们先了解一下法国数学家和物理学家傅里叶（见图1-6），以及以他的名字命名的傅里叶变换。

傅里叶变换的建立有过一段漫长的历史[18]，涉及很多人的工作和对许多不同物理现象的研究。利用“三角函数和”的概念（成谐波关系的正弦函数和余弦函数或周期复指数函数的和）来描述周期性过程始于瑞士数学家和物理学家欧拉（Euler）在振动弦的研究工作中。事实上，由于当时无法证明很多有用信号都能够用复指数的线性组合来表示，欧拉本人后来也放弃了三角函数的想法。同时，另一位伟大的数学家拉格朗日（J.L.Lagrange）于1759年也曾强烈批评使用三角函数来研究振动弦运动的主张，并于48年后再次反对发表傅里叶所撰写的那篇具有重要意义的论文。

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier）于1768年3月21日出生于法国奥克斯雷（Allxerre），法国著名数学家、物理学家，1817年当选为科学院院士。他早在1807年就写成关于热传导的论文《热的传播》。傅里叶在论文中推导出了著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出了任一函数都可以展开成三角函数的无穷级数。傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶分析等理论均由此创始。傅里叶向法国科学院呈交论文后，当时指定了4位著名的数学家来评审这篇论文，其中3位，即拉克劳克斯（S.F.Lacrolx）、孟济（G.Monge）和拉普拉斯（P.S.Laplace）均赞成发表傅里叶的论文，而拉格朗日仍然顽固地坚持他于48年前就已经提出过的关于拒绝接受三角级数的论点。由于拉格朗格日的强烈反对，傅里叶的论文从未公开发表过。为了使自己的研究成果能让法国科学院接受并发表，在经过多次的尝试后，傅里叶才把他的成果以另一种方式出现在《热的分析理论》一书中。这本书于1822年出版，比他首次在法国科学院宣读他的研究成果整整晚了15年。

我们知道，傅里叶级数其实是用不同频率的正弦波信号来表示各种信号（或曲线）的。为什么我们要用正弦波信号呢？比如我们也还可以用方波信号或三角波信号来代替呀。分解信号的方法是无穷多的，但分解信号是为了更加简单地处理原来的信号。用正弦波信号来表示原信号会更加简单，因为正弦波信号拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。输入正弦波信号后，输出仍然是正弦波信号，幅度和相位可能发生变化，但频率和信号的形状仍是一样的。由于只有正弦波信号才拥有这样的性质，才不用方波信号或三角波信号来表示。

关于傅里叶变换的原理在此不再多做讨论，在讨论信号与系统的书籍中均可以找到详细的理论推导。这里，我们需要确立关于信号处理中的一个基本概念[20]：如果信号在频域是离散的，则该信号在时域就是周期性的时间函数；相反，在时域上是离散的，则该信号在频域必然是周期性的频率函数。不难设想，如果时域信号不仅是离散的，而且是周期的，那么由于时域离散，其频谱必是周期的，又由于在时域是周期的，相应的频谱必是离散的。换句话说，一个离散周期时间序列，它一定具有既是周期又是离散的频谱。我们还可以得出一个结论：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓，这种离散变换，本质上都是周期的。

2.功率谱与能量谱

对时域信号进行傅里叶变换，可以得到信号的频谱。信号的频谱由两部分构成：幅度谱和相位谱。那么，什么是功率谱呢？什么又是能量谱呢？功率谱、能量谱与信号的频谱有什么关系呢？

要区分功率谱和能量谱，首先要清楚两种不同类型的信号：功率有限信号和能量有限信号。

信号的归一化能量（简称信号的能量）定义为信号电压或电流f(t)加到1 Ω电阻上所消耗的能量，表示为：

通常把能量为有限值的称为能量有限信号，简称能量信号。在实际应用中，一般的非周期信号属于能量信号。然而，对于像周期信号、阶跃信号，以及符号函数等这一类的信号，显然其能量积分无穷大，此时，一般不再研究其能量，而是研究信号的平均功率。

信号的平均功率（简称信号的功率）是指信号电压或电流f(t)在1 Ω电阻上所消耗的功率，表示为：

f(t)在一个时间段[T1，T2]上的平均功率为：

如果信号的功率是有限的，那么称为功率有限信号，简称功率信号。系统中的波形要么具有能量值，要么具有功率值，因为能量信号的功率为零，而功率信号的能量为无穷大。一般来说，周期信号和随机信号是功率信号，而非周期的确定信号是能量信号。将信号区分为能量信号和功率信号可以简化对各种信号和噪声的数学分析。还有一类信号的功率和能量都是无限的，如f(t)=t，这类信号很少会用到。

了解信号可能是能量信号，也可能是功率信号后，就可以很好地理解功率谱和能量谱的概念了。对于能量信号，常用能量谱来描述。所谓的能量谱，也称为能量谱密度，是指用密度的概念表示信号能量在各频率点的分布情况。也就是说，对能量谱在频域上积分就可以得到信号的能量。能量谱是信号幅度谱模的平方，其量纲是焦/赫。对于功率信号，常用功率谱来描述。所谓的功率谱，也称为功率谱密度，是指用密度的概念表示信号功率在各频率点的分布情况。对功率谱在频域上积分就可以得到信号的功率。从理论上来说，功率谱是信号自相关函数的傅里叶变换。因为功率信号不满足傅里叶变换的条件，其频谱通常不存在，维纳-辛钦定理证明了自相关函数和傅里叶变换之间的对应关系。在工程应用中，即使功率信号，由于持续的时间有限，可以直接对信号进行傅里叶变换，然后对得到的幅度谱的模求平方，再除以持续时间来估计信号的功率谱。

对于确定性的信号，特别是非周期的确定性信号，常用能量谱来描述。而对于随机信号，由于持续时间无限长，不满足绝对可积与能量可积的条件，因此不存在傅里叶变换，所以通常用功率谱来描述。周期性的信号，也同样不满足傅里叶变换的条件，常用功率谱来描述，这些在前面已经有所说明。只有如单频正弦波信号等很少的特殊信号，在引入冲激函数之后，才可以求解信号的傅里叶变换。

对于用功率谱描述的随机信号而言，白噪声是一个特例。根据定义，白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。严格地说，白噪声只是一种理想化模型，因为实际噪声的功率谱密度不可能具有无限宽的带宽，否则它的功率将无限大，在物理上是不可实现的。白噪声在数学处理上比较方便，是系统分析的有力工具。一般来讲，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它当成白噪声来处理。例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。

现在再回过头来讨论频谱仪上所测试到的信号。经过前面的分析可知，显然频谱仪所观测到的信号均是功率信号，且所观测到的频谱其实只是幅度谱，并没有相位与频率的关系。在本书后续讨论滤波器设计时，采用MATLAB很容易设计出满足需求的滤波器，并绘出滤波器的幅频响应和相频响应。

虽然在数学分析上，根据傅里叶变换会产生负频率成分的信号，以及出现虚信号，但现实中显然是不会出现这样的信号的。这些信号仅仅是方便进行数学分析而已。例如，根据傅里叶变换公式，任何实信号的频谱均是相对于纵轴对称的，采用本地载波信号进行混频时，很容易根据傅里叶变换的性质推导出混频后的所有频率信号。这一点在本章后续讨论带通采样理论时会再次进行分析。读者可以参考文献[18]-[20]来更加深入地了解傅里叶变换及频谱的概念，其中文献[18]和[20]注重于理论上的讲解及公式的推导，文献[19]则更注重于从直观、概念化、非数学化的角度讲解数字信号处理中的一些基本概念。