震惊魏成和庞加莱的变化

大数学家庞加莱

“你不知道庞加莱吗？”汪淼打断魏成，问。

让我们回到100多年前，奥斯卡国王奖设立的时候。奥斯卡国王奖设立的消息传到了法国大数学家庞加莱的耳朵里。有人说庞加莱是最后一个“广博的数学家”，这是因为从庞加莱的时代开始，数学体系逐渐变得十分庞大，一个人已经渐渐无法掌握整个数学体系了，但无论是在数论、拓扑、几何、微分方程领域，还是在数学物理以及狭义相对论[23]领域，庞加莱都做出了开创性的贡献[24]。这样的广博程度，我们可以在更早的大数学家高斯、欧拉身上看到，但庞加莱之后，就几乎没有这样的例子了。

庞加莱想到自己恰好可以借这个机会重新拾起他多年前研究过又中断了的微分方程和天体力学问题。所以，他决定参加这个论文竞赛。

定性与定量

在此之前，庞加莱研究过什么数学问题，让他相信自己可以在奥斯卡国王奖的竞赛中有所斩获呢？1882年，庞加莱开创了一个新的数学分支——微分方程的定性理论。

定性和定量是科学发展中的一对冤家。科学家在注重其中一个的时候，往往会忽视另一个的重要性。现代科学诞生的一个重要标志就是从定性走向定量。在现代科学诞生前，很多现象是人们用语言来自圆其说，人们把现象解释得“差不多”就够了。而以牛顿力学为代表的现代科学，让我们第一次可以精确地计算天体的运动，而如果天文观测与计算不符，哪怕只相差一点点，也必须严肃对待。海王星的发现就是一个很好的例子，天文学家发现天王星的轨道与牛顿力学的计算稍有偏离。他们随即大胆地假设：有一颗行星影响了天王星的轨道。他们计算出这颗新行星在某一个时刻将会出现在天上一个特定位置，只要用望远镜对准这个位置就能找到这颗新行星。天文学家按照理论计算去寻找，果然发现了海王星，因此人们把海王星称为“在笔尖上发现的行星”。这就是定量科学的魅力。

定量科学不仅让我们发现了一颗行星，而且还彻底地改变了人类社会，让人类能够改进蒸汽机，带给人类电力和信息技术。如果没有定量科学，就没有这一切。

但是，定量科学又不能带给我们所有的一切。在庞加莱的时代，数学家们争先恐后地解出一个又一个的微分方程，把这些微分方程征服，收归到定量科学的范畴。但是，庞加莱敏锐地认识到这些数学家的努力只是微分方程海洋中的一小部分孤岛。还有更多的方程，尽管解仍然可以存在，但是没法用这种定量的方法解出来。我们怎么对待这些没有解析解的方程呢？是和这些方程死磕一生之后或许一无所获？还是放任这些方程逃出科学的疆域，任由他们在必然王国中兴风作浪？

微分方程的定性分析

以上两条路都让人失望。庞加莱选择了第三条路：我们即使没法解出一个微分方程，仍然可以定性地分析方程解的性质。如果一个物理系统用这样的方程来描述，我们虽然不能定量计算出这个系统中每个成员在每个时刻的位置，但是我们仍然可以定性地了解系统的很多性质。例如：系统是沿着周期轨道运行，还是没有周期甚至不存在规律的轨道？系统是否稳定？系统是否会经历某些“奇点”，在“奇点”处某些成分的速度会变成接近无穷大，或者彼此碰撞？

这就是庞加莱创立的“微分方程定性理论”。当然，这里的定性绝不是回到现代科学诞生前那种模糊的语言，而是建立在严格数学基础上的严格科学。现代科学来之不易，我们一定要注意，不能看到“定性”就认为是回到现代科学诞生前的老路。

庞加莱“定性”理论的突破口叫作平衡点（equilibrium point，也翻译成驻点、静止点）。在三体问题的例子里，上面提到的“拉格朗日点”就是平衡点[25]。当然，平衡点的概念不只在天体力学里面才有。在流体力学中，你看到一片叶子在激流中打转而没被冲走，那么这片叶子就位于一个平衡点。比如《三体》中默斯肯岛大漩涡的中心，也是流体力学中的一个平衡点。

尽管这里我们用大漩涡的例子“形象”地说明平衡点，但是需要澄清一点，微分方程的“平衡点”是在“相空间”中定义的，也就是我们把每个物体的位置和动量看成独立的坐标，这些坐标和物体所组成的空间叫作相空间。例如，三个天体在三维空间中运动，则相空间是三个天体×三维空间×位置和动量=18维的。[26]“相空间”这个词充满禅意，但其实它的英文phase space只是一个历史遗留用法，十分枯燥，根本没有禅意。

庞加莱发现，微分方程的平衡点可以分成几类，包括以下6种。[27]

螺旋状汇：像默斯肯岛大漩涡一样，把物体绕着圈“吸”向中心。

螺旋状源：是与大漩涡相反的过程，从中心把物体绕着圈发射出来。

稳定点：是螺旋状汇和螺旋状源的分界情况，物体只绕圈。

汇：物体不绕圈，直接掉向中心。

源：物体不绕圈，直接从中心发射出来。

鞍点：物体沿一个方向像遇到源一样往里跑，沿另一个方向像遇到汇一样往外跑。

让庞加莱震惊的变化

庞加莱发现，平衡点会让微分方程的定性性质发生变化。所以，研究微分方程的定性性质，需要研究平衡点附近的物体运动。和研究微分方程的解的全部定量性质相比，研究平衡点周围的性质已经是数学上的巨大简化了。但是这还不够，庞加莱又做了进一步简化：在相空间里取一个“截面”，就如同处理三维立体物体运动太复杂，我们把问题简化为处理相机底片上拍下的二维视频影像一样。这样一个“截面”（好比二维视频影像）进一步简化了问题，并保留了原始问题（好比三维立体物体运动）的大量信息。

不过，庞加莱发现，尽管问题被一次又一次简化，求解三体问题仍然困难得令人沮丧。在稳定点附近的相空间截面上，三体问题的轨道依然狂暴地跳跃，仿佛被智子扰乱的粒子对撞结果，完全无法预测。庞加莱感叹道：

这无法画出的图像的复杂性[28]，让我震惊！

《三体》中研究三体问题的科学家叫魏成。魏成这个名字就像“未成”，不知是不是刘慈欣通过谐音来暗示三体问题研究没有成功呢？魏成去一个寺院里隐居，当晚睡不着，就在自己的思维中创造了一个空间；只创造一个空间过于空洞乏味，就又在空间里创造了一个球；一个球过于简单，就在空间里又创造了一个球，彼此因为引力，按椭圆轨道互相绕转；两个球过于单调，于是最后，魏成说：

“我又引入了第三个球体，情况发生了令我震惊的变化。”

这份震惊，原本是属于庞加莱的。

繁星不可逾越

庞加莱把他的发现写成论文，提交给奥斯卡国王奖的评审委员会。为了确保奥斯卡国王奖的评审公平，所有论文都要求匿名提交，用一段题记来事后确认获奖者的身份。为了把论文中难以描述的复杂性转化成情感，庞加莱选择的题记是：

Nunquam praescriptos transibunt sidera fines（繁星不可逾越）

奥斯卡国王奖的论文提交截止日期是1888年6月1日。庞加莱在5月提交了论文。尽管这篇论文并没有解决三体问题，反而体现了三体问题“不可解”的性质，但是这个发现无疑是划时代的。因此在1889年1月，他如愿获得了奥斯卡国王奖。

不过，1889年年底，庞加莱懊恼地发现，他的论文里有个错误。改正了错误后，庞加莱的论文从158页变成了270页。庞加莱自费支付了论文重新印刷的费用。这使他赔进去了奥斯卡国王奖的全部奖金，还倒贴了几个月的工资。

顺便提一句，庞加莱在构建他的天体力学过程中，发现了一个对宇宙命运意义深远的定理：庞加莱回归定理。庞加莱回归定理是指：从相空间的一个点附近出发，也就是说，从和一个物理状态相似的一小块区域出发，经过足够长的时间（这个足够长的时间叫作庞加莱复现时间），系统总会演化回这一小块区域来。这是因为，相空间的体积元是守恒的，所以经过足够长时间，相空间体积元划出的轨迹总会与自己相交。庞加莱复现时间就好比在一个固定大小的画框里，用一支固定粗细的笔作画[29]（如下页图所示），当线条足够长之后，线条总会和自己相交一样。

如果系统对应的微分方程的解是唯一的，那么，最早的交点应该就是出发点。这正如泰戈尔的诗歌中说：

旅行者要在每一扇陌生的门上叩问，才能找到自己的家。

当我们把宇宙万物全部考虑进来，考虑这样一个巨大的“相空间”的时候，仍然可以应用庞加莱回归定理，推断宇宙先是随着熵增趋于热寂，而在庞加莱复现时间，也就是10的10的10的120次方年之后，随机的扰动可能会让我们的宇宙重新焕发生机。

可以说，为了解决三体问题，庞加莱参透了宇宙的命运，但是，他还是没有解决三体问题。[30]