第一章 导读
——数学教学技能理论概述
课堂教学技能是指运用专业知识，哲学、教育学、心理学的有关知识以及教学经验，执行课堂教学的教学行为，也可以理解为在课堂教学中采用与教师特定的意图有关系的意图性行动。它包括动作技能和心智技能，其中占主要方面的是复杂的心智技能。培养教师驾驭课堂教学技能，是增强教师教学实践能力的前提和基础。教学技能不会在学习教学理论过程中自发习得，它必须在学习现代教学理论的基础上，通过反复训练才能形成。
每一项课堂教学技能都有明确的含义和功能，是能够表现和被观察到的，是能够被广大教师所驾驭的，是能够适应各科教学规律的，是能够促使教师与学生和谐互动的，也是能够进行定性与定量相结合的评价的。
对课堂教学技能进行系统、科学的分类，便于我们明确每一项技能的训练目的，为我们提供示范，便于我们进行客观评价。目前，世界各国的师范教育工作者对教学技能的分类存在着很大的差异。不同的分类角度和文化背景影响了分类的一致性。北京教育学院“微格教学”课题组结合我国教学情境，设定了导入技能、提问技能、讲解技能、教学语言技能、变化技能、强化技能、演示技能、板书技能和结束技能9项课堂教学技能。
1.导入技能
导入技能是指教师在进入新课题时，通过建立问题情境，引起学生注意，激发其学习兴趣，使其明确学习目标，形成学习动机和建立知识间联系的一类教学行为。
导入的目的在于激发学生学习的积极性和求知欲。教师若想在短时间内使所有的学生都集中思想和精力，积极投入到对新知识的学习中，需要在全面了解学生已有认知结构的基础上，选择恰当的方式激活这种结构，使学生在有趣、有疑、有乐、有劲的状态下学习，使其大脑处于“待命”状态。
在数学课堂教学中，教师的导入应紧扣教学目标和知识间的联系。鉴于数学具有完整的学科体系，在教学中应注意学科的系统性，把握好导入的契机。导入方式可因讲解的内容而异，其主要原则有三个。第一，整体性原则。数学不仅要重视新旧知识点的前后衔接，更要强调知识模式的结构和内化，要以数学认知结构为主体，通过数学知识模式的构建，形成关于教师、学生、知识的整体系统，而在该系统中，导入便是一个关键点。第二，趣味性原则。正如巴班斯基所说：“一堂课之所以必须有趣味性，并非为了引起笑声或耗费精力，趣味性应该使课堂上掌握所学材料的认识活动积极化。”对此，教师要根据学生的年龄特征和学习心理状态，结合数学的学科特点，趣味性地导入新课，引起学生的注意。数学源于生活，故教师可多选用日常生活中的事物导入，如在讲授“圆台的侧面积计算公式”时，可通过工匠准备材料的问题引入：“某工匠欲制造一个铁皮水桶，其上口径为30 cm，下口径为20 cm，高为25 cm，这位工匠须准备多少材料？”水桶虽是学生经常接触的生活用具，但他们往往不会去想如何计算它的表面积，以此问题导入可使其产生认知冲动，激发其探讨的兴趣。此外，各种历史典故、名人逸事、问题悬念也都能在数学教师的精心组织和设计下，成为教师与学生之间情感交流的媒介，成为引出抽象数学问题的导线。第三，启发性原则。教师可以采用启发诱导的方式导入新课，激发学生积极的思维活动，这也是课堂教学成功的关键。教师要仔细研究课题，有针对性地选择素材来导入新内容，有效地引起学生对新知识的热切探求，用生活事例诱发出学生对数学知识的求知欲。鉴于数学的学科特点，数学课的导入一定要注意选材的直观性、通俗性和新旧知识的衔接性等问题，这样才能吸引学生的注意力，启动学生数学认知结构的构建。
俗话说：“好的开始是成功的一半。”若把课堂比作舞台，那么教学过程最初的导入环节就像整台戏的序幕，安排得体的导入设计能更好地牵引整个教学过程，最终收获先声夺人的效果。
2.教学语言技能
基本教学行为才是指教学语言技能的构成要素，包括：言语行为，即教学口语，如语音和吐字、音量和语速、语气和节奏、语调、语汇等；非言语行为，即态势语，如身姿语、手势语、表情语、目光语、空间距离、服饰等。
在大部分学生眼中，数学一直与“定理”、“法则”、“记忆”、“运算”、“冷峻”、“机械”等词语联系在一起。一些艰涩难懂的地方，即便是老师讲解过的，学生也仍觉得像无字天书般难学难懂、枯燥乏味。事实上，造成这一现象的原因是多方面的，其中，与部分教师照本宣科，一味注重数学知识的传递，而未能利用科学简洁的语言表达方式为学生打好坚实的知识理解基础有很大的关系。
数学是研究数量关系和空间形式的科学，数量关系和空间形式的表达离不开语言这一重要载体，而数学语言往往相对简洁、抽象、概括、直观，这时便需要数学教师通过课堂教学语言来加以解释。如对概念、定理的教学，由于数学中的每个概念都有确切的含义，每个定理都有确定的条件制约其结论，因此，在教学中，教师要力求做到用词准确、叙述精练、前后连贯、逻辑严密，避免用日常用语代替数学专业术语，也不要贪图说话方便而以简略的语言形式代替完整的语句，导致遗漏了概念和定理的重要条件，从而造成学生印象模糊，不能很好地理解教师所讲内容，甚至形成错误理解。
诚然，语言是教学信息的重要传播手段，而对于数学教师而言，掌握必要的教学语言技能，运用简洁、科学的表达方式正是这门学科对教师课堂教学的首要要求。
3.板书技能
板书是教师在理解教材的基础上，对教材内容的高度提炼，是教师教学和学生获取知识的思路图，是课堂教学一个重要的环节。它不仅可以概括教师上课时所讲授的内容，补充教师口头语言的不足，还有具体性与形象性的特点，可以帮助学生进一步深入理解和掌握教材的重点，突破教学难点，这一点在数学教学过程中显得尤为必要。
众所周知，数学是一门经常与方法打交道的学科，教师适当的板书演算往往要比单纯的语言讲授来得事半功倍。例如讲到“小数点位置移动引起小数大小的变化”时，教师可以借助问题：“把0.004 m的小数点向右移动一位、两位、三位……小数的大小有什么变化？”倘若这时教师仅靠语言表达进行讲解，会显得单薄无力，很难帮助学生在头脑中形成清晰的操作步骤，行之有效的方法是结合板书教学。教师可以借助板书，向学生演示逐渐移动小数点位置引起小数大小的变化过程，引导学生对例证作整体观察：小数点向右移动一位，从0.004 m到0.04 m，从原来的4 mm变成40 mm，扩大为原来的10倍；小数点向右移动两位，从0.004 m到0.4 m，从原来的4 mm变成400 mm，扩大为原来的100倍。仿此进行，让学生得出：小数点向右移动一位、两位、三位……原来的数就扩大了10倍、100倍、1 000倍……然后教师顺势提出新问题：“观察怎样才能得出小数点向右移动时小数大小变化的规律。”学生运用逆向思维和类比思维找到变化规律，教师根据学生的回答逐一将其板书并补充完整。这一教学过程能够引导学生对例证的板书进行观察、比较、抽象、概括等，从特殊到一般归纳得出结论，促进学生思维能力的提高。
始终展现于黑板之上的教学板书不仅能够使学生边听、边看、边想、边记，多种感官参与活动，在观察中比较、分析、综合、抽象和概括，形成一定的思维模式，还能让学生学会如何抓要点、重点、难点，如何运用归纳、总结、论证、说明等学习方式方法，掌握必要的学习技巧，为之后进一步提高学习能力奠定基础。另外，严谨美观的板书还能让冷峻严肃的数学课在一定程度上变得赏心悦目，给学生以艺术美和科学美的享受，进而激发学生学习的兴趣，帮助其完成知识的构建。因此，一堂完整的数学课是少不了板书这支“点睛”之笔的。
4.演示技能
演示技能是教师运用实物、样品、标本、模型、图表、幻灯片、影片和录像等进行实际表演和示范操作，指导学生进行观察、分析、归纳和实际操作等，让学生获取感性材料，从中获得知识，培养其观察、思维、操作能力的一类教学行为。
演示技能在数学教学过程中同样起着不容小觑的作用。
首先，演示技能可为理性认识提供直观感知。在数学教学中，为了使学生准确地掌握基本概念和原理，巩固所学内容，教师可按照感知活动的规律和特点，通过教具、音像等演示，为学生提供丰富的感性材料，引导学生运用不同的感官，从不同的角度，认真观察和动手操作，帮助他们建立起感性认识与理性认识的联系，使抽象难懂的知识变得直观形象，易于理解。
其次，演示技能还培养了学生观察和思维能力。观察是人们通过视觉获取信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。尽管观察法是最原始、最基本的认识事物方法之一，却是进行数学思维所必需的、首要的方法。就数学基础而言，公理就是通过观察事物的运动变化抽象概括出来的。因此，在数学课堂教学中，教师通过教具来启发、指导学生，对培养学生的观察和分析能力，使他们学会全面、辩证地认识问题，提高思维能力，是非常重要的。
再次，演示技能还能深化学生对知识的理解。教师进行生动形象的直观演示，能激发学生强烈的求知欲，集中学生的注意力，使其较快地理解并掌握新知识和新概念。例如学生容易把握对顶角的一大特征——具有公共顶点，却往往容易忽略另一重要特征——其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线。对此，教师在教学中，可制作一个活动的对顶角模型，先将两个角放在顶点的两侧，然后分别转动每一个角的两边，使它们分别成为另一个角的两边的反向延长线，从而构成对顶角的模型。通过观看教师的演示，学生会在脑海中形成清晰、深刻的印象，就不会再忽略对顶角的这一重要特征了。
5.提问技能
当前，教师不够重视课堂提问是数学教学中普遍存在的问题，具体表现为提问目的不够明确和提问方式随心所欲，最终导致提问效果不尽如人意。事实上，数学课堂教学是教师与学生双方共同设疑、释疑、解疑的过程，是以解决问题为核心开展的，提问是其中的一个基本环节，是实现师生相互交流、提高教学质量的重要步骤，应该得到教师的充分重视。
教师通过提问，可以强化知识的接受，客观评价学生的学习情况，调节课堂教学的进程，增加教师与学生之间的情感交流。换言之，提问技能具有反馈、评价、激励强化、调控等多项功能。
要特别强调的是，教师运用提问技能时应遵循有效性、科学性、层次性和整体性原则，避免“是不是”、“对不对”等无效的提问，避免含糊不清、模棱两可、答案不确定或超出学生认知水平的提问，以及层次混乱或置多数学生于不顾而形成“一对一”问答场面的提问。
课堂提问还有许多实施要点需要我们注意。
首先，教师的提问要有序。教师在设计问题时，要按照课程的逻辑顺序，考虑学生的认识顺序，循序而问，步步深入。前后颠倒、信口提问，只会扰乱学生的思维顺序。
其次，提问的内容要有度。浅显、随意的提问提不起学生思考的兴趣，随声附和的回答并不能反映他们思维的深度，而超前、深奥的提问又使学生不明所以，难以形成思维。只有适度的提问才能引发学生的认知冲突。例如让学生“叙述正多边形的定义”，这样设问似乎过于简单，可将其改为让学生“指出下面四个命题中真命题的个数”：
①各角相等的圆内接多边形是正多边形；
②各边相等的圆内接多边形是正多边形；
③各角相等的圆外切多边形是正多边形；
④各边相等的圆外切多边形是正多边形。
学生可以通过对各命题的认真思考来加深对正多边形的理解。
再次，提问语言要有启发性。数学语言有严谨、简洁、形式符号化的特点，教师的提问语言既要体现数学的这一特点，又要结合学生的认知特点，用自然的语言准确、精练地表达。若用符号语言提问，则要辅以适当的解释。最后，提问还要注意把握好时机，要给学生一定的思考时间，并对学生的回答作出及时的反应。新课之前的复习性提问有助于学生回忆旧知识；导入新课时的启发性提问可以创设情境；重要结论导出过程中的归纳性提问有助于学生发现规律；知识应用过程中的分析性提问有助于学生巩固知识，打开思路。提出问题后，教师应作适当的停顿便于学生思考，待学生答完问题后再稍微停顿数秒。几秒钟的等待可体现出学生的主体地位。而对于学生的回答，教师及时作出或肯定，或否定，或追问的回应，则可强化提问的效果。
6.讲解技能
数学是以数或式的运算、定理、公式的论证为主的学科，其教学手段和方式多以教师的讲解为主。然而，数学的讲解多以符号语言为载体，其实质在于揭示知识结构及要素，阐述数学概念的内涵和外延，以便学生理解、接受、保持、记忆、掌握和运用数学知识。因此，数学的讲解技能更要求教师运用严谨的逻辑结构和准确、精练的教学语言教学，必要时辅以计算、推演和图形绘制等方式。
由于讲解具有信息单向性传递的特点，因此，根据教师的授课方式进行分类更易于说明讲解的基本类型。以教师的授课方式可将讲解分为五类：适合传授事实性知识（如概念定义、题目分析、公理说明等）的解释型讲解；用于事实陈述、概念描述和结论阐述的描述型讲解；运用分析、综合、归纳、演绎、类比等逻辑方法对数学问题进行推理论述的推论型讲解；对已有的结论提供证据进行推理的证明型讲解；对知识提炼概括、归纳小结式的总结型讲解。无论哪一种讲解，都离不开语言这一重要媒介。讲解的语言与日常说话不同，要运用准确、精练的数学语言、符号语言完整地表达所要讲授的内容。倘若讲解时遇到难点和关键，教师要给予学生必要的警示、适当的停顿和重复，引起学生注意并帮助其记忆。但与此同时，教师还应注意讲解的阶段性。若讲解的内容过多，要将其进行适当分段，防止冗长、单调的刺激造成学生的学习疲劳。
教师的讲解既能够使学生了解和初步掌握数学知识，形成初步印象并保持和记忆，又能通过剖析数学知识的来源、形成和结构，启发学生思维（尽管启发学生思维的方法有很多，但数学教师最常用的还是讲解），提高其数学思维能力和解决问题的能力。另外，生动有趣、深入浅出的讲解还可以吸引学生的注意力，激发其学习数学的兴趣。因此，讲解是教师上好数学课必不可少的技能。
7.强化技能
由桑代克的“猫开笼”实验和斯金纳的“食物刺激小白鼠”实验得出的学习理论来看，有效的学习是强化的过程。教师在课堂教学中，应该注意运用强化技能，不断强化学生的学习动机，激发其学习数学的兴趣。教师的肯定或奖励能对学生起到外强化的作用，使学生在物质上或心理上得到满足；而教师帮助学生克服学习上的困难，能对学生起到内强化的作用，使学生体验到成功的喜悦。
语言是传递信息最主要、最直接的渠道。语言的重复和停顿、语音的强弱、语调的轻重都具有一定的强化功能，尤其是教师通过语言对学生提出明确的学习要求时，会使学生产生强烈的学习动机，从而自主地学习。如教师在讲授“指数函数的图像和性质”时，可先向学生提出记忆要求，促使他们自主强化记忆。当学生提出某些难记、易混的性质并加以讨论后，教师可用精简易懂的语言加以概括，帮助学生抓住记忆的关键，找出记忆的规律，减轻学生短时间记忆的压力。
从提高学生的学习效率看，练习是教师在课堂教学中最有效的强化手段之一，尤其是在帮助学生获得数学技能方面。如果说学习数学知识是在解决懂与不懂的问题，那么学习数学技能就是在解决会与不会、熟与不熟的问题。对于教师而言，光让学生听懂课上的知识是不够的，还应通过有意识的练习活动帮助其加以巩固。只有这样，才能使学生将所学经验变成自己的财富，实现“会”与“熟”的目标。然而，练习不等于机械重复，过多的、简单重复的练习只会加重学生的作业负担，使其产生厌烦心理。要想达到较好的练习效果，教师应做到：有针对性地布置练习，练习的量和次数要适度，以多样化的练习来提高学生的学习兴趣，并对练习结果作出及时的反馈。
在教学过程中，教师的动作是引起学生注意的刺激物之一。教师可恰当地运用动作来对学生施以刺激，如恰当、巧妙地运用眼神与学生进行心灵上的交流，表达自己内在的丰富的思想感情，或眉头严厉作思索状，或眉开眼笑作赞许状，或目光严厉以示警惕，或目光柔和以表鼓励；再如借助恰当的手势辅助口头语言，增强语言的形象感和说服力，如在讲授函数的增减性时，右手适时上摆和下摆，函数的增减性概念就一目了然了。
教学过程不仅包含了教师教的过程，还包含了学生通过自己的活动进行学习的过程，而教师在这一过程中起引导者的作用。学生在教学活动中的主体意识不断增强，教师应在引起学生的认识需要之后，引导学生自己研究、探索并寻求达到目的的新方式和新手段，使学生的思维活动处于一种积极的状态。
事实证明，教师在教学过程中，以正确的教学理论为指导，按教育科学规律办事，重视情感因素，重视创造问题情境，重视内部动机对学生学习的作用，努力使学生产生对学习的渴望，并及时对学生的学习效果作出评价，不仅可以调整学生的认知行为，还可使其在情感上产生积极的效果。因此，教师在数学课堂教学中，要十分注意强化技能的运用。
8.变化技能
学生的注意力是在学习过程中形成的，教师讲课时抑扬顿挫的声调、演示所呈现的鲜明现象、灵活多样的教学方式等，都可引起学生的无意注意，使他们将注意力集中于教师的教学。而当讲到重点、难点及关键点时，教师可加以强调和提醒，以唤起学生的有意注意，使其注意有明确的指向。然而，在课堂上，虽然学生单靠无意注意学习是无法顺利完成学习任务的，但若过分要求他们依靠有意注意来学习，又易引起学生的学习疲劳。因此，在略显冷峻的数学教学过程中，教师应当运用变化技能，使学生的上述两种注意有节奏地转换，以激发并保持其对教学活动的注意。
再者，根据启发式教学的特点，教师应该调动学生参与教学活动的积极性。鉴于学生的认识水平和学习能力存在差异，教师呈现给学生的教学内容是否能够引起学生的思考和反应，将直接影响到学生参与教学的主动程度。教师在向学生传递教学信息时，应运用变化技能，有针对性地采取不同的表达方式，让学生较顺利地接受信息，进行思考并作出反应。例如，引导学生分析“一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集为全部实数的条件”时，对主动程度较高的学生可以只用语言提问，而对主动程度较低的学生则可以用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像来启发思考。
最后，变化技能的运用还是教师教学个性与风格的主要表现之一。教师运用变化技能可以把课上得充满生气，既能显示出教师的学识和能力，又能体现其循循善诱、诲人不倦的师德，还有利于师生间的情感交流，有利于形成愉快、和谐的课堂氛围。
9.结束技能
结束技能是教师对教学活动进行归纳、总结、转化，及时使学生系统化地巩固和运用所传授的知识和技能，使新知识有效地纳入学生原有的知识结构中去的教学行为。将这项技能运用于课堂教学，既能及时反馈教与学的效果，使学生感受到掌握新知识的喜悦，又可通过设置悬念，促使学生展开更加深刻的思维活动。
纵观许多新数学教师的教学现状，不乏存在重视导入的设计，而相对忽视结尾的安排，导致“虎头蛇尾”，从而影响整个教学效果的现象。事实上，数学是一门逻辑性强、前后连贯有序的学科。教师更应该在新知识讲授结束时，及时运用结束技能做好总结、复习和巩固工作。
结束技能的实施，一方面，教师要考虑总结的及时性和结束语言的精练性。记忆是一个由瞬间记忆到短期记忆，再到长期记忆，不断巩固的转化过程。而实现这个转化过程的最基本手段就是及时小结和进行周期性的复习。教师要紧密结合教学内容和教学目的，突出重点和知识结构，针对学生的知识掌握情况及课堂教学情况等，运用精练且便于学生记忆、检索、运用的结束语言帮助学生对所学知识作及时归纳，使之成为学生自己的知识储备。一方面，教师的总结还应具有概括性、联系性和启发性的特点。
某一阶段内容的教学结束时，教师应概括本章或本学科知识的结构，强调重要概念、定理、公式的内容和规律，精心加工得出系统、简约、有效的知识网络，帮助学生了解概念、定理的来龙去脉，为学生揭示知识间的内在联系，使数学知识在其头脑中形成相应的知识网络，使学生对所学知识融会贯通。鉴于数学中的定理、法则、公式等内容之间存在着各种各样的联系，教师在进行小结时，应该根据知识之间的相互联系将其进行对比归类。例如，揭示特殊和一般关系的材料、内容相似或相近的材料的特征时，可采用对比归类法，如余弦定理与勾股定理，分式的运算性质与分数的运算性质等，一经对比，其异同点便清晰可见，易于学生记忆；对于一些具有因果关系、相反关系的材料，可采用联想归类法，如绝对值的一些性质与算术根的一些性质，排列与组合的知识等都可以放在一起小结，既方便学生记忆新知识，又有利于学生巩固旧知识；而对于一些从属关系、并列关系的教学内容，则可采用分类小结法，如平行四边形的性质、特殊的平行四边形的性质以及梯形的性质等，它们既有明确区别，又有确凿联系，教师可将其环环相扣，层层推进，帮助学生建立牢固的知识网络。
如果说巧妙的新课导入能引起学生的学习兴趣，开启其思维的闸门，那么，恰到好处的课堂小结则能起到画龙点睛、承上启下的作用，在给学生留下深刻印象的同时，也能激起他们对下次课的期待。
综上可见，课堂教学是一个极其复杂的过程，教师必须扎实学好教学技能相关的理论知识。然而，仅仅掌握理论知识还远远不够，更重要的是要用理论来指导实践。教师对各种技能的掌握与否直接影响到教学质量和学生学习效果的好坏。只有较好地掌握课堂教学技能，才能提高自身的经验积累和教学水平，才能根据不同的环境和情况，灵活地运用各种教学技能，以激发学生的学习兴趣和动机，引导学生掌握学科知识，形成能力和发展智力，为他们顺利完成学习任务创造有利条件。而让教师真正掌握课堂教学技能的方法就是反复实践，只有这样才能收获课堂教学技能的优化效果。因此，我国现阶段的基础教育改革与发展要求师范生有目的、有计划地训练课堂教学技能，努力把教育理论知识和学科专业知识有效地转化为具体的课堂教学能力，以便毕业后更快、更好地胜任教学工作。
众所周知，京剧演员必须具备唱、念、做、打等基本功。他们在戏台上的一招一式，都是经过长期苦练而成的。京剧在严格训练的基础上形成一定程式并发展成各种流派的表演艺术。因此，每一位教师和师范生都要纠正在学科教学法的学习中重宏观、轻微观的倾向。每项教学技能都不是细枝末节，教师不仅要十分精细地理解其丰富的内涵、多变的类型，还须接受专门训练并聚精会神地去做，如此才能掌握。