第二章 直觉主义与否定概述

19世纪70至80年代，康托尔（Georg Cantor，1845—1918，德国数学家）创立了集合论（亦称朴素集合论）。集合论逐渐为大多数数学家所接受，并成为全部经典数学的理论基础。但是，与此同时人们相继发现了一系列集合论悖论，特别是1901年由罗素发现的罗素悖论，足以使整座数学大厦倾覆，这是绝对不允许的。悖论产生的根源何在，能否最终为数学找到一个可靠的逻辑基础，这些问题困扰着数学家和逻辑学家，由此引发了一场关于数学基础问题的大论战，这场论战中产生了三大数学（哲学）流派，它们分别是以弗雷格（G.Frege，1848—1925，德国数学家、逻辑学家和哲学家）、罗素为代表的逻辑主义学派，以希尔伯特（David Hilbert，1862—1943，德国数学家）为代表的形式主义学派和以荷兰数学家布劳维尔为代表的直觉主义学派。

逻辑主义认为逻辑是全部数学的基础，经典逻辑是绝对可靠的，只要构造合适的逻辑系统，就可以推出全部经典数学。因此把数学化归为逻辑，是逻辑主义学派的基本纲领，避免悖论、维护集合论和已有的一切数学成果则是其基本出发点。和逻辑主义一样，形式主义学派也坚信经典逻辑的有效性，都持“实无穷”的观点（即承认无限集合是一个完成了的实体），并捍卫一切已有的数学成果。但是形式主义并不赞同逻辑主义“把数学归约为逻辑”的纲领，形式主义学派认为，数学有着与逻辑无关的内容，绝不可能单靠逻辑建立起来，应对逻辑和数学同时加以研究。对于形式主义学派方案的反对意见来自直觉主义阵营，直觉主义派则以“直觉上的可构造性”作为“可信性”的标准对全部已有数学进行彻底的审查和改造。直觉主义学派认为，任何一门科学理论都是形式与内容的统一体，理论形式固然重要，形式化方法也有着严格、精密、高度概括与抽象的独特优点，但理论的真理性最终取决于理论的实际内容，并且只有通过人类的实践活动才能得到验证。