非凡的魅力
威廉·华兹华斯的自传体长诗《序曲》（The Prelude）讲述了一个有点儿令人难以置信的故事：一个人在遭遇海难后漂流到一座无人岛上，他身上除了一本欧几里得的《几何原本》之外别无他物。大约2 500年前，这本书阐述的几何公理和命题使几何学变成了一门正式学科。对一个遭遇海难的家伙来说，他的运气还算不错：尽管他饥肠辘辘、心情沮丧，但他可以用树枝在沙滩上作图，通过逐一验证欧几里得的证明过程，打发独居荒岛的寂寞时光。而这恰恰是步入中年的华兹华斯向往的人生——年轻、敏感、富有诗意。诗人写道：
这些抽象的概念，
对终日与图形为伍、形单影只的心灵而言，
是多么富有魅力啊！
（饮用死藤水的人也有类似的感受，这种药物会对大脑产生影响，让自认为陷入困境的大脑得到解脱。）
华兹华斯的“海难-几何学”故事的最奇怪之处在于，它基本上是真实的。华兹华斯从约翰·牛顿的回忆录中借用了这个故事，其中有几行诗句更是原样照搬过来的。1745年，年轻的奴隶贩子约翰·牛顿被困在塞拉利昂附近的普兰廷岛上。他没有遭遇海难，而是被他的老板扣留在那里，过着无所事事、食不果腹的生活。普兰廷岛也不是一座无人岛，除了他以外，那里还住着一些非洲奴隶。他主要的痛苦来源是一名控制食物流通的非洲妇女，用牛顿的话说，这是“一个在她的国家拥有重要地位的人”。牛顿百思不得其解自己为什么会落到这步田地，他抱怨道：“这个女人从一开始就对我抱有莫名其妙的偏见。”
几年后，差点儿死在海上的牛顿开始信奉宗教，成了一名圣公会牧师，还创作了基督教赞美诗《奇异恩典》（Amazing Grace，它对人们抑郁时应该读什么书给出了截然不同的建议）。最后，他宣布不再从事奴隶贸易，并成为大英帝国废除奴隶制运动的一员干将。现在，我们回过头讲他在普兰廷岛上的生活。没错，他随身带着一本书——艾萨克·巴罗英译版的欧几里得《几何原本》。在那段黑暗的日子里，这本书中的抽象概念给了他莫大的心理安慰。他写道：“我常常沉迷其中，几乎忘记了自己的悲伤。”
华兹华斯借用了牛顿的“沙滩-几何学”故事，而这并不是他与该学科仅有的亲密接触。与华兹华斯同时代的托马斯·德·昆西在《一个鸦片吸食者的忏悔录》（Confessions of an English Opium-Eater）中写道：“华兹华斯是一个彻头彻尾的数学崇拜者，尤其是对高深莫测的几何学。这种崇拜源于抽象世界和激情世界之间的对立。”上学期间，华兹华斯的数学成绩很糟糕，但他与年轻的爱尔兰数学家威廉·哈密顿建立了惺惺相惜的友谊。有些人认为，正是因为受到哈密顿的启发，华兹华斯才会在《序曲》中写出描述牛顿（是艾萨克·牛顿而不是约翰·牛顿）的著名诗句：“一个灵魂，永远孤独地航行在陌生的思想海洋中。”
哈密顿从小就沉迷于各类学科知识，包括数学、古代语言、诗歌等。而他开始对数学产生浓厚的兴趣，则是因为他童年时期与“美国计算神童”谢拉·科尔伯恩的一次偶遇。谢拉来自佛蒙特州一个中等收入的农场家庭，在他6岁那年，他的父亲阿比亚发现他坐在地上背诵着从未有人教过他的乘法表。后来，这个男孩被证明拥有强大的心算能力，并在新英格兰地区一鸣惊人。（他和家族所有的男性成员一样，两只手各有6根手指，两只脚各有6根脚趾。）谢拉的父亲带着他面见了多位当地的显要人物，包括马萨诸塞州州长埃尔布里奇·格里。格里告诉阿比亚，只有欧洲人才能理解和培养这个孩子的特殊技能。1812年，父子俩跨越大西洋来到欧洲，谢拉一边接受教育，一边辗转欧洲各地赚钱。在都柏林，他曾和一个巨人、一个白化病患者和霍尼韦尔小姐（一个用脚趾表演杂技的美国女人）同台演出。1818年，14岁的谢拉参加了一场计算比赛，他的对手正是爱尔兰数学神童哈密顿。最终，哈密顿“斩获桂冠，尽管他的对手通常是这类比赛的赢家”。不过，谢拉没有继续学习数学，他只对心算感兴趣。谢拉学习欧几里得几何时觉得它非常简单，但“枯燥无味”。两年后，当哈密顿再次遇到这位“计算神童”并询问他的计算方法时（哈密顿回忆道：“我根本看不出来他以前长了6根手指。”在伦敦，谢拉通过外科手术分别切除了两只手上的第6根手指），哈密顿发现谢拉几乎不明就里。放弃学业后，谢拉试图登上英国的舞台，但没有成功。他搬回了佛蒙特州，以传教士的身份度过余生。
1827年遇到华兹华斯时哈密顿才22岁，但他已经是都柏林大学的教授和爱尔兰皇家天文学家了。而那时，华兹华斯57岁。哈密顿在写给他妹妹的信中描述了他和华兹华斯的这次碰面：一位年轻的数学家和一位年长的诗人“一起漫步于午夜，走了很久很久，陪伴我们的只有天上的星星，以及我们炽热的思想和言语”。从他的文风可以看出，哈密顿并没有完全放弃他在诗歌上的抱负。很快，他就给华兹华斯寄去了诗歌，华兹华斯做出了热情的回应，但也提出了批评意见。随后不久，哈密顿在一首写给缪斯的诗中宣称他放弃了诗歌，并把这首名为《致诗歌》的诗送给了华兹华斯。1831年，他又改变了主意，并写了另一首名为《致诗歌》的诗来表明他的决定。他把这首诗也寄给了华兹华斯，华兹华斯的回复十分经典而委婉：“就像其他人一样，我也很乐意收到你寄给我的大量诗作，但我们担心热衷此道可能会让你偏离科学之路，而你似乎注定会在科学之路上为自己赢得殊荣，为他人谋得福利。”
在华兹华斯的圈子里，并非人人都像他和哈密顿一样欣赏感性与冷静、奇怪、孤独的理性之间的相互作用。1817年年底，在画家本杰明·罗伯特·海登家中举行的一次晚宴上，华兹华斯的朋友查尔斯·兰姆喝醉了。他诋毁起牛顿来，称这位科学家“不相信任何事物，除非它像三角形的三条边一样清晰可辨”，以此取笑华兹华斯。约翰·济慈也加入其中，指责牛顿用棱镜展示类似于彩虹的光学效应，彻底破坏了彩虹的浪漫色彩。华兹华斯站在一旁笑了笑，却一语不发，有人猜测他是不想引发争吵。
德·昆西还宣扬了华兹华斯《序曲》中另一个与数学有关的场景。（当时这本书还没有出版，但在那个年代，诗歌出版前通常会进行预热宣传。）在这个场景中，华兹华斯在阅读《堂·吉诃德》时睡着了，并在梦中遇见了一个骑着骆驼穿越荒漠的贝都因人。（德·昆西兴奋地承诺：“在我看来，这个场景将数学的崇高地位展现得淋漓尽致。”）那个贝因都人的手里拿着两本书，其中一本不仅是书，也是一块沉重的石头（这只能出现在梦境中），另一本书同时也是一枚闪闪发光的贝壳。（读了几页之后，读者会发现这个贝都因人就是堂·吉诃德。）当你把这本贝壳书贴在耳边时，它会发出末日预言。那本石头书呢？它就是欧几里得的《几何原本》。不过在这里，它不再是一件卑微的自助工具，而是我们与冷漠无情、亘古不变的宇宙相联系的一座桥梁，它“用最纯粹的理性纽带将灵魂与灵魂结合在一起，不受空间或时间的干扰”。德·昆西喜欢这种迷幻的场景是有原因的，他曾是一位神童，后来染上了吸食鸦片的恶习，并在19世纪初轰动一时的畅销书《一个鸦片吸食者的忏悔录》中描写了他吸食鸦片后产生的种种幻觉。
华兹华斯心目中的几何学是典型的远距离视角下的几何学。是的，他欣赏几何学，但这与我们欣赏奥运会体操运动员能做出常人不可能完成的空翻转体动作没什么两样。这种欣赏在最著名的几何学诗歌——埃德娜·圣文森特·米莱的十四行诗《只有欧几里得见过赤裸之美》[1]——中也有所体现。米莱笔下的欧几里得是一个超凡脱俗的人物，在一个“神圣而可怕的日子”里，他顿悟了。米莱说，我们不同于欧几里得，运气好的话，我们可能会听到美沿着远处的走廊匆匆离去的脚步声。
但这不是本书要讨论的几何学。请不要误解我——作为一名数学家，几何学的威望让我获益良多。当人们认为你从事的工作神秘、永恒且超越普通层面时，你会自我感觉良好。“你今天过得怎么样？”“嗯，和往常一样，神圣而可怕。”
然而，你越是坚持这种观点，你就越会倾向于让人们把学习几何学看作一项义务。它像歌剧一样散发出轻微的霉味，但人们欣赏它，因为它对人们有益。不过，这种欣赏并不足以维系这项事业。新的歌剧作品层出不穷，你能逐一说出它们的名字吗？不能！当你听到“歌剧”一词时，你也许会联想到一位穿着皮草的女中音歌手高唱普契尼作品的情景，整个画面可能还是黑白的。
就像新的歌剧作品一样，新的几何学也有很多，但它们并未引起太多关注。几何学不等于欧几里得几何，从很早以前两者之间就不能画等号了。它不是一件带着教室气味的文物，而是一门鲜活的学科，正在以前所未有的速度向前发展着。在接下来的章节中，我们将会看到与疫情传播、混乱的美国政治进程、国际跳棋锦标赛、人工智能、英语、金融、物理学乃至诗歌都有着密切联系的新兴几何学。
从全球视角看，我们生活在一座蓬勃生长、欣欣向荣的“几何城市”中。几何学并未超越时空，它就在我们身边，与日常生活中的各种推理交织在一起。它美吗？是的，但它不是赤裸裸的，几何学家看到的都是穿着“制服”的几何学之美。
[1]截至1922年米莱创作这首诗的时候，欧几里得已经不再独享此项殊荣。本书第3章将讨论非欧几何，它不仅能让我们看到赤裸之美，而且归功于爱因斯坦，人们发现它才是最基础的空间几何学。我不知道米莱是否明知这个事实，却有意塑造了一个落后于时代的形象，但诗歌界的学者朋友告诉我，她可能并不了解数学物理领域的最新进展。