约公元前440年/月牙求积

希波克拉底（Hippocrates，约公元前470—约公元前400）

如图，直角三角形两条直角边延伸出的两个月牙（黄色新月形区域），它们的面积之和刚好等于三角形的面积。古希腊数学家被这种“优雅的”几何发现迷住了。

毕达哥拉斯定理与毕氏三角形（约公元前600年），欧几里得的《几何原本》（约公元前300年），笛卡尔的《几何学》（1637年），超越数（1844年）

古希腊数学家常为几何内在的美、对称和秩序倾倒痴迷。来自希俄斯的希腊数学家希波克拉底就向人们展示了，如何构造一个正方形，使其面积等于一个给定的月牙形面积。这个月牙是一个新月形的区域，以两个内凹的圆弧为边界，月牙求积问题是已知最早的数学证明之一。换句话说，希波克拉底证明了这个月牙的面积可以精确地等于一个直线围成的区域的面积，这意味着这个月牙形“可求积”。在这里讲述的例子中，直角三角形的两条边上的黄色月牙区域面积之和就等于这个三角形的面积。

对于古希腊人来说，“可求积”就意味着可以只用直尺和圆规来构造一个面积等于这个形状的正方形。如果能做到这一点，就说这个形状“可二次化”（或“可平方化”）。希腊人已经完成了多边形的“二次化”，但弯曲的形状更困难。直观上，弯曲的形体似乎不太可能是“可二次化”的。

希波克拉底生活在欧几里得之前将近一个世纪，他还因为编纂了第一部著名的几何著作汇编而闻名。欧几里得在自己的著作《几何原本》中可能使用了希波克拉底的一些想法。希波克拉底的著作之所以重要的，是因为它们提供了一个通用的框架，其他数学家可以在此基础上继续扩充。

希波克拉底对月牙问题的探索，后来实际上成了著名的“化圆为方”研究工作的一部分。“化圆为方”指的是能否构造一个正方形，其面积与给定圆的面积相同。在两千多年的时间里，数学家们对此不断尝试都未能解决。直到1882年，费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）才证明了只用直尺和圆规“化圆为方”是不可能的。今天，我们知道只有五种类型的月牙形是“可求积”的。希波克拉底发现了其中的三种，另外剩下的两种是在18世纪70年代中期才发现。