英文版前言
·Preface to the English Edition·
当我们阅读阿基米德接踵而来的命题时,也许印象并不是特别深刻,但我们发现在后面应用时绝对无误;而且我们被引导进入了这样易于驾驭的平台,以致原始问题开始时出现的困难,变得几乎不那么重要了。
本书旨在作为我最近出版的阿波罗尼奥斯(Apollonius) 《圆锥曲线论》专著的姊妹篇。使“伟大几何学家”的著作可以为当代数学家们阅读,我觉得是很值得做的一件事情。由于原著的长度与形式,数学家们要么不能阅读原始希腊语文本或拉丁语译文,要么虽然读了,也不能理解及把握其完整体系。更因为这也许是最伟大的一位数学旷世奇才的杰作,虽然我对公众提供的并非我的原创而只是对他人工作的转述,我也觉得问心无愧。
米歇尔·夏斯莱(Michel Chasles)对阿基米德几何学,以及如此高度发展的阿波罗尼奥斯的几何学的主要特征,做了颇具教益的区分。夏斯莱说,他们两位的工作可以被视为整个几何学领域的两项伟大研究的本源与基础。阿波罗尼奥斯关注的是形式与位置的几何学,而在阿基米德那里,我们找到了曲线平面图形求面积与曲面包容体求体积的度量几何学,而正是这些催生了后世的微积分研究,微积分被开普勒(Johannes Kepler)、卡瓦列里(Cavalieri)、费马(Pierre de Fer-mat)、莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)和牛顿(Isaac Newton)成功地构思并完成。但是如何评价阿基米德的主要成就呢? 是他虽然只有十分有限的手段可用,却能够成功地求出抛物线与螺线图形的面积、球与球缺1的表面积与体积以及二次曲线旋转体任意截段的体积,还是他找到了抛物线弓形的重心、用算术方法计算了π的近似值、发明了一个能够用词语表示极大数字(大到1后面加上80万亿个零)的系统,或者是他发明了水力学这整个科学学科,并对其进行深入研究,给出对飘浮在流体中的旋转抛物面正截段2的静止与稳定位置的最完善研究? 聪明的读者不可能不对他异常广阔的学科领域和娴熟的处理手法印象深刻。而若用这些来激发阿基米德研究者的真正热情,其风格和方法在吸引力方面也毫不逊色。对于习惯于现代方法所保证的快捷性和直接性的数学家而言,也许最令人印象深刻的,是阿基米德处理他的任何一个重要问题时的特点: 深思熟虑和面面俱到。正是这个特点及其随之产生的效用,使其获得了更多赞赏。因为这种特点指引了伟大战略家做出决策。他预见一切,消除与执行他的计划并无直接关联的所有东西,精确掌控每一个因素,然后突然(当精心安排的细致加工在旁观者眼中几乎掩盖了其最终目标之时)做出最后一击。因此,当我们阅读阿基米德接踵而来的命题时,也许印象并不是特别深刻,但我们发现在后面应用时绝对无误;而且我们被引导进入了这样易于驾驭的平台,以致原始问题开始时出现的困难,变得几乎不那么重要了。正如普鲁塔克(Plutarch)所说:“不可能在几何学里找到更困难和更令人纠结的问题,或者更简单和更清晰明白的解。”普鲁塔克进一步说,我们被貌似容易的相继步骤欺骗,相信任何人都可以发现这些,但这肯定并非如此。与之相反,简单的研究和处理的完美结局都涉及了一个神秘元素。虽然每一步骤都取决于前一步骤,我们还是不知道阿基米德为什么这样做。事实上,瓦利斯(Wallis)的以下评论颇有见地:“他似乎故意掩盖自己研究的线索,就好像他一方面很不情愿向后代提供自己研究方法的秘密,另一方面又想迫使他们同意他的研究结果。”瓦利斯还说,由于同样的原因,不仅阿基米德,而且几乎所有古人,都对后人深藏他们(肯定有)的分析方法,以致更多现代数学家们发现,发明一种新的分析方法要比找到旧的分析步骤来得容易。这无疑是作为几何学家,为什么阿基米德和其他人一样,在19世纪甚少受到关注的原因,在大多数情况下,阿基米德主要被人们含糊地记得是螺杆的发明家,甚至数学家也很少了解他,除了是以他的名字命名的水力学原理的发现者。只是近年来,我们才有了一个令人满意的阿基米德著作的希腊语版本,这是海贝格(Heiberg)在1880年至1881年间推出的,并且除了尼采(Nizze)于1824年出版的德语译本,我不知道是否还有别的完整译本,尼采的德语译本由于已脱销而十分珍稀,可谓一书难求。
本书的计划与我编辑阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》的计划相同。但在这里,我较少需要也较少有机会对原著进行压缩,且尽可能保持命题的编号,以便以更接近原著的方式解读它们,又不至于使这种解读晦涩难懂。再者,本书的论题并非如此复杂,无须应用绝对一致的记法(但对阿波罗尼奥斯的书,只能用这种方法使之哪怕只是勉强可读),虽然我还是试图尽可能保证一致性。我的主要目标是向读者呈现著作的一个忠实的复制品,既不增加也不减少任何实质性或重要的东西。注释多半是为了说明正文中的特定要点,或者提供阿基米德认为已知的命题的证明。有时我认为把注释插入一些命题之后的方括号中更为妥当,因为这与指出那些命题的实际重要性的注释是同样的类型。若把这些注释置于引言或页脚,它们可能会被读者忽略。
如同将要看到的,引言的大部分内容是历史性的;其余内容,部分用于对阿基米德所用的一些方法及其在数学上的重要性给出较为一般的观点,因为这在对单独命题的注释中是不可能做到的,另一些则探讨论题中出现的缺乏可靠历史资料导向的某些问题。后一种情况,当必须做出一些假设以解释一些含糊不清之处时,我的目标是罗列我们具有的所有可靠信息,以及由之已经和可能得出的推论,使读者能够自行判断其可信程度。人们也许会认为,我把所谓νεύσεις,或即inclinationes(逼近线)的那一章拉得过长,有点超出了对阿基米德进行说明的需要;但相应的论题十分有趣,我觉得最好还是尽可能完备地加以说明,以便在一定程度上圆满地结束我对阿波罗尼奥斯和阿基米德的研究。
在准备本书出版过程中有一点遗憾之处。我特别想在标题页或其背面放一幅阿基米德的肖像,我的这个主意发端于以下事实,托雷利(Torelli)版的标题页有一个圆形装饰图案肖像,题签为古罗马保存下来的阿基米德大理石雕像。但我后来又发现了两幅肖像,与之截然不同但都被声称是阿基米德,其中之一出现在佩拉尔(Peyrard)1807年法语译本,另一幅出现在赫罗诺维厄斯(Gronovius)的《希腊古董珍品》,这使我开始警觉和怀疑,觉得应该对之深究。现在我从不列颠博物馆的默里(A. S. Murray)博士处获悉,这三幅肖像中没有哪一幅比其他的更为可信,且对所有现存的阿基米德肖像,肖像研究者们显然并不承认任何一幅是其本尊。因此,我不得不放弃我的打算。3
如前一本书,清样由我的兄弟伯明翰梅森学院院长希思(R. S. Heath)博士校阅,我希望利用这个机会感谢他承担这项工作。对任何不那么真正热爱希腊几何学的人,这看起来很像是一项吃力不讨好的任务。
希思(T. L. Heath)
1897年3月
主要参考文献
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1 英语单词segment 的意思是从物体上截下的一段,因此与立体图形有关的译为“截段”,而与平面图形有关的(如圆、椭圆、抛物线和双曲线)按惯例译为“弓形”。另外,球的截段是“球缺”,其面积为“球冠”。——译者注
2 英文为right segment,指与旋转抛物体轴垂直的平面生成的截段。立体图形详见《论浮体》卷II。——译者注
3 这一状况现在似有所改变,现代一般采用的阿基米德肖像如菲尔兹奖奖牌上所示(见右图)。——译者注