1.2.2 正弦交流电的三要素及其表示法

正弦交流电是指大小和方向都随时间按正弦规律变化的电流、电压及电动势。正弦交流电信号是实际电路分析中遇到的最基本的信号，熟悉正弦交流电信号的特征与表示方法是电路分析与应用的重要基础。

1.正弦交流电的三要素

两个随时间变化呈现正弦规律变化的正弦交流电流i₁和i₂的波形如图1-14所示。从图中可以看到i₁和i₂虽然都按正弦规律变化，但在变化过程中它们变化的起点不同，变化的起伏大小也不同，只有变化一周所用的时间相同。以上三个方面即反映了正弦交流电的变化规律，可分别用初相位、幅值（最大值）、频率三个物理量来表征，称为正弦交流电的三要素。

（1）幅值与有效值 正弦交流电在变化过程中任一瞬间所对应的数值称为瞬时值，用小写字母e、u、i表示。以图1-14中正弦电流i₁为例，其解析式为

式（1-8）表达了正弦电流在每一瞬时的值，因此称为瞬时值表达式。

瞬时值中最大的值称为正弦交流电的幅值或最大值，用大写字母加下角标“m”（即maximum）表示，如E_m、U_m、I_m，

在正弦交流电中，一般用有效值来描述各电量的大小。有效值是通过电流的热效应来规定的，若周期性电流i在一个周期内流过电阻R所产生的热量与另一个恒定的直流电流I在同样长度的时间流过相同的电阻R之后产生的热量相等，则这个直流电流I和周期电流i的热效应是等效的，因此可将这个直流电流的值定义为这个周期电流的有效值。有效值用大写字母表示，经数学推导之后，有效值与最大值之间可见如下关系：

正弦电流的有效值为

正弦电压的有效值为

正弦电动势的有效值为

在我国的电网中，单相交流电源的电压最大值为311V，有效值为220V。

（2）周期、频率和角频率 正弦交流电完整变化一周所需的时间称为周期，它表示正弦交流电变化的速度快慢，用T表示，单位是秒（s）。每秒内变化的周数称为频率，用f表示，单位是赫兹，简称赫（Hz），常用的单位还有千赫（kHz）和兆赫（MHz）。很多国家和地区都采用50Hz作为电力系统的供电频率。还有些国家和地区采用60Hz。这种供电频率称为工业频率，简称工频。

频率和周期互为倒数，即

正弦量的变化速度还可以用角频率ω来表示，角频率定义为正弦交流电每秒变化的电角度。一个周期所对应的电角度为360°，用弧度（rad）表示为2π。若正弦交流电的频率为f，则每秒变化的电角度为2πf，因此有

注意：在电路中，频率是影响电路工作状态的一个重要物理量，电源的频率不同，在电路元器件上产生的结果也会不同。故分析交流电路时必须讨论频率对电路的影响。

（3）相位、初相位与相位差式（1-8）中的ωt+Ψ称为交流电的相位角，简称相位。当t=0时的相位叫初相位，简称初相，用Ψ表示。初相位决定交流电的起始状态。如图1-14中i₂的初相位为Ψ₂，显然其初相位不为零，而当Ψ=0时，初相位即为零。

两个同频率正弦量的相位之差叫作相位差，用字母φ表示。

如u=U_msin(ωt+Ψ₁)和i=I_msin(ωt+Ψ₂)，两者的相位差为

可见，两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相位之差。相位差的大小反映了两个同频率正弦量到达正幅值（或负幅值）的时间差。

1）若Ψ₁-Ψ₂＞0，称u超前于i；或i滞后于u，如图1-15a所示。

2）若Ψ₁-Ψ₂=0，说明u与i同时到达正幅值，称为u与i同相位，如图1-15b所示。

3）若Ψ₁-Ψ₂=π，说明u到达正幅值时i恰为负幅值，称u与i反相位，如图1-15c所示。

注意：在电路中，相位也是影响电路工作状态的一个重要物理量。故分析交流电路还必须讨论相位对作用结果的影响。

2.正弦交流电的相量表示法

正弦交流电可用三角函数式（解析式）和波形图表示，如式（1-8）和图1-14所示，前者是最基本的表示方法，但运算烦琐；后者直观、形象，但并不十分准确。为了便于分析正弦交流电路，常用相量表示正弦交流电量。即运用数学变换的方法把正弦量变换到复数领域成为相量，应用复数方法对相量计算出结果，然后再变换回正弦量得出结论，从而大大简化运算过程，这种正弦电路分析方法称为相量法。

（1）复数概述

1）复数的定义：由实部a和虚部jb代数和构成的数称为复数，如果用A表示，即

A=a+jb

其中，j为虚部单位，a为复数A的实部，b为复数A的虚部，a、b均为实数。

以实部数轴和虚部数轴为坐标轴而构成的平面称为复数平面，简称复平面。如图1-16所示，其中“+1”表示实部数轴，“+j”表示虚部数轴。

2）复数的表示形式：一个复数可用下面五种形式来表示，它们之间可以相互转换。

代数形式：A=a+jb。

用复平面上的点表示：如图1-16中的坐标点A（a，b）。

用复平面上的向量表示：如图1-16中的向量A，其中θ是向量A的辐角，|A|是向量A的模。

三角函数形式：|A|为复数的模，θ角是复数A的辐角，则有

A=a+jb=|A|(cosθ+jsinθ)

其中

指数形式：根据欧拉公式ejθ=cosθ+jsinθ，复数的指数形式为

A=aejθ

或简写为

3）复数的运算：应用复数表示正弦量的主要目的就是通过数学变换的方法把不方便计算的正弦量变换到复数领域，应用复数方法较为方便地计算出结果，然后再变换回正弦量得出结论。从而大大简化运算过程。

复数的不同的表示形式可以进行不同的基本运算，设有复数U，则其运算如下所示：

此外，对极坐标形式还有：

（2）正弦电量的相量表示法 一个正弦量具有三要素，但在交流电路中，当外加正弦交流电源的频率一定时，电路各部分产生的正弦电流和电压的频率也都与电源的频率相同，因此在分析过程中可以把频率这一要素当作已知量，于是只留下正弦量的幅值和初相位需要计算。如果用复数的模表示正弦量的幅值，用复数的辐角表示正弦量的初相位，并以此来分析计算正弦交流电，就显得非常合适。这种用于表示正弦交流电的复数称为相量，相量符号用字母上方和圆点来表示。例如要将正弦电压u=60sin（ωt+45°）V表示成相量，即可以表示为

相量在复平面上的图称为相量图。相量图中的相量模为最大值时称为最大值相量，相量模为有效值时称为有效值相量。图1-17为电流i₁和i₂的有效值相量图。

例1-3 试写出表示u_A=，u_B=（314t-120°）V，u_C=sin（314t+120°）V的相量，并画出相量图。

解：分别用有效值相量表示u_A、u_B和u_C，则

相量图如图1-18所示。

例1-4 试求例1-3中两个电源u_A和u_B反相串联使用（即u_A-u_B）时的电源瞬时值表达式u_A-B。

解：

所以：u_A-B=（314t+30°）V

注意：①相量不能表示非正弦量；②只有同频率的正弦量才能画在同一个相量图上进行比较和计算；③两相量相加减时，既可在相量图中用图解法求解，也可用相量的复数表达式运算。

思考题

1）若购得一个耐压为250V的电容，是否可用于220V的正弦交流电路中？

2）两个同频率、同相位的正弦交流电源有效值均为110V，则将其同相串联起来使用时电源的有效值为多少？将其反相串联起来使用时电源的有效值又为多少？