1.4.2 正交小波常数模盲均衡算法

1.常数模盲均衡算法

盲均衡算法不需要采用外部提供的期望响应，自适应过程中通过一个非线性的变换产生期望响应的估计，就能够得到与希望恢复的输入信号比较接近的滤波器输出，节省了信道的带宽。通常，非线性变换存在于自适应均衡器的输入端、输出端或内部，根据在不同位置对数据加非线性变换，可以得到不同种类的盲均衡算法。Bussgang类盲均衡算法的非线性变换函数在自适应均衡器的输出端，通过对均衡器输出信号进行非线性变换，以获得输入信号的估计值。

常数模盲均衡算法作为Bussgang类盲均衡算法的特例，利用高阶统计特性构造代价函数，通过调节均衡器权向量寻找代价函数的极值点。其原理如图1.4.2所示。

图中，a（n）是零均值独立同分布发射信号；h（n）是信道脉冲响应，h（n）=[h₀（n），…，h_N-1（n）]T（上标T表示转置）；x（n）是信道的输出向量；v（n）是加性高斯白噪声；y（n）是均衡器接收信号；w（n）是均衡器权向量，且w（n）=[w₀（n），w₁（n），…，w_N-1（n）]T；z（n）是均衡器输出信号；ψ（·）是误差信号的生成函数；是判决装置对z（n）的判决输出信号。

设a（n）=[a（n）,…,a（n-N+1）]T，y（n）=[y（n）,y（n-1）,…,y（n-N+1）]T，由图1.4.2可得均衡器的输入信号为

输出信号为

常数模算法的误差函数为

式中，R2为CMA的模值，定义为

式中，E{·}表示数学期望。

CMA的代价函数为

代价函数的值取决于均衡器输出端加性噪声的大小。为获得极小值点，常采用梯度法对w（n）对进行调整，即

式中，μ表示迭代步长，且为较小的正数；为J对w（n）求偏导后取的瞬时值。

由J对w（n）求偏导得

故

将式（1.4.10）和式（1.4.16）代入式（1.4.14），得CMA权向量迭代公式为

式（1.4.9）～式（1.4.17）构成了CMA。CMA具有结构简单、计算量小、性能稳定等优点，但CMA存在收敛速度慢、均方误差较大、易陷入局部极小值点等不足之处。

2.正交小波盲均衡算法

为了提高CMA的收敛速度，通过对均衡器的输入信号进行正交小波变换，以降低输入信号的相关性、加快收敛速度。这样，将正交小波变换引入到常数模算法中，得到基于正交小波变换的常数模盲均衡算法（Orthogonal Wavelet Transform based Constant Modulus blind equalization Algorithm,WT-CMA），简称正交小波盲均衡算法。其原理如图1.4.3所示。

图中，a（n）是零均值独立同分布发射信号；h（n）是信道响应向量；x（n）是信道的输出向量；v（n）是加性高斯白噪声；y（n）为信道输出向量；R（n）为均衡器输入信号向量；w（n）为均衡器的权向量；z（n）为均衡器的输出；为判决器的输出；WT为正交小波变换模块。

图1.4.3中，正交小波变换后的输出为

式中，V表示正交小波变换（WT）矩阵。上标H表示共轭转置。

误差函数为

均衡器权向量的迭代公式为

式中，μ为步长因子；（n）=diag[（n），（n），…，（n），（n），…，（n）]，为正交小波功率归一化矩阵，其中，diag[]表示对角矩阵，（n）和（n）分别表示对小波系数r_j，k（n）和尺度系数s_J，k（n）的平均功率估计，r_j，k（n）表示小波空间j层分解的第k个信号，s_J，k（n）表示尺度空间中最大分解层数J的第k个信号。（n+1）和（n+1）可由下式递推得到

式中，β为平滑因子，且0<β<1，一般取略小于1的数。称式（1.4.18）～式（1.4.22）为基于正交小波的常数模盲均衡算法（WT-CMA）。