1.4.1 小波变换

文献[3]和[4]表明，通过对均衡器的输入信号进行归一化的正交小波变换，能使其自相关矩阵接近对角矩阵，降低输入信号的自相关性，加快收敛速度。文献[3]和[4]还表明，将正交小波变换引入到盲均衡算法中，能够进一步提高算法的收敛速度。

1.权向量的正交小波表示

由小波理论可知，当均衡器权向量w（n）为有限的冲击响应滤波器时，可由一族正交小波函数φ_j，k（n）和尺度函数ϕ_J，k（n）表示为

式中，n=0,1,…,N-1,N为均衡器长度；J为最大尺度；k_j=N/2j-1（j=1,2,…,J）为尺度j下小波函数的最大平移。其中，d_j,k和v_J,k分别为

d_j,k和v_J,k为均衡器的权系数，w（n）的特性由d_j,k和v_J,k反映出来。当均衡器的输入为y（n）时，均衡器的输出为

式中，

式（1.4.4）与式（1.4.5）表明，输入y（n）需与每个尺度上的小波函数φ_j，k（n）和尺度函数ϕ_J，k（i）及其平移系列做卷积，因而计算量较大。但小波函数φ_j，k（n）是由小波基φ_j，0（n）经过二进制的平移得到，即

代入式（1.4.4），得

即r_j，k（n）可由r_j，0（n）经过2jk延时而得到。同理，由ϕ_J，k（n）=ϕ_J，0（n-2jk），得

故r_j,k（n）、s_J,k（n）可以通过对r_j,0（n）、s_J,0（n）进行二进制延迟得到。式（1.4.3）实质上相当于对输入y（n）做离散正交小波变换，r_j,k（n）、s_J,k（n）分别为相应的小波和尺度变换系数。而式（1.4.3）则表明，均衡器n时刻输出z（n）等于输入y（n）经小波变换后的相应变换系数r_j,k（n）和s_J,k（n）与均衡器系数d_j,k和v_J,k的加权和。

2.正交小波变换的矩阵表示

由上面的分析可知，小波系数r_j.k（n）与尺度系数s_j.k（n）的值跟小波函数φ（n）与尺度函数ϕ（n）密切相关。在实际中，常常利用Mallat算法求解小波函数与尺度函数的表达式。对于长度为N的离散信号S₀=[s_0，1，s_0，2，…，s_0，N-1]T，利用Mallat塔形分解算法，可得图1.4.1所示的分解结构。

图中，S_j=[s_j,0 s_j,2 …]T，R_j=[r_j,0r_j,2 …]T，k_j定义同上，H_j和G_j分别为由小波滤波器系数h（n）和尺度滤波器系数g（n）所构成的矩阵，且H_j和G_j中每个元素分别为H_j（l,n）=h（n-2l），G_j（l,n）=g（n-2l），（l=1~N/2j+1,n=1~N/2j）。

正交小波变换矩阵可表示为

V=[G₀;G₁H₀;G₂H₁H₀;G_J-1G_J-2…H₁H₀;H_J-1H_J-2…H₁H₀]