地球上最短的距离和地图上最短的距离

在黑板上画出两个点之后，老师给一个年轻的中学生布置了题目：标出两点之间最短的线路。

稍做思考之后，学生努力地在两点之间画出了一条曲线。

“瞧瞧这条最短的线路！”老师很惊奇，“这是谁教你的？”

“我爸爸。他是出租车司机。”

当然，这个天真的学生画的图形是可笑的，但是如果有人对你讲，图1中的虚线是好望角到澳大利亚最南端之间的最短距离，你还会笑吗？！还有，下面的观点更让人震惊：图2中，日本到巴拿马运河之间的圆弧路线比直线要短！

这些说法看起来就像笑话一样，因为读者知道那些无可争议的、所有地图绘制者都熟知的真理。

图1　航海地图上，好望角与澳大利亚最南端之间最短的线路并不是直线（等角线），而是曲线（大圆航线）

为了解释这一问题，不得不稍讲一下普通地图和航海地图。在一张纸上展现出地表——原则上是一件不容易的事，因为地球是一个球形，而众所周知，无论在平面上画出球形表面的哪一部分，都不可能没有褶皱和断裂。所以在地图上，不得不对这些不可避免的变形做出妥协。人们想出很多绘制地图的方法，但所有地图都无法逃避缺陷：这些地图上有这种变形，那些地图上有另一种变形，而完全没有变形的地图又是不存在的。

航海者现在使用的地图是根据16世纪荷兰地图制图学家和数学家墨卡托的方法绘制的。这种方法被称为墨卡托投影。根据地图上的直角网，就能轻易看懂航海地图：在这种地图上，所有的经线都用一系列的平行直线表示；纬度圆用与经线垂直的直线表示（见图5）。

想象一下，如何找到位于同一纬线上两个港口之间的最短线路。海洋上所有的线路都可以通行，但如果我们知道最短线路是如何延伸的，那么我们就总能按照最短线路航行。在列举的这种情况下，人们自然就会想到，最短线路是沿着分布着两个港口的那条纬线延伸的：因为在地图上，这是条直线，还有什么比直线更短的吗？！但是错了：沿着纬线的路线绝对不是最短的。

实际上，球体表面上两点之间的最短距离是连接两点之间的弧线（大圆[任意一个中心与球体中心重合的圆都可以称为球体上的大圆。球体上其他的圆都称为小圆。]）。但纬线圆——却是小圆。上面两点之间大圆的弧线比任何小圆的弧线都要直：因为半径越大，弯曲度越小。我们在地球仪上的两点之间拉一条线（见图3）：你会相信，这条线不是沿着纬线的。那么毫无疑问，地球仪上这条拉伸的线是最短的线路，而如果这条线与地球仪上的纬线不重合，那么在航海地图上的直线就不意味着是最短的线路：我们要记住，在这种地图上，纬线圆是用直线表示的，任何一条与直线不重合的线，都是曲线。

图2　很难相信，在航海地图上，连接横滨和巴拿马运河之间的曲线比连接这两点之间的直线要短

在阐述完上述内容之后，就知道为什么在航海地图上最短的线路不是直线而是曲线了。

据说，当初在选择尼古拉夫斯基铁路（现在叫十月铁路）时一直争论不休——究竟选择哪条路线进行铺设。最终，沙皇尼古拉一世亲自过问此事，才结束了争论。他按“直线”的字面意思解决问题：依照直线，将圣彼得堡和莫斯科连接起来。如果在航海地图上用这种方法来解决这件事，那么结果就会让人出乎意料，所以，不应当铺设直线的铁路，而应当铺设曲线的铁路。

图3　寻找两点之间最短线路的简单方法：在地球仪上的两点之间拉一条线

通过简单的计算可以得出，地图上我们认为是曲线的线路确实比我们以为的直线要短。假如圣彼得堡所在的纬度——60°纬线上——有两个港口，两者之间的距离为60°（当然，是否真有这两个港口并不重要，因为这仅用于计算）。在图4中，点O表示地心，AB是纬度圆的弧线，在这条弧线上分布着港口A和B，弧线长60°。纬度圆的中心位于C点。我们假设，从地心O引出一条大圆弧线，并穿过这两个港口：弧线半径OB=OA=R；这条大圆弧线靠近弧线AB，但与AB不重合。

现在，我们计算一下每条弧线的长度。因为A、B两点位于60°纬线上，那么半径OA、OB与OC（地轴）之间的角度均为30°。在直角三角形ACO中，30°角相对的直角边AC（等于纬度圆半径r），等于斜边AO的一半，即。弧线AB的长度为纬度圆的，因为这个纬度圆的长度是大圆的一半（半径也相应是大圆的一半），那么小圆弧线的长度AB=×≈3333km。

图4　计算A、B在纬度弧上的距离和大圆弧上的距离

为了确定两个港口之间大圆弧的长度（即两个港口之间的最短距离），需要知道角AOB的大小。弦AB与弧线之间的夹角为60°（小圆），这是小圆中内接六边形的一边；因此，AB=r=。将地心O与弦AB中点D之间连接成直线OD，我们得到直角三角形ODA。角D为直角，DA=AB且OA=R，

得出：

Sin∠AOD=AD︰AO=，R=0.25.

由此，我们得到

∠AOD=14°28.5'

所以，

∠AOB=28°57'

现在就不难得出最短路线的千米数。如果你记得地球大圆1′的长度等于1海里，那计算就变得简单了，1海里约为1.85km。因此，28°57'=1737′≈3213km。

我们看到，沿着航海地图上纬度圆的直线路线为3333km，而沿着大圆的曲线路线是3213km，即缩短了120km。

如果在地球仪上拉一根线，就可以很快检测出我们画图的准确性，同时可以确认，大圆弧线确实是像图上所画的那样延伸的。在图1中，非洲到澳大利亚之间的直线路线长度为6020海里，而曲线路线长度为5450海里，即短了570海里，或1050km。在航海地图上，伦敦到上海的“直线”航空线穿过了里海，但实际上，最短的线路却是从伦敦向北延伸。现在我们明白，弄清楚这些问题对于节省时间和燃油有着重要作用。

如果说在帆船时代，人们不重视时间（因为在那个时代，时间还没有被视为金钱），那么随着蒸汽船的出现，情况就完全发生了变化。因为如果煤的消耗增加，就要承担额外的费用。这就是为什么现在我们在航海中已经很少使用墨卡托投影绘制的地图，而采用中心投影绘制的地图来确定最短路线。在中心投影方法绘制的地图上，大圆的弧线用直线来表示。

为什么以前的航海家要用这些带有欺骗性的地图并选择那些不经济的路线呢？如果你认为古代人不了解我们刚刚讲述的航海地图的这些特点的话，那就错了。原因当然不在此，而是因为根据墨卡托投影绘制的地图虽然不方便，却给航海者提供了非常有价值的信息。首先，它能表现部分地表，却没有变形，可以保留地形轮廓的角度。这与所有的地形轮廓离赤道越远延伸度越大并不矛盾。高纬度地区这种延伸就更明显，以至于对航海地图特点不熟悉的人脑海里会产生一种假象：似乎格陵兰岛与非洲一样大，阿拉斯加比澳大利亚还要大。实际上，格陵兰岛只是非洲的，而阿拉斯加加上格陵兰岛也只是澳大利亚的。熟悉航海地图特点的航海家是不会迷航的，航海家之所以接受这些，是因为航海地图能准确表现某些地段的实物地形（见图5）。

其次，航海地图使领航变得轻松。这是唯一一种用直线来表示固定航向的地图。固定航向，即表示一直坚持用罗盘确定的一个方向，换句话说，就是希望能等角通过所有经线。但这条路线（等角线）只有在所有经线都是相互平行的直线[实际上，等角线是螺旋式地缠绕在地球上的螺旋线。]的地图上才可以用直线来表示。

图5　全球航海地图或墨卡托地图。这种地图极大地放大了远离赤道的地区的尺寸。

比如，格陵兰岛和非洲到底哪个更大？（答案已经在文章中给出）

由于地球上纬度圆与经线相交成直角，所以在航海地图上，纬度圆应是与经线垂直的直线。简单地说，构成航海地图主要特点的坐标网是我们行驶的方向。

现在我们可以理解航海家对墨卡托地图的偏爱了。如果领航员希望确定一个不变的航向直到到达指定的港口，那他只需将一根直尺放至航线的终点，测出直尺与经线之间的角度。在广阔的大海上，如果领航员一直坚持这个航向，就能准确无误地将船只驶向终点。

我们可以看到，等角线虽然不是最短的路线，也不是最经济的路线，但却是所有已知的航线中最方便的路线。比如，从好望角到澳大利亚最南端（见图1），应当一直沿着S87.50°这个方向行驶。但是，如果船只想要以最短的线路抵达终点，就如图中所示，必须不断地改变航向：开始的航向是S42.50°，但结束的航向却是N53.50°（但这种情况下最短的航线是不切实际的，因为这条线路会撞上南极的冰山）。

两条路线：一条沿着等角线，另一条沿着大圆航线。这两条路线只有在以下情况下才会重合，即大圆航线在航海地图上用直线来表示，并且沿赤道航行或子午线航行。在其他情况下，这两条线路都是不重合的。