大树树干的形状

现在回头再看，当你行走在树林中，看见一棵参天古树的时候，再也不用担心无法测量其高度了。你不仅可以轻松地测量出其高度，还能够克服各种困难，用三种甚至三种以上的方法测出来。知道了大树的高度，接下来想不想知道大树的体积是多少？想不想测出它有多少立方米的木材，并且计算出它的重量，以便知道这棵树是否能够用一辆卡车来搬运？这就好比我们面前站着一个人，我们可以用各种方法测量出他（她）的身高，但他（她）的体重又该如何测量呢？

和测量人一样，测量大树的高度容易，测量重量则没有那么简单了，因为大树的特殊形状，只能借助某些条件测量出某种限度的近似值，也就是约等于多少。不要说是一棵正在生长的大树，即使是一棵已经砍掉而且去掉树皮的大树横在你的面前，想十分精确地测量出它的重量，也并不简单。

测量不出重量的原因也很简单，因为大树的树干是不规则的。以形状最为理想的雪松为例，雪松是众多松树品类的一种，生得十分匀称，本身没有一点凹凸，也不像任何我们能够按照某种固定的公式计算出体积的几何体。有人说它像圆柱，其实根本不是，因为它的上端要比下端细，也就是粗细不统一；有人说它像圆锥，可也不是圆锥，因为它的母线并不是一条直线而是曲线，而且表面也不是圆弧，而是另一种曲线，凹向树干的中心线。

在这种情况下，如何测量松树树干的体积呢？

积分法。

我们都知道积分是高等数学的知识，测量松树的体积这么简单的问题需要用到高等数学的知识吗？之所以有这种想法，是因为很多人都认为日常生活中只需要使用初等数学知识就完全可以应付了，而高等数学知识都是用来解决高端的、常人所无法触及的难题的。这种想法是不正确的。首先，初等数学知识和高等数学知识并没有直接的应用领域的区别；其次，利用初等数学的知识，也就是我们前面一直提到的初等几何学的知识，可以准确地计算出关于形状规则的恒星或者行星的问题，可要想准确地计算出一棵笔直的松树或者一个白炽灯的体积，就要借助解析几何和积分法，否则根本办不到。可是这本书并不打算向读者介绍高等数学的知识，因此这里只要求计算出树干体积的近似值来。

我们可以将松树树干的体积近似成一个圆台的体积，或者连同松树树梢一起近似成圆锥的体积，而将一段短短的树干的体积近似成一个圆柱的体积，上述三种立体图形的体积是很容易计算出来的。在这种相似的前提下，我们能不能找出一个公式，使它可以同时适用于以上的三种形状呢？如果可以的话，就不用考虑要测量的树干更接近哪一种形状——圆柱、圆锥或者圆台，就可以求出树干体积的近似值了。这样的公式有吗？