绪论

中小学数学学什么和怎么学

学好数学有方法

我小时候学数学，很少有人教套路。不少人问我数学学习有没有什么经验，我总结了几点，也许对大家有用。

重视基本概念

学好数学，搞清楚基本概念非常重要。基本概念不仅在数学学习中重要，在整个科学领域一样重要。

南京大学计算机系泰斗级人物徐家福先生就非常强调基本概念。他每次给学生做讲座，都要强调说：“基本概念、基本概念、基本概念！”

欧几里得的平面几何奠定了西方公理化方法的基础。公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发，根据特定的演绎规则，推导一系列的定理，从而构成一个演绎系统”的方法。欧氏几何的数学大厦就是由基本概念（包括基本元素、基本关系）、公理、公设、演绎规则和定理构成。其中，基本概念居于重要的位置。

很多数学问题其实最终考查的是对基本概念的理解程度，但很多人还没搞清楚基本概念和定义时就去追求公式记忆和快速解题，这就有点儿本末倒置了。

比如提到圆，很多人都会立刻想到圆的周长和面积公式，但往往忽略了一个最重要的性质，就是圆上的任何一点到圆心的距离都相等。

比如高中时学的椭圆和双曲线，很多人都侧重于去记椭圆和双曲线的代数方程。但除了方程，这些曲线还有它们的几何意义。许多时候，这些几何含义可以成为解决问题的利器。

重视结论背后的原理

在数学学习中，我很少刻意去背公式和记结论，因为很难记住自己不理解的结论，即便一时记住，也容易忘记或记错。

比如小学低年级的植树问题、乘法分配律，我肯定会通过数形结合的方法去加深理解。

我记得某个培训机构为了让孩子记住乘法分配律，用了个警察抓小偷的故事来辅助记忆。但如果用下面数形结合的方式来辅助理解乘法分配律，是不是想忘记都难？

现在很多机构都大力宣传各种速算技巧，这些其实完全没有必要刻意去学。每一种速算都有它的适用范围，一不小心就容易搞混、记错。数的位值表示、交换律、结合律、分配律、因数分解等，才是各类速算技巧背后的核心原理。

类似于“用1、2、3、4、5这五个数字组成一个三位数和一个两位数，使得两个数乘积最大”的问题，我更不会去记给自己的思想戴上枷锁的所谓“U型图解法”。

除了上面的简单例子，还有等差数列求和、等比数列求和以及大部分三角公式，我也不会刻意去记公式，而是重视这些公式的推导过程。这样习得的知识，才能记得牢、用得活。

有一股钻劲儿

这一点可能是不少孩子在学数学的过程中所欠缺的。特别是现在很多培训讲究学套路，不重视探索的过程，最后纯粹变成了比谁见过的套路多。孩子一旦碰到没有见过的问题，就容易产生畏难情绪从而放弃。

学好数学必须有一股挑战难题的韧劲儿。如果不经常花一两个小时或更长时间去啃一道难题、消化难题，那数学是很难学好的。即便一段时间考了高分，那也不值得沾沾自喜，这种高分往往是昙花一现。

欧几里得曾说过“几何无王者之道”，这一点我非常赞同，包括几何在内的所有数学学习都没有捷径。一切宣称可以快速提分的，往往都是饮鸩止渴。数学问题可以千变万化，我们需要的是修炼好内功，这样才能以不变应万变。

形成自己的解题模式

不少人追求刷题量，最后导致解数学问题纯粹变成了肌肉记忆和条件反射。我曾和一些孩子聊过，他们虽然可以条件反射般快速给出一些问题的答案，但据我观察，他们其实并没有理解问题的本质。这种做法在小学阶段提分效果可能不错，但越往后效果会越差，副作用也越大。

我不建议海量刷题，但并不是说不用做题。不解题肯定学不好数学，而解题的关键在于用什么样的解题方法。经过多年的实践，我形成了一套自己的解题模式，以便于获得最佳解题效果。具体来说，我将解题的整个过程分为应试和提升两个阶段，后文将对此进行详细讲解。

应试阶段分为五步：

（1）仔细读题审题。

这个阶段很重要，千万不要图快，最好把题目读上两遍，揣摩清楚出题人的意图。

（2）观察联想。

观察、识别问题的结构和模式，并与自己知识结构中的已知问题进行分析、对比。

（3）探索和求解。

在这个过程中，很多时候都是通过类比、归纳寻找解题的思路。在小学阶段，这个过程对于提升孩子的数学能力来说非常重要，类比和归纳是人类解决未知问题的“法宝”。当然，探索和求解的方法还有很多，本书在后面会有详细阐述。

（4）永远不要忘了问“解唯一吗”。

这一点很重要，非常考验思维的完备性。一道题10分，如果有2个答案，你只答了1个，那就只得5分。找出其他所有解，或者证明这就是唯一解，这在数学上非常重要。

（5）学会验算。

验算并不是简单地将题目重新做一遍，而是一门学问。关于验算的内容，本书后面有专门章节阐述。这里只讲几点：

如果是考试，那么到这儿解题就结束了。但作为平时的练习，到这里还远远不够。后面的思考才是对提升数学解题能力作用最大的。这就好比健身，当你开始出汗的时候，后面一段时间的坚持才是锻炼效果最好的。

那么还需要做什么呢？

（1）需要问自己：所采用的方法是否可以扩展？

比如，这个方法在n=10的时候可以用，但变成n=1000的时候还能不能用？

（2）永远要问自己，是否有其他解决方法？

努力做到一题多解，并学会分析每种方法的好坏和适用条件。一般而言，效率和普适性往往是一对矛盾体。高效的方法并不一定适用于所有场景；反之，低效的方法却可能更通用。

（3）变换角色，把自己当成出题人。

想一想如果自己来出题，可以怎么改变出题条件，真正做到举一反三。

如果能够做到这些，那我相信数学解题能力想不提升都难。

数学是最好的思维体操

虽说很多学科都可以培养孩子的思维能力，但毋庸置疑的是，数学仍是最好的思维体操。

数学学习可以培养孩子的抽象能力、推理能力和解决问题的能力，并锻炼公理化系统方法。我认为，数学可以培养孩子的12大能力和6大优秀品质。这些能力和品质对孩子日后的工作和生活具有非常积极的意义。

培养孩子的数学推理能力

在中小学阶段，我们要循序渐进地培养孩子的数学推理能力。具体来讲，小学阶段，类比推理和归纳推理是需要重点培养的数学能力。在小学高年级和中学阶段，演绎推理将逐渐扮演更重要的角色。

类比推理是根据两个（或两类）事物的某些属性相同或相似，推出它们另一属性也相同或相似的推理方法，是一种从特殊到特殊的推理方法。

听着很玄乎，其实说白了就是依葫芦画瓢。

比如，知道圆的定义是由所有到圆心的距离相等的点构成的集合，那么三维中球面的定义应该是由所有到球心的距离相等的点构成的曲面。

又如，我们知道在十进制中，被9整除的数的特征是其各位数字之和能被9整除，其推理过程是基于数的位值表示，例如：

297=2×102+9×10+7

=2×（99+1）+9×（9+1）+7

=2×99+9×9+2+9+7

因此，297能被9整除当且仅当其各位数字之和（2+9+7）能被9整除。

我们可以做这样的类比：7进制中，被6整除的数的特征是其各位数字之和能被6整除。推理过程也可以类比十进制的推理。

435（7）=4×100（7）+3×10（7）+5

=4×（66（7）+1）+3×（6（7）+1）+5

=4×66（7）+3×6（7）+4+3+5

因此，435（7）能被6整除等价于其各位数字之和（4+3+5）能被6整除。

再看一个几何的例子：

下图的正方形边长为1，首先被分成四个相等的正方形，将左上角涂色，然后再将右下角的正方形一分为四，将左上角的涂色。

如果我们一直持续这一过程，那么最后被涂色的部分占整个面积的几分之几？

这个问题最直接的做法是用小学生不能理解的无穷级数求和。如果不用无穷级数求和，可以这样考虑：去掉右下角的1/4块后，剩下的这部分，涂色部分占1/3。

在剩下的1/4块里，我们再去掉这个1/4块的右下角，那么涂色部分依然占整个面积的1/3。

依此类推，每次都抠掉右下角的一小块，涂色部分的面积在不同的尺度上都是整个面积的1/3，因此最后被涂色部分的面积为整个正方形面积的1/3。

基于这个思路，我们是不是可以解决下面这个问题。

在下面的黄色正三角形ABC中，分别取三边的中点D，E，F并分别连接，然后分别取DE，EF，DF三边的中点H，I，G，并将△DGH，△EHI，△GIF涂成蓝色。接着，对中间的小三角形GHI重复上述操作。如果这一操作一直持续下去，请问，图中涂成蓝色部分的面积占整个正三角形面积的几分之几？（答案及解析可在公众号“昍爸说数学与计算思维”中获取）

但是，由于类比推理的逻辑根据是不充分的，带有或然性，具有猜测性，不一定可靠，不能作为一种严格的数学方法，因此还须经过严格的逻辑论证，才能确认猜测结论的正确性。

比如：“这篇小说只有1000字，文字很流畅，这篇小说得奖了。你写的这篇小说也是1000字，文字也很流畅，因此也一定能得奖。”这样的类比无疑会得出错误的结论。

又如，人类一直希望找到适合生命生存的外星系类地行星，这就是一种类比推理。根据行星的构造、温度、距离恒星的远近等方面具有与地球类似的特征，因此推断其也可能有生命存在。这样的推理结论并不一定正确。

归纳推理

归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理过程，是由关于个别事物的某方面观点过渡到范围较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。

听着复杂？其实就是找规律！

可以说，归纳推理能力的培养对于解决未知问题具有重要的作用，是小学阶段应该花力气重点培养的一种能力。

先看一个简单的问题：

2，5，8，11，…，这个数列的第100项是多少？

这个问题显然需要在特殊的基础上进行归纳，从第2项起，每一项都是在前一项的基础上加3，那么第100项应该是在第1项的基础上加99个3，即为2+99×3。可以因此归纳出，第n项的通项公式应该是2+（n-1）×3。

再如，我们知道三角形、四边形、五边形的内角和分别为180°，360°，540°，据此，我们可以归纳出n边形的内角和应该是（n-2）×180°。

再看下面这个问题：

有100个边长为1的正三角形如下图所示排成一行，请问图形的周长是多少？

我们不妨从1个正三角形开始：

据此，我们可以归纳出n个正三角形按上面的方式排列的周长为（n+2）。

如果我们把正三角形换成正五边形，100个边长为1的正五边形如下图所示排在一起，周长为多少？

我们同样也可以从1个正五边形开始做如下归纳：

据此，可以归纳出n个正五边形按上述方式排列，周长为（3n+2）。

上面的结论，当然可以进行严格证明。从图中可以看到，除了一头一尾两个正五边形贡献了4条边，其余（n-2）个正五边形都只贡献了3条边，因此周长为4×2+3×（n-2）=3n+2。

最后再来看一个稍微复杂一点儿的问题：

有1个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头下接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟，怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？

这个问题也可以从归纳开始。

首先，假设只有2个人，所需注水时间分别为3分钟和4分钟，注水时间只有3，4和4，3两种排列，显然，按照前一种排列方式打水，等候的总时间最短。

再假设有3个人，所需注水的时间分别为3分钟，4分钟，5分钟，那么有：

可以看到，按照3分钟、4分钟、5分钟的顺序打水，等候的总时间最短。

据此，可以大致归纳出下面的结论：为了让所有人等候的总时间最短，应该按照注水时间从小到大的顺序排队打水。但这个归纳到底对不对，还需要严格的证明。

●第一种方法

第一种方法是可以利用反证的思想。假如在等候时间最少的打水方案中，有两个人a和b，两人注水时间也分别用a，b表示，注水时间长的排在注水时间短的前面，如下图所示，a＞b，且设排在a前面的有x人，排在a和b之间（不包含a，b）的有y人，排在b后面的有z人。

那我们可以交换a，b的顺序，得到如下的打水顺序。

在上面的两种打水方案中，只有第x+1个人和中间的y个人，他们的等候时间受到了影响，a，b交换位置对前面x个人和后面z个人的等候时间并没有影响，对第x+y+2个人的等候时间也没有影响。

我们可以计算一下第一种方案的总等候时间与第二种方案的总等待时间之差。

因此，总的等候时间差为：a-b+ya-yb=（y+1）（a-b）>0。

也就是说，交换位置后，等候的总时间会变少。这说明在最后使得打水等待总时间最少的方案中，一定是按照注水时间从少到多的顺序排列的。

●第二种方法

假设6个人最后打水的先后顺序为：a，b，c，d，e，f，各人需要的注水时间也用a，b，c，d，e，f表示，那么总的等候时间为：

a+（a+b）+（a+b+c）+（a+b+c+d）+（a+b+c+d+e）+（a+b+c+d+e+f）

=6a+5b+4c+3d+2e+f

=5a+4b+3c+2d+e+（a+b+c+d+e+f）

=5a+4b+3c+2d+e+35

要使得和最小，最后一个式子中消失的f应该是最大的，即10分钟，剩下的a，b，c，d，e为5，4，3，7，6这组数的一个排列。

基于递归的思维，重复这一分析过程，可以得到e=7，d=6，c=5，b=4，a=3。

事实上，许多物理定律的发现都依赖对大量数据的观测和归纳。比如开普勒发现的行星运动定律。从这个意义上讲，对数据的拟合就是一种归纳。

当然，上面所说的归纳是可以进行严格证明的。但有些通过特殊情况归纳出的一般结论，并不一定正确，或者很难被证明或证伪。例如，大名鼎鼎的哥德巴赫猜想就属于这样的归纳结论。

哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。

比如，4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=5+5，这个结论对于特殊值都成立。但通过归纳得出的一般性结论，经历了这么多年依然未能被证明或证伪。

此外，规律不一定唯一，同样的观测值，可以得出不同的可解释的归纳结论。比如，1，2，4，8，___

按照大部分人的直觉，8后面的横线上应该填16。但是，填15也行。为什么？如果你去研究一下0刀、1刀、2刀、3刀、4刀分别可以把西瓜最多切成多少块，就会发现是1，2，4，8，15这个序列。如果有疑问，可以查看本书第6章的相关内容。

填14也行。为什么？如果你去观察一下0个圆、1个圆、2个圆、3个圆、4个圆分别把平面最多分成多少个区域，就会发现是1，2，4，8，14这个数列。

事实上，从纯数学理论出发，只要是有限个数，空格处填任何数都存在合理的解释。

演绎推理

到了初中以后，演绎推理就显得尤为重要。

演绎推理是指从一般性的前提出发，通过推导（即演绎），得出具体陈述或个别结论的过程。演绎推理是一种确定性推理，是前提与结论之间有必然性联系的推理。

下面这个三段论是演绎推理的经典例子：

所有的人都会死。

苏格拉底是人。

所以，苏格拉底会死。

在我们的数学课程中，演绎推理在平面几何中用得最多。这里举一个例子。

证明三角形的内角和是180°。

在小学的课本里，证明方法是通过类似下面的实验方法，把三角形的三个角剪下来，拼在一起，发现正好是一个平角。

这种方法当然不能算是一种证明。严格的证明需要演绎推理。

如下图所示，延长BC至CD，过C点作BA的平行线至CE。

由于AB//EC，有：

∠DCE=∠B（同位角相等）

∠ECA=∠A（内错角相等）

因此，∠A+∠B+∠C=∠ECA+∠DCE+∠ACB=180°。

如果要深究一下，为什么同位角和内错角相等？那我们还要搬出欧氏几何五大公设中的第五条，它是这么说的：

同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于两个直角的和，则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。

这句话的逆否命题是：同平面内一条直线和另外两条直线相交，如果后面两条直线无限延长后在某一侧不相交，那么这一侧的两个内角和不小于两个直角的和（即180°）。

由于两条直线平行，所以这两条直线在任何一侧都不相交，那么两侧的两个内角和都不小于180°。而四个内角加起来是360°，只能是每一侧的两个内角和均为180°。据此，可以进一步推出同位角和内错角相等。

只有掌握了演绎推理，才算是真正步入了数学的大门。

所以，什么才是我们最应该学的？不是那些让人眼花缭乱的技巧，而是基本概念、基本关系、基本规则、基本原理和基本推理方法，以及不畏艰难和追求卓越的品质。