第一节 我在撒谎！——荒诞无比的悖论

悖论是一个涉及数学、逻辑学、哲学思辨等知识，而且非常广泛的论题。正如日本学者在《数学百科辞典》中描述的那样：很容易就当前的结论提出与判断完全相反的结论或事例，但时而又没有办法对当前的结论提出能够完全反驳其观点的正当根据。

也就是说，有这样一个命题A，从A立意出发，可以顺利地推出命题B，但是，从新命题B出发，却会出现下面这样自相矛盾的现象：如果B是真的，反而推测出B是假的；如果B是假的，结果发现，B又是真的。

悖论就是这样一种极为特殊的推理论证。这便是悖论最“荒诞”的地方，也是最具有哲理、能够给人启迪的地方。逻辑学家赫兹贝格曾说过：“悖论之所以具有重大意义，是因为它能使我们看到对于某些根本概念的理解存在多大的局限性……事实证明，它是产生逻辑和语言中新概念的重要源泉。”

经典悖论之一：上帝的全知全能

一位十分虔诚的基督徒A说：“我所信仰的上帝是全知全能的。”持无神论观点的B反问道：“如果上帝全知全能，就意味着他能办到世界上的任何事情。那么，请问：你所信仰的上帝有办法制造出一个可以击败他自己的对手吗？”A本来张口就要回答“能”，但在脱口而出的一瞬间，发现这是B的圈套，便连忙把话咽了回去。

为什么说是圈套呢？因为无论怎样回答，最终都会推翻他一开始宣扬的“我所信仰的上帝是全知全能的”。情况是这样的：如果回答“能办到”，那么，上帝便会被这个对手击败，证明他并不是全能的；如果回答“不能办到”，那么，上帝遇到了他不能够解决的问题，则证明他并不是全知的。

经典悖论之二：聪明的唐·吉诃德

著名的西班牙小说《唐·吉诃德》里面有一个小故事，一位极其残暴的君主，设立了一条令人摸不着头脑的法律：每一位来访本国的游客，都必须回答一个问题。这个问题是：“您为什么要到这个地方来？”如果游客的答案是正确的，那么接下来的旅程将很顺利；如果游客的回答是错误的，那么他将立刻被处死。自从该法律设定以来，没有一位游客能够从这里过去。终于有一天，一位聪明的游客专门来到这个国家，就为了回答这个问题。等侍卫问完之后，他立刻回答道：“我来这个地方，就是为了被处死。”

这位游客的回答无懈可击，最后导致提出这样刁钻问题的君主也无可奈何，只能放这位游客通行。如果游客的回答是正确的，按照法律，他就不应该被处死，应该被放行；但是，问题来了，如果他没有被处死，那么他的回答是错误的，按照法律，他又应该被处死。他的答案：“我来这个地方，就是为了被处死。”这句话又变成了正确的。

经典悖论之三：撒谎的我

撒谎者悖论，被誉为最为古老、最为重要的悖论。按照数学家欧几里得的叙述方式，可以通俗易懂地表示为：“我现在正在说的这句话，是句假话。”那么，这句话到底是真的，还是假的？如果这句话是真的，推论结果就是“我现在正说着的这句话，是句假话”是假的；如果这句话是假的，推论结果就是“我现在正说着的这句话，是句假话”是真的。

经典悖论之四：罗素悖论

萨维尔村里的一名理发师设定了一条店规：“只给不给自己刮脸的人刮脸。”那么这位理发师的脸该不该由他自己刮呢？如果理发师的脸由自己刮，则他属于“给自己刮脸的人”，因此理发师不应该给自己刮脸；如果理发师的脸不由自己刮，则他属于“不给自己刮脸的人”，因此他的脸可由自己刮，显然又与上述“不给自己刮脸的人”矛盾。理发师悖论是罗素悖论的一个通俗说法。1902年，哲学家、数学家罗素发现“任何确定的条件的对象都可决定一个集合”这一条原则导致了矛盾。这就大大动摇了集合论的基础。

为什么我们需要了解悖论、认识悖论？因为悖论不是简单的闲谈、不是纯粹的趣闻，“悖论式命题充满着使人惊奇的内容”，它预示着更先进的创造和未来的方向。因此，只有从小培养脑力，提高对数学美学的感悟，体会数学题中的幽默，才能在面对复杂的数学问题时，真正增强解题的灵感，成为现在拥有、未来也拥有“数学大脑”的人。