第51章 函数

函数是很多学生都感到头疼的数学概念，不过大家放心我是不会提出特别复杂的相关概念的。好了，我就开始了。

第一个是概括。概括的现象在所有学科里都有出现，但是在函数中似乎没有表示概括的。由于我孤陋寡闻和学识浅淡，或许不知道数学家早就对函数进行了概括。不过呢，我还是要提出它。没错，就是概括。若函数g(x)=x＋1，k(x)=mx＋n，其中m和n都不为零，那么k（x）就是g(x)的概括，而g(x)就是k(x)的具体。

由于符号看起来总是有点别扭和不舒服，不如文字直观。那么，接下来我就全部以文字来描述。等价是数学中的重要概念，至于属于哪一学科就是需要查询的事情。为了让结论有说服力，我还是来举例。x关于f的函数值等于x关于g的函数值的平方加上二倍的x关于g的函数值再加上负三，而x关于g的函数还是和我之前举的例子是一样的。把x关于g的函数表达式代入x关于f的函数，经过化简得到一个新的函数表达式。这样，我称x关于f的函数是二阶函数或者说它的阶是二。由于本来就存在一个x关于h的函数等于相同的表达式，则x关于h的函数和x关于f的函数的结果等价的。其实，这就说明函数的阶只是表面的。

既然说到等价，那么等价只有这一种吗？当然不是。等价还有平移等价和对称等价，那么它们是怎么样的呢？x关于g的函数2等于二倍的x加上负三，还是那个x关于g的函数。那么两个函数就是平移等价的。这是什么原因呢？首先它们都是一次函数，函数图像对应的是两条不同的直线。由于直线的斜率相同，两条直线就是平行的。而平行的两条直线除了所在位置不同，其他都是相同的。因此，两条直线对应的函数也是可以看成是等价的。那么，对称等价又是怎么回事呢？这个就留给你们来说吧！核桃似乎知道自己说得有点多，就及时把还没有说完的抛给大家。

对称等价很简单。在一次函数中，只要让两条直线的斜率互为相反数，那么它们就是对称等价的。其实，你也可以看成是旋转。只不过旋转就不一定是等价的了。依然以x关于g的函数为基础，x关于g的函数3是负三倍的x加上一。因而，它们就是互为偏折的。在这里，我要提出一个概念：同元。而上述两个函数就是同元。同元就是两个函数的自变量的最高次方是相同的，否则就是非同元。为了叙述方便，我把自变量的最高次方称为元次。就是说，两个函数的元次相同就是同元。如果函数的元次同为奇或者偶，那么它们的图形具有分形相似。就是说高次函数的图像必然部分包含低次函数的图像。即高低次函数的图像不是高次函数的图像的分形。小尼很自信，也很快就说完了。

我来说说函数的扩展吧！函数可以看成是有序对的集合。既然说到集合，就要说子集。函数是一个集合，自然有子集。子函数就是函数的子集。那么，什么是子函数呢？就是子函数是以函数的各个项中的一个或者多个为函数表达式，总之比原来的函数少一个项。随着函数元次的增大，函数的子函数也会相应增多。

核桃都说了等价，但是没有定义域。只有两个函数的定义域是相同的，即同域。那他们才是完全等价的。否则就是不完全等价的。埃斯皮诺萨也在说着。

我来继续说。系数变换是函数变化的一种方式。在此情况下，就形成了一个交换集。在变换的过程中，函数元次是不会改变的。在一次函数里，系数变换是没有意义的。

函数肯定和坐标系脱离不了关系，而坐标系又是由四个象限决定的。我就问函数图像能否经过四个象限呢？说起图像，我就想到了直线多边形。那么，直线多边形可以是函数的图像吗？不能。因为直线多边形是闭合的，必然出现一个自变量的值对应两个函数值甚至多个。而我们知道函数的定义是一个自变量只能对应一个因变量，就是说一个横坐标的函数值是唯一的。不过，这倒符合映射。只有一次函数的图像永远不会经过四个象限，而其他函数只是部分情况下是会经过四个象限的。

嗯，大家都有点超常发挥。不过，也该结束了。