第46章 集合

我们以前提过集合，今天就来好好讨论一番。大家都知道整数集z、实数集R、虚数集I和复数集C，大家听过状态集吗？木头和瓶子就是固态集的，而水和酒就是液态集的。木头和瓶子是同态的，而木头和水就是异态的。还有多边形型、数型、字母型，你们听过吗？多边形型就是多边形数集合，数型就是纯粹的数的集合。而字母型指的就是语言。说了这么多，不知大家有什么感受？埃斯皮诺萨说着。

小尼说：你漏了数列型。虽然集合和数列是同胚的，但是数列涉及的和集合涉及的是完全不同的。集合本来就可以包纳万物的，数列自然不能逃脱被集合化的命运。

函数集合化是一种集合对函数的渗透，体现的是集合的包容性。我们知道函数有定义域，而集合化就是说集合也要有定义域。不过，函数的略微不同。集合的分为两种。一种是元素重复限制。为什么要如此呢？这里涉及了净元素。我在以前提过净元素的定义，所以这里就不再继续说明了。这里还要说一个概念就是重复元素。元素重复限制下也叫重复元素限制，具体就是限制重复元素的数量。另一种是元素范围。元素范围对计算集合的大小有非常突出的贡献，可以说是不可或缺的。对于区间式集合如集合a={x|x-3＜1}就是没有必要的。而对于列举式集合，元素范围就是有必要明确的。

函数有奇偶性，那么集合自然也应该有奇偶性。集合的奇偶分为两种。一种是整体奇偶，另一种是元素奇偶。那么什么是整体奇偶呢？如集合a={-3，-2，-1，1，2，3}就是整体奇偶中偶集合，如集合b={1，3，5，7}就是元素奇偶中的奇集合。同样地，集合也有单调性。上面两个集合都是前一个元素比后一个元素小，所以单调性就是单调递增。

艾丽西亚说：我知道集合和抽象代数中的环论有关，但是我不打算讨论环论。至于整数环、多项式环，就不是我要提及的了。

小尼的两个集合都是朝着数轴的右边，所以它们是同向的。而且它们在自己集合内部也是同向的。如果一个集合有单调性，那么它一定是自同向的。而有单调性的集合就是有序的，但是有序的集合不一定有单调性。如集合{-1，1，-1，1}就是有序的，但不是单调的。上面的集合就是有序中的偏序，而集合b就是有序中的顺序。两个有序的集合就可以形成一个有序对。

区间式集合并不等于列举式集合。

从集合的角度来看，线就是点集。同样地，图形也可以看成是点集。如果要求不规则图形的面积，描点法的确是不错的选择。图形还可以看成是线的集合，因此画线法求面积也是不错的。说到面积，就要说积分和增量。可以说，增量是面积问题中核心。以前，我就想正方形的面积为什么是边的平方，而不是边的的四次方。我想不出答案，你们知道吗？

两人都摇头说：不知道。求面积可以说是可以和解方程媲美的数学难题，其中牵涉的是数学的核心。以我们的水平，还不足以讨论这样的大问题。

埃斯皮诺萨说：明天继续。