第17章 无理数和根号数

埃斯皮诺萨在纸上写下π，又写了一个m的n次方根。然后对着两人说：我们都知道它们都是无理数，那么π是根号数吗？作为数学中的两大概念，它们可以统一吗？

艾丽西亚说：这个问题有点大。首先我说我的结论，它是根号数。我们都知道对于数学家总是把时间花在方程和函数以及几何里，对于根号数缺乏足够的研究。现在我们连二次根号中最简单的√2都不了解，更别说高次根号了。虽然我对根号数的了解只有知道根号数很复杂这这一点外，就没有别的了。不过，我的直觉告诉我π一定是高次根号数。无理数的本质是进制，只有彻底研究进制的规律才能真正触及它的本质。

我以前算过0.33的循环换成九进制是0.33，说明它是因为进制导致的。受此启发，无理数应该也是进制导致的。只不过现在没有办法把π换成九进制，所以没有证据。如果π可以变成根号数或许会简单一点。

我们知道圆的面积是πr²，而π是无理数。那么，我们是否可以换种方式计算面积呢？如果引入根号，情况或许就会不同。圆的面积之所以难以计算是因为连续性，还有就是极点。要想想清楚这个问题，就必须回到最初的概念上。正方形的面积是边长乘以边长。怎么理解呢？就是把一条边看成是直线，而正方形的面积就相当于边长长度条直线。可是，这条直线是数学中的直线吗？如果它是，就没有宽度。那么，就算有边长长度条直线，那么这些直线的宽度依然是零啊？然而，正方形的面积的确就是如此啊？那么，这条直线就不是数学中的直线。问题是正方形不就属于数学吗，为什么如此呢？我们就当作它是成立的。那么，圆的面积是不是可以按照相同的方法来求解呢？

如果按照正方形的面积求解的话，圆的面积就是0×2r＝0。很明显，这是错误的。

我们再来看正方形的面积。如果假设它可以拆分成很多个长方形，然后再变成无数条直线。把这些直线从两个方面看成是整体，于是正方形的面积就是如此。但是，我转念一想，这会不会是人的想当然。人类到底是如何知道它的面积公式的？

艾丽西亚在沉思，而小尼却说道：这是数学的基础。就算你想很久，恐怕也没有正确的答案。其实，你猜的不错，就是想当然耳。不过也有一定根据，就是连续性和对称。你也许会说圆也是对称的，为什么圆的面积就不能计算出来？对此，我也无法解答。

我说一句题外话。根号数或者无理数完全是一个独立的数系中的数，也就是说无理数和有理数是完全分开的。

埃斯皮诺萨，今天就到这里吧！这个话题实在太大了，我感觉有些受不了。

埃斯皮诺萨看了两人，觉得的确有些难。所以，也就没有再说什么。