第16章 最终位和

埃斯皮诺萨问道：想必大家都知道最终位和，我就不解释了。各位有什么要说的，就全部说出来。

艾丽西亚笑着不语，过了一会才说道：位和循环。这是我通常大量的计算而得到的结果。所有数的倍数的最终位和是固定的，而且是循环的。3的倍数的最终位和只是3、6、9，而没有其他数字。位和循环是进制导致的，可以说是所有数的最终归宿。

最终位和只有在数的数位很多时才会体现得很明显。

不光整数有最终位和，小数也有。其实，小数的就是把小数点忽略而已。比如，1.23的最终位和就是6。

最终位和的意义是统一了数，让纷繁复杂的数有了自己的标签。

有了位和就应该有位差、位商、位积等等。

位和偏移！当两个最终位和相等的数相乘时，最终位和一定会改变。

位和翻倍！当两个最终位和相等的数相加时，最终位和会翻倍。由于最终位和只能是1到9的整数，不会超过9。当它们的最终位和大于等于5时，虽然有翻倍的情况，但是还要进行一步求位和。

位和不变是位和翻倍里的特殊情况。当两个数的最终位和是9，它们相加后的最终位和仍然是9。

相等不整除是指当两个最终位和相等的数（个位数不能做做除数）相除时，除数是不能被整除的。

九倍定理。还是相同的条件。它们相减，差一定是九的倍数。

小尼说：这些都是最终位和相等的情况。而不等的情况呢？接下来，我就来谈谈这种情况。

位和固定。两个不同最终位和的数相乘时，结果有固定的最终位和。

位和不变。这其实位和固定中的一个小规律。就是一个数和最终位和为1的数相乘，它的最终位和不变。

位和相等。还是上述的条件。两组不同的数，它们的最终位和可能会相等。

除此之外，位和还有一些小规律。如果把它们全部列出来，需要很多时间。其实，得出这些规律的过程都很简单。你们有时间，可以慢慢寻找。

我觉得可以根据最终位和把数分为九类，这样的话数学中又多了一些概念。相同地，位差也可以作为划分数的依据。当然位差有些复杂，但是也不过多了一个零而已。位商就更复杂了，不过还是有一定的范围。而位积就更加复杂了。所以，以位商和位积为划分标准似乎不太合适。我觉得以后我们应该讨论一下它们。不过在此之前，必须要讨论位差。

埃斯皮诺萨说：你们似乎忘了无理数？无理数的最终位和是几？你们觉得会不会是一？不管你们怎么想，反正我就是这样认为。我觉得无理数肯定包含0到9这十个数字，最终的数一定是十的倍数。求了位和之后，自然就是一了。虽然有些牵强，但是我就是这样认为。如果有机会，我们再来讨论一次无理数的最终位和。

位和是非常基础的概念，我们一定可以发现更多。当然，今天是不行了。让我们一边享受生活的美好，一边思索新的数学问题。