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卷四：少广

少广术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左。命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法。置所求步数，以全步积分乘之为实。实如法而一，得从步。

今有田广一步半。求田一亩，问从几何？

答曰：一百六十步。

术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问从几何？

答曰：一百一十五步五分步之一。

术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三，并之得二十五，以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如法而一，得从步。

原文

少广（1）术曰：置全步（2）及分母子，以最下分母遍（3）乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左。命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法。置所求步数，以全步积分乘之为实。实如法而一，得从步。

注释

（1）少广：少，少量。广，长方形的宽。少广，这里指由长方形的面积或体积，求其中一边的长。

（2）全步：整数部分。

（3）遍：全部。

译文

求长方形的长边的运算法则：列出步数的整数部分及分数的分子分母，用最大的分母乘所有分子和整数部分。各分子除以其分母进行约分，得数放在左边，然后将能通分的分数进行通分，并进行约分。用其次的分母乘所有分子和已经通分的数，使得各分母相同，并把它们的和作为除数。所求步数乘整数部分作为被除数。被除数除以除数，得数为长的步数。

原文

（一）今有田广一步半。求田一亩，问从几何？

答曰：一百六十步。

术曰：下有半，是二分之一（1）。以一为二，半为一，并之得三（2），为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。

注释

（1）下有半，是二分之一：列在下面的分母为2，即。

（2）以一为二，半为一，并之得三：把1化为2，化为1，和为3。

译文

（一）现有田宽为1步。面积为1亩，那么长是多少？

答：160步。

运算法则：列在下面的分母为2，把1化为2，化为1，和为3作为除数。1亩化为240平方步，乘1所化的整数2作为被除数。被除数除以除数，得数为长边的步数。

译解

（一）2+1=3，作为除数；

240×2=480平方步，作为被除数；

被除数除以除数，得数为所求长边的步数，即480÷3=160步。

术解

（1）1亩=240平方步，长方形面积=长×宽，得出长=面积÷宽。

（2）即240÷1=240÷=240×=240×2÷3。

（3）240×2÷3=160步，与题中运算法则相符。即长为160步。

原文

（二）今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问从几何？

答曰：一百三十步一十一分步之一十。

术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之得一十一为法。置田二百四十步，亦以一为六乘之，为实。实如法得从步。

译文

（二）现有两块田宽分别为1步、步。田面积总共为1亩，长边是多少？

答：130步。

运算法则：列在下面的分母为3，把1化为6，化为3，化为2，和为11作为除数。1亩化为240平方步，乘1所化的整数6作为被除数。被除数除以除数，得数为长边的步数。

译解

（二）6+3+2=11，作为除数；

240×6=1440平方步，作为被除数；

被除数除以除数，得数为所求长边数，即1440÷11=130步。

术解

（1）1亩=240平方步，长方形面积=长×宽，得出长=面积÷宽。

（2）最大的分母为3，先用3通分，然后再用2通分。通分后的和为。即240÷（1+）=240÷=240×=240×6÷11=130步。

原文

（三）今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问从几何？

答曰：一百一十五步五分步之一。

译文

（三）现有3块田，宽分别为1步、步、步。田面积共为1亩，那么长边是多少？

答：115步。

运算法则：列在下面的分母为4，把1化为12，化为6，化为4，化为3，和为25作为除数。1亩化为240平方步，乘1所化的整数12作为被除数。被除数除以除数，得数为长边的步数。

译解

（三）12+6+4+3=25，作为除数；

240×12=2880平方步，作为被除数；

被除数除以除数，得数为所求长边数，即2880÷25=115步。

术解

（1）1亩=240平方步，长方形面积=长×宽，得出长=面积÷宽。

（2）最大的分母为4，先用4通分，然后用3通分，再用2通分，最后通分后的和为。

即240÷（1++）=240÷=240×=115步。

原文

（四）今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩，问从几何？

答曰：一百五步一百三十七分步之一十五。

术曰：下有五分，以一为六十，半为三十，三分之一为二十，四分之一为一十五，五分之一为一十二，并之得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦以一为六十乘之，为实。实如法得从步。

译文

（四）现有4块田，宽分别为1步、步、步、步。田面积共为1亩，那么长边是多少？

答：105步。

运算法则：列在下面的分母为5，把1化为60，化为30，化为20，化为15，化为12，和为137作为除数。1亩化为240平方步，乘1所化的整数60作为被除数。被除数除以除数，得数为长边的步数。

译解

（四）60+30+20+15+12=137，作为除数；

240×60=14400平方步，作为被除数；

被除数除以除数，得数为所求长边数，即14400÷137=105步。

术解

（1）1亩=240平方步，长方形面积=长×宽，得出长=面积÷宽。

（2）最大的分母为5，先用5通分，然后分别用4、3、2进行通分，通分后的和为。即240÷（1+++）=240÷=240×=105步。

原文

（五）今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩，问从几何？

答曰：九十七步四十九分步之四十七。

术曰：下有六分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之得二百九十四以为法。置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得从步。

译文

（五）现有5块田，宽分别为1步、步、步、步、步。田面积共为1亩，那么长边是多少？

答：97步。

运算法则：列在下面的分母为6，把1化为120，化为60，化为40，化为30，化为24，化为20，和为294作为除数。1亩化为240平方步，乘1所化的整数120作为被除数。被除数除以除数，得数为长边的步数。

译解

（五）120+60+40+30+24+20=294，作为除数；

240×120=28800平方步，作为被除数；

被除数除以除数，得数为所求长边数，即28800÷294=97步。

术解

（1）1亩=240平方步，长方形面积=长×宽，得出长=面积÷宽。

（2）最大的分母为6，先用6通分，然后分别用5、4、3、2进行通分，最后通分后的和为。

（3）即240÷（1++++）=240÷=240×=
=97步。

原文

（六）今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩，问从几何？

答曰：九十二步一百二十一分步之六十八。

术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十，四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并之得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。实如法得从步。

译文

（六）现有6块田，宽分别为1步、步、步、步、步、步。田面积共为1亩，那么长边是多少？

答：92步。

运算法则：列在下面的分母为7，把1化为420，化为210，化为140，化为105，化为84，化为70，化为60，和为1089作为除数。1亩化为240平方步，乘1所化的整数420作为被除数。被除数除以除数，得数为长边的步数。

译解

（六）420+210+140+105+84+70+60=1089，作为除数；

240×420=100800平方步，作为被除数；

被除数除以除数，得数为所求长边数，即100800÷1089=92步。

术解

（1）1亩=240平方步，长方形面积=长×宽，得出长=面积÷宽。

（2）最大的分母为7，先用7通分，然后分别用6、5、4、3、2进行通分，最后通分后的和为。

（3）即240÷（1+++++）=240÷=240×==92步。

原文

（七）今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩，问从几何？

答曰：八十八步七百六十一分步之二百三十二。

术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十，四分之一为二百一十，五分之一为一百六十八，六分之一为一百四十，七分之一为一百二十，八分之一为一百五，并之得二千二百八十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八百四十乘之，为实。实如法得从步。

译文

（七）现有7块田，宽分别为1步、步、步、步、步、步、步。田面积共为1亩，那么长边是多少？

答：88步。

运算法则：列在下面的分母为8，把1化为840，化为420，化为280，化为210，化为168，化为140，化为120，化为105，和为2283作为除数。1亩化为240平方步，乘1所化的整数840作为被除数。被除数除以除数，得数为长边的步数。

译解

（七）840+420+280+210+168+140+120+105=2283，作为除数；

240×840=201600平方步，作为被除数；

被除数除以除数，得数为所求长边数，即201600÷2283=88步。

术解

（1）1亩=240平方步，长方形面积=长×宽，得出长=面积÷宽。

（2）最大的分母为8，先用8通分，然后分别用7、6、5、4、3、2进行通分，最后通分后的和为。

（3）即240÷（1++++++）=240÷=240×
=步=88步。

原文

（八）今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问从几何？

答曰：八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。

术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，
三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之得七千一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。

译文

（八）现有8块田，宽分别为1步、步、步、步、步、步、步、步。田面积共为1亩，那么长边是多少？

答：84步。

运算法则：列在下面的分母为9，把1化为2520，化为1260，化为840，化为630，化为504，化为420，化为360，化为315，化为280，和为7129作为除数。1亩化为240平方步，乘1所化的整数2520作为被除数。被除数除以除数，得数为长边的步数。

译解

（八）2520+1260+840+630+504+420+360+315+280=7129，作为除数；

240×2520=604800平方步，作为被除数；

被除数除以除数，得数为所求长边数，即604800÷7129=84步。

术解

（1）1亩=240平方步，长方形面积=长×宽，得出长=面积÷宽。

（2）最大的分母为9，先用9通分，然后分别用8、7、6、5、4、3、2进行通分，最后通分后的和为。

（3）即240÷（1+++++++）=240÷=240×
=步=84步。

原文

（九）今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩，问从几何？

答曰：八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。

术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为二百五十二，并之得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。

译文

（九）现有9块田，宽分别为1步、步、步、步、步、步、步、步、步。田面积共为1亩，那么长边是多少？

答：81步。

运算法则：列在下面的分母为10，把1化为2520，化为1260，化为840，化为630，化为504，化为420，化为360，化为315，化为280，化为252，和为7381作为除数。1亩化为240平方步，乘1所化的整数2520作为被除数。被除数除以除数，得数为长边的步数。

译解

（九）2520+1260+840+630+504+420+360+315+280+252=7381，作为除数；

240×2520=604800平方步，作为被除数；

被除数除以除数，得数为所求长边数，即604800÷7381=81步。

术解

（1）1亩=240平方步，长方形面积=长×宽，得出长=面积÷宽。

（2）最大的分母为10，先用10通分，然后分别用9、8、7、6、5、4、3、2进行通分，最后通分后的和为。

（3）即240÷（1++++++++）=240÷=
=步=81步。

原文

（一〇）今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问从几何？

答曰：七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三
十一。

术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为二千五百二十，并之得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步。

译文

（一〇）现有10块田，宽分别为1步、步、步、步、步、步、步、步、步、步。田面积共为1亩，那么长边是多少？

答：79步。

运算法则：列在下面的分母为11，把1化为27720，化为13860，化为9240，化为6930，化为5544，化为4620，化为3960，化为3465，化为3080，化为2772，化为2520，和为83711作为除数。1亩化为240平方步，乘1所化的整数27720作为被除数。被除数除以除数，得数为长边的步数。

译解

（一〇）27720+13860+9240+6930+5544+4620+3960+3465+3080+2772+2520=
83711，作为除数；

240×27720=6652800平方步，作为被除数；

被除数除以除数，得数为所求长边数，即6652800÷83711=79步。

术解

（1）1亩=240平方步，长方形面积=长×宽，得出长=面积÷宽。

（2）最大的分母为11，先用11通分，然后分别用10、9、8、7、6、5、4、3、2进行通分，最后通分后的和为。

（3）即240÷（1+++++++++）=240÷
==步=79步。

原文

（一一）今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问从几何？

答曰：七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。

术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得从步。

译文

（一一）现有11块田，宽分别为1步、步、步、步、步、步、步、步、步、步、步。田面积共为1亩，那么长边是多少？

答：77步。

运算法则：列在下面的分母为12，把1化为83160，化为41580，化为27720，化为20790，化为16632，化为13860，化为11880，化为10395，化为9240，化为8316，化为7560，化为6930，和为258063作为除数。1亩化为240平方步，乘1所化的整数83160作为被除数。被除数除以除数，得数为长边的步数。

译解

（一一）

83160+41580+27720+20790+16632+13860+11880+10395+9240+8316+7560+6930=258063，作为除数；

240×83160=19958400平方步，作为被除数；

被除数除以除数，得数为所求长边数，即19958400÷258063=77步。

术解

（1）1亩=240平方步，长方形面积=长×宽，得出长=面积÷宽。

（2）最大的分母为12，先用12通分，然后分别用11、10、9、8、7、6、5、4、3、2进行通分，最后通分后的和为。

（3）即240÷（1++++++++++）=240÷
==步=77步。

原文

（一二）今有积五万五千二百二十五步。问为方（1）几何？

答曰：二百三十五步。

（一三）又有积二万五千二百八十一步。问为方几何？

答曰：一百五十九步。

（一四）又有积七万一千八百二十四步。问为方几何？

答曰：二百六十八步。

（一五）又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一。问为方几何？

答曰：七百五十一步半。

（一六）又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问为方几何？

答曰：六万三千二十五步。

开方术（2）曰：置积为实。借一算步之，超一等（3）。议所得，以一乘（4）所借一算为法，而以除（5）。除已，倍法为定法。其复除。折法而下（6）。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之（7）。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫（8），开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。

注释

（1）方：开方，即求正方形的边长。

（2）开方术：开平方的运算法则。

（3）借一算步之，超一等：算，算筹。超，超越、超过。等，数位。即借一个算筹，把它向前进两位。

（4）一乘：乘一次。

（5）而以除：除，这里指相减。

（6）折法而下：折，折损。使除数折算退一位。

（7）以面命之：命，命名。以这个数为面积的正方形边长来命名，即正方形的边长。

（8）讫：完结，截止。

译文

（一二）现有田面积为55225平方步。如果是正方形，那么其边长是多少？

答：235步。

（一三）又有田面积为25281平方步。如果是正方形，那么其边长是多少？

答：159步。

（一四）又有田面积为71824平方步。那么如果是正方形，其边长是多少？

答：268步。

（一五）又有田面积为564752平方步。那么如果是正方形，其边长是多少？

答：751步。

（一六）又有田面积为3972150625平方步。那么如果是正方形，其边长是多少？

答：63025步。

开平方的运算法则：用面积作为被除数，借一个算筹，把它的末位向前移两位，移动两次。用所得数自相乘再与算筹相乘，作为除数，而相减。相减后，把除数加倍，作为“定法”。然后再作除法，按照以下步骤折算除数：再借一算筹，向之前那样移位，用所得数与算筹相乘，所得的数加“定法”，再作减法。如果再作除法，像之前那样退一位。

如果有开不尽的数，取平方根的近似值，即正方形的边长。如果被开方数有分数，用整数与分母相乘，再加分子进行通分，作为“定实”，然后再开方。然后再对分母开方作为除数。如果分母开不尽，再用分母乘“定实”，再开方。计算完毕，再除以分母，得数为边长。

译解

（一二）正方形面积=边长2，边长===235步。

（一三）同理，边长==159步。

（一四）同理，边长==268步。

（一五）同理，边长==751步。

（一六）同理，边长==63025步。

术解

以（一二）为例：

（1）面积55225为被除数，借一算筹，算筹是100，从个位向移动两次，即移动四位，到万位为止。万位是5。

（2）2×2<5<2×3，得出初商是2。因为借算在万位，初商2应放在百位。

（3）用初商自乘1次，再与算筹相乘，2×2×10000=40000，为除数。被除数减去得数，55225–40000=15225。

（4）以倍数为定法，即2×2=4作为“定法”，向后移动到千位，为4000。因为求平方根为十位，也须移动借算到百位，即15。

（5）被除数千位上的数字是15，且4×3<15<4×4，得出次商为3，并把它放在十位上。

（6）用3乘借算，3×100=300，得数和“定法”相加，4000+300=4300，再乘次商，4300×3=12900。用被除数减去得数，15225–12900=2325。

（7）再次作除法：把得数和“定法”相加，430+30=460。求个位平方根，将借算移到个位，十位上的数是232，46×5<232<46×6，得出三商为5。得数和定法相加，460+5=465。

（8）用三商与得数相乘，即5×465=2325，2325–2325=0。因此，235为55225的平方根，即正方形边长为235。

原文

（一七）今有积一千五百一十八步四分步之三。问为圆周（1）几何？

答曰：一百三十五步。

（一八）今有积三百步。问为圆周几何？

答曰：六十步。

开圆术（2）曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。

注释

（1）圆周：圆形田的周长。

（2）开圆术：圆面积开方的运算方法。即求圆周长的运算法则。

译文

（一七）现有田面积为1518平方步。如果田为圆形，那么其周长是多少？

答：135步。

（一八）现有田面积为300平方步。如果田为圆形，那么其周长是多少？

答：60步。

圆面积开方求周长的运算法则：面积乘12，开平方求平方根，得数为圆周长。

译解

（一七）周长====135步。

（一八）同理，周长===60步。

术解

以（一八）为例：

（1）圆面积=π×半径2，周长=2×π×半径。π=3。

（2）半径=，周长=2×π×；即半径==10步。

周长=2×3×10=60步。

（3）根据以上算式，把2和π至于根号，即周长=。

原文

（一九）今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方（1）几何？

答曰：一百二十三尺。

（二十）今有积一千九百五十三尺八分尺之一。问为立方几何？

答曰：一十二尺半。

（二一）今有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七。问为立方几何？

答曰：三十九尺八分尺之七。

（二二）又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七。问为立方几何？

答曰：一百二十四尺太半尺。

开立方术（2）曰：置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二位。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中从定法。复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之，讫，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。

注释

（1）立方：立方体开立方，即求立方体的边长。

（2）开立方术：开立方的运算法则。

译文

（一九）现有体积为1860867立方尺。如果是立方体，那么其边长是多少？

答：123尺。

（二十）又有体积为1953立方尺。如果是立方体，那么其边长是多少？

答：12尺。

（二一）又有体积为63401立方尺。如果是立方体，那么其边长是多少？

答：39尺。

（二二）又有体积为1937541立方尺。如果是立方体，那么其边长是多少？

答：124尺。

开立方的运算法则：体积作为被除数，加一个算筹，向前移动三位，移动两次。所得数，用它的2次方乘所借算筹，作为除数。被除数除以除数。相减后，除数乘3作为“定法”；再次作除法，按照以下步骤进行运算：用3乘初商，放在中行，再借一算筹放在下行，然后把中行的数向前移动两位，下行的数移动三位；再次作除法，第二个所得数，用它的2次方乘下行的数。加上“定法”，再用被开方数除以“定法”。相减后，下行的数加倍，加上中行的数，加入“定法”。再次作除法，像之前那样折损、退位。

如果开方开不尽，次数为不可开。如果被开方数有分数，用整数乘分母加分子作为“定实”，然后“定实”再开立方。计算完毕，对分母开立方，再作除法。如果分母不可开方，再用分母乘“定实”，再开立方。最后再用分母除，得数为立方体边长。

译解

（一九）边长===123尺。