卷二：粟米

今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？

答曰：为粝米六升。

术曰：以粟求粝米，三之，五而一。

今有粟三斗六升，欲为粺饭。问得几何？

答曰：为粺饭三斗八升二十五分升之二十二。

今有粟三斗少半升，欲为菽。问得几何？

答曰：为菽二斗七升一十分升之三。

今有粟五斗太半升，欲为麻。问得几何？

答曰：为麻四斗五升五分升之三。

今有粟一十斗八升五分升之二，欲为麦。问得几何？

答曰：为麦九斗七升二十五分升之一十四。

原文

粟米（1）之法：粟率五十，粝米（2）三十，粺米（3）二十七，糳米（4）二十四，御米（5）二十一，小十三半，大（6）五十四，粝饭七十五，粺饭五十四，糳饭四十八，御饭四十二，菽、荅（7）、麻、麦各四十五，稻六十，豉（8）六十三，飧（9）九十，熟菽一百三半，蘖（10）一百七十五。

术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

注释

（1）粟米：禾、黍的种子，打磨之后为米。这里泛指粮食。

（2）粝米：粝，粗糙。经打磨的粗米、糙米。

（3）粺米：打磨后的粗米，比粝米要精细一些。

（4）糳米：精米，经过舂的米，比粺米要精一些。

（5）御米：宫廷里食用的米，最精的米。

（6）：磨过后的麦屑。小是指经过细磨的麦屑；大则是粗糙的麦屑。

（7）菽：豆类。荅：同“答”，小豆。

（8）豉：豆豉，大豆煮熟发酵后的豆制品。

（9）飧：煮熟的饭食。也指煮熟的稀饭。

（10）蘖：蘖曲，用来酿酒的发酵物，一般用粮食制成。

译文

粮食兑换的计算标准：以粟米为标准，比率数是50。兑换粝米30，粺米27，糳米24，御米21，小13，大54，粝饭75，粺饭54，糳饭48，御饭42，菽、荅、麻、麦45，稻60，豉63，飧90，熟菽103，蘖175。

粮食兑换运算法则：用粟米数乘所求比率数作为被除数，粟米比率数为除数。被除数除以除数，得数为所求结果。

译解

此运算是为了解决粮食交易、兑换的问题。以粟米为对照比率，粟率50，粝米30，即粟米:粝米=50:30。也就是说，50的粟米可以兑换30同等单位的粝米；粺米27，表示粟米:粺米=50:27，以此类推。

根据运算法则：用公式来表示，所求粮食数=粟米粮食数×所求粮食比率÷粟米比率。粟米比率为50，此为基础比率。

原文

（一）今有粟一斗（1），欲为粝米（2）。问得几何？

答曰：为粝米六升。

术曰：以粟求粝米，三之（3），五而一（4）。

注释

（1）斗：古时容量单位，1斗=10升，10斗=1石。

（2）欲为粝米：欲，想要。想要兑换成粝米。

（3）三之：乘3。

（4）五而一：除以5。

译文

（一）现有粟米1斗，想要兑换为粝米。可以兑换多少粝米？

答：能兑换粝米6升。

运算法则：用粟米兑换粝米，先乘3，再除以5，得数就是所求粝米重量。

译解

（一）粟米:粝米=50:30。

这里把粟米50、粝米30经过了约简，即粟米:粝米=5:3。

所求粝米=10升×3÷5=6升。

术解

（1）粟米:粝米=5:3，按照运算法则求粝米，可以得出，10升×3÷5= 6升。

如果我们进行转换，以1为基础数，那么1升粟米可兑换升粝米。

（2）即粝米=粟米×=10×=6升。

（3）进行运算时，如果能进行约简、单位换算，最好先进行约简、换算，以便于简便运算。

原文

（二）今有粟二斗一升，欲为粺米。问得几何？

答曰：为粺米一斗一升五十分升之十七。

术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。

译文

（二）现有粟米2斗1升，想要兑换为粺米。那么能兑换多少？

答：能兑换粺米1斗1升。

运算法则：用粟米求粺米，先乘27，再除以50，得数为所求粺米数。

译解

（二）所求粺米=粟米×粺米比率÷50，2斗1升=21升。

即21×27÷50=11升，转化为升等于1斗1升。

术解

（1）粟米:粺米=50:27；由此得出，1升粟米可以兑换升粺米。

（2）21升粟米可以兑换的粺米数，即21×=11升=1斗1升。

原文

（三）今有粟四斗五升，欲为糳米。问得几何？

答曰：为糳米二斗一升五分升之三。

术曰：以粟求糳米，十二之，二十五而一。

译文

（三）现有粟米4斗5升，想要兑换为糳米。能兑换多少糳米？

答：能兑换糳米2斗1升。

运算法则：用粟米求糳米，先乘12，再除以25，得数为所求糳米数。

译解

（三）粟米:糳米=50:24=25:12。

所求糳米=粟米×12÷25，4斗5升=45升。

即45×12÷25=540÷25=21升=2斗1升。

术解

（1）先进行约简，粟米:糳米=50:24=25:12，再进行换算，1升粟米=升糳米。

（2）进行计算，45×===升=21升=2斗1升。

原文

（四）今有粟七斗九升，欲为御米。问得几何？

答曰：为御米三斗三升五十分升之九。

术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。

译文

（四）现有粟米7斗9升，想要兑换为御米。能兑换多少御米？

答：能兑换御米3斗3升。

运算法则：用粟米求御米，先乘21，再除以50，得数为所求御米数。

译解

（四）粟米:御米=50:21。

所求糳米=粟米×21÷50，7斗9升=79升。

即79×21÷50=1659÷50=33升=3斗3升。

术解

（1）粟米:御米=50:21，进行换算，1升粟米=升御米。

（2）79×==升=33升=3斗3升。

原文

（五）今有粟一斗，欲为小。问得几何？

答曰：为小二升一十分升之七。

术曰：以粟求小，二十七之，百而一。

译文

（五）现有粟米1斗，想要兑换为小。那么能兑换多少小？

答：能兑换小2升。

运算法则：用粟米求小，先乘27，再除以100，得数为所求小数。

译解

（五）粟米:小=50:13。因为存在分数，我们需要先通分，50:13=100:27。

所求小=粟米×27÷100，1斗=10升。

即10×27÷100=270÷100=2升。

术解

（1）粟米:小=50:13，得出，1升粟米可以兑换升小。

（2）所求小=10×=2升。

（3）凡是含有分数的率，必须先通分，再进行计算。

原文

（六）今有粟九斗八升，欲为大。问得几何？

答曰：为大一十斗五升二十五分升之二十一。

术曰：以粟求大，二十七之，二十五而一。

译文

（六）现有粟米9斗8升，想要兑换为大。那么能兑换多少大？

答：能兑换大10斗5升。

运算法则：用粟米求大，先乘27，再除以25，得数为所求大数。

译解

（六）粟米:大=50:54；先约简，粟米:大=25:27。

所求大=粟米×27÷25，9斗8升=98升。

即98×27÷25=2646÷25=105升=10斗5升。

术解

（1）粟米:大=50:54=25:27，得出1升粟米可以兑换升大。

（2）所求大=98×=105升=10斗5升。

（3）约简时，先求50和54的最大公约数为2，然后把两个数取半，即25和27。

原文

（七）今有粟二斗三升，欲为粝饭。问得几何？

答曰：为粝饭三斗四升半。

术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。

译文

（七）现有粟米2斗3升，想要兑换为粝饭。那么能兑换多少粝饭？

答：能兑换粝饭3斗4升。

运算法则：用粟米求粝饭，先乘3，再除以2，得数为所求粝饭数。

译解

（七）粟米:粝饭=50:75；约简得出，粟米:粝饭=2:3。

所求粝饭=粟米×3÷2，2斗3升=23升。

即23×3÷2=69÷2=34升=3斗4升。

术解

（1）粟米:粝饭=50:75，50和75的最大公约数为25，约简之后得出，粟米:粝饭=2:3。

即1升粟米可以兑换升粝饭。

（2）所求粝饭=23×=升=34升=3斗4升。

原文

（八）今有粟三斗六升，欲为粺饭。问得几何？

答曰：为粺饭三斗八升二十五分升之二十二。

术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。

译文

（八）现有粟米3斗6升，想要兑换为粺饭。那么能兑换多少粺饭？

答：能兑换粺饭3斗8升。

运算法则：用粟米求粺饭，先乘27，再除以25，得数为所求粺饭数。

译解

（八）粟米:粺饭=50:54；约简可以得出，粟米:粺饭=25:27。

所求粺饭=粟米×27÷25，3斗6升=36升。

即36×27÷25=972÷25=38升=3斗8升。

术解

（1）粟米:粺饭=50:54=25:27，得出1升粟米可以兑换升粺饭。

（2）所求粺饭=36×=升=38升=3斗8升。

原文

（九）今有粟八斗六升，欲为糳饭。问得几何？

答曰：为糳饭八斗二升二十五分升之一十四。

术曰：以粟求糳饭，二十四之，二十五而一。

译文

（九）现有粟米8斗6升，想要兑换为糳饭。能兑换多少糳饭？

答：能兑换糳饭8斗2升。

运算法则：用粟米求糳饭，先乘24，再除以25，得数为所求糳饭数。

译解

（九）粟米:糳饭=50:48；约简可以得出，粟米:糳饭=25:24。

所求糳饭=粟米×24÷25，8斗6升=86升。

即86×24÷25=2064÷25=82升=8斗2升。

术解

（1）粟米:糳饭=50:48=25:24，得出1升粟米可以兑换升糳饭。

（2）所求糳饭=86×=82升=8斗2升。

原文

（一O）今有粟九斗八升，欲为御饭。问得几何？

答曰：为御饭八斗二升二十五分升之八。

术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。

译文

（一O）现有粟米9斗8升，想要兑换为御饭。能兑换多少御饭？

答：能兑换御饭8斗2升。

运算法则：用粟米求御饭，先乘21，再除以25，得数为所求御饭数。

译解

（一O）粟米:御饭=50:42；约简可以得出，粟米:御饭=25:21。

所求御饭=粟米×21÷25，9斗8升=98升。

即98×21÷25=2058÷25=82升=8斗2升。

术解

（1）粟米:御饭=50:42=25:21，得出1升粟米可以兑换升御饭。

（2）所求御饭=98×=82升=8斗2升。

原文

（一一）今有粟三斗少半（1）升，欲为菽。问得几何？

答曰：为菽二斗七升一十分升之三。

（一二）今有粟四斗一升太半（2）升，欲为荅。问得几何？

答曰：为荅三斗七升半。

（一三）今有粟五斗太半升，欲为麻。问得几何？

答曰：为麻四斗五升五分升之三。

（一四）今有粟一十斗八升五分升之二，欲为麦。问得几何？

答曰：为麦九斗七升二十五分升之一十四。

术曰：以粟求菽、荅、麻、麦，皆九之，十而一（3）。

注释

（1）少半：少：缺，不够。不到一半，这里指。

（2）太半：多半，超过一半。这里指。

（3）菽、荅、麻、麦，皆九之，十而一：这里粟米与四种粮食的兑换比例相同，都为50:45，因此运算时都先乘9再除以10。

译文

（一一）现有粟米3斗升，想要兑换为豆类。能兑换多少呢？

答：能兑换豆类2斗7升。

（一二）现有粟米4斗1升，想要兑换为荅。能兑换多少？

答：能兑换3斗7升。

（一三）现有粟米5斗升，想要兑换为麻。能兑换多少？

答：能兑换4斗5升。

（一四）现有粟米10斗8升，想要兑换为麦。能兑换多少？

答：能兑换9斗7升。

运算法则：用粟米求菽、荅、麻、麦四种粮食的数量，先乘9，再除以10，得数为所求数。

译解

（一一）粟米:豆类=50:45；约简可以得出，粟米:豆类=10:9。

所求豆类=粟米×9÷10，3斗升=30升。

即30×9÷10=×9÷10=升=27=2斗7升。

（一二）同理，粟米:荅=10:9。

所求荅=粟米×9÷10，4斗1升=41升。

即41×9÷10=×9÷10=升=37升=3斗7升。

（一三）同理，粟米:麻=10:9。

所求麻=粟米×9÷10，5斗升=50升。

即50×9÷10=×9÷10=升=45=4斗5升。

（一四）同理，粟米:麦=10:9。

所求麦=粟米×9÷10，10斗8升=108升。

即108×9÷10=×9÷10=升=97升=9斗7升。

术解

以（一二）为例：

（1）现有粟米的重量为4斗1升，先进行通分，得升。

（2）粟米:荅=50:45=10:9，得出1升粟米可以兑换升荅。

（3）最后求荅的重量，×=升=37升=3斗7升。

（4）这四种粮食的运算法则相同，其他不再进行累述。

原文

（一五）今有粟七斗五升七分升之四，欲为稻。问得几何？

答曰：为稻九斗三十五分升之二十四。

术曰：以粟求稻，六之，五而一。

译文

（一五）现有粟米7斗5升，想要兑换为稻米。那么能兑换多少？

答：能兑换稻米9斗升。

运算法则：用粟米求稻米，先乘6，再除以5，得数为稻米数量。

译解

（一五）粟米:稻米=50:60=5:6。

所求稻米=粟米×6÷5，7斗5升=75升。

即75×6÷5=×6÷5=升=90升=9斗升。

术解

（1）先进行通分，7斗5升=升。

（2）粟米:稻米=50:60=5:6，得出1升粟米可以兑换升稻米。

（3）求稻米的重量，×=升=90升=9斗升。

原文

（一六）今有粟七斗八升，欲为豉。问得几何？

答曰：为豉九斗八升二十五分升之七。

术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。

译文

（一六）现有粟米7斗8升，想要兑换为豆豉。那么能兑换多少？

答：能兑换豆豉9斗8升。

运算法则：用粟米求豆豉，先乘63，再除以50，得数为豆豉数量。

译解

（一六）粟米:豆豉=50:63。

所求豆豉=粟米×63÷50，7斗8升=78升。

即，78×63÷50=升=98升=9斗8升。

术解

（1）粟米:豆豉=50:63，得出1升粟米可以兑换升豆豉。

（2）求豆豉的重量，78×=98升=9斗8升。

原文

（一七）今有粟五斗五升，欲为飧。问得几何？

答曰：为飧九斗九升。

术曰：以粟求飧，九之，五而一。

译文

（一七）现有粟米5斗5升，想要兑换为饭食。那么能兑换多少？

答：能兑换饭食9斗9升。

运算法则：用粟米求饭食，先乘9，再除以5，得数为饭食数量。

译解

（一七）粟米:饭食=50:90=5:9。

所求饭食=粟米×9÷5，5斗5升=55升。

即，55×9÷5=升=99升=9斗9升。

术解

（1）粟米:饭食=5:9，得出1升粟米可以兑换升饭食。

（2）求饭食的重量，55×=，55是5的倍数，先进行约简以便于计算，得出11×9=99升=9斗9升。

原文

（一八）今有粟四斗，欲为熟菽（1）。问得几何？

答曰：为熟菽八斗二升五分升之四。

术曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。

注释

（1）熟菽：煮熟的豆类。

译文

（一八）现有粟米4斗，想要兑换为熟豆。能兑换多少？

答：能兑换熟豆8斗2升。

运算法则：用粟米求熟豆，先乘207，再除以100，得数为熟豆数量。

译解

（一八）粟米:熟豆=50:103=100:207。

所求熟豆=粟米×207÷100，4斗=40升。

即40×207÷100=升=82升=8斗2升。

术解

（1）粟米:熟豆=100:207，得出1升粟米可以兑换升熟豆。

（2）求熟豆数量40×=82升=8斗2升。

原文

（一九）今有粟二斗，欲为蘖。问得几何？

答曰：为蘖七斗。

术曰：以粟求蘖，七之，二而一。

译文

（一九）现有粟米2斗，想要兑换为酒蘖。能兑换多少？

答：能兑换酒蘖7斗。

运算法则：用粟米求酒蘖，先乘7，再除以2，得数为酒蘖数量。

译解

（一九）粟米:酒蘖=50:175=2:7。

所求酒蘖=粟米×7÷2，2斗=20升。

即20×7÷2==70升=7斗。

术解

（1）粟米:酒蘖=2:7，得出1升粟米可以兑换升酒蘖。

（2）求酒蘖数量：20×==10×7=70升=7斗。

原文

（二十）今有粝米十五斗五升五分升之二，欲为粟。问得几何？

答曰：为粟二十五斗九升。

术曰：以粝米求粟，五之，三而一。

译文

（二十）现有粝米15斗5升，想要兑换为粟米。问能兑换多少？

答：能兑换粟米25斗9升。

运算法则：用粝米求粟米，先乘5，再除以3，得数为所求粟米数量。

译解

（二十）所求粟米=粝米×5÷3，15斗5升=155升。

155×5÷3=259升=25斗9升。

术解

（1）已知粟米:粝米=50:30=5:3，得出粝米:粟米=3:5。即1升粝米可以兑换粟米。

（2）粝米数为分数，先进行通分，155=。

（3）求粟米数，×，约简后为=259升=25斗9升。

（4）此题是已知粝米求粟米，我们需要把之前的所有率进行换算。之后的几题亦是如此。

原文

（二一）今有粺米二斗，欲为粟。问得几何？

答曰：为粟三斗七升二十七分升之一。

术曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。

译文

（二一）现有粺米2斗，想要兑换为粟米。能兑换多少？

答：能兑换粟米3斗7升。

运算法则：用粺米求粟米，先乘50，再除以27，得数为所求粟米数量。

译解

（二一）所求粟米=粺米×50÷27，2斗=20升。

20×50÷27=1000÷27=37升=3斗7升。

术解

（1）已知粟米:粺米=50:27，得出粺米:粟米=27:50。即1升粺米可以兑换粟米。

（2）求粟米数，20×=升=37升=3斗7升。

原文

（二二）今有糳米三斗少半升，欲为粟。问得几何？

答曰：为粟六斗三升三十六分升之七。

术曰：以糳米求粟，二十五之，十二而一。

译文

（二二）现有糳米3斗升，想要兑换为粟米。能兑换多少？

答：能兑换粟米6斗3升。

运算法则：用糳米求粟米，先乘25，再除以12，得数为所求粟米数量。

译解

（二二）所求粟米=糳米×25÷12，3斗升=30升。

30×25÷12=×25÷12=63升=6斗3升。

术解

（1）已知粟米:糳米=50:24=25:12，得出糳米:粟米=12:25。即，1升糳米可以兑换粟米。

（2）求粟米数，30×=×=升=63升=6斗3升。

原文

（二三）今有御米十四斗，欲为粟。问得几何？

答曰：为粟三十三斗三升少半升。

术曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。

译文

（二三）现有御米14斗，想要兑换为粟米。能兑换多少？

答：能兑换粟米33斗3升。

运算法则：用御米求粟米，先乘50，再除以21，得数为所求粟米数量。

译解

（二三）所求粟米=御米×50÷21，14斗=140升。

140×50÷21=7000÷21=333升=33斗3升。

术解

（1）已知粟米:御米=50:21，得出御米:粟米=21:50。即1升御米可以兑换升粟米。

（2）求粟米数，140×=升=33斗3升。

原文

（二四）今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲为粟。问得几何？

答曰：为粟一十斗五升九分升之七。

术曰：以稻求粟，五之，六而一。

译文

（二四）现有稻米12斗6升，想要兑换为粟米。能兑换多少？

答：能兑换粟米10斗5升。

运算法则：用稻米求粟米，先乘5，再除以6，得数为所求粟米数量。

译解

（二四）所求粟米=稻米×5÷6，12斗6升=126升。

126×5÷6=×5÷6=105升=10斗5升。

术解

（1）已知粟米:稻米=50:60=5:6，得出稻米:粟米=6:5。即1升稻米可以兑换粟米。

（2）求粟米数，126×=×=，约简后为=升=10斗5升。

原文

（二五）今有粝米一十九斗二升七分升之一，欲为粺米。问得几何？

答曰：为粺米一十七斗二升一十四分升之一十三。

术曰：以粝米求粺米，九之，十而一。

译文

（二五）现有粝米19斗2升，想要兑换为粺米。能兑换多少？

答：能兑换粺米17斗2升。

运算法则：用粝米求粺米，先乘9，再除以10，得数为所求粺米数量。

译解

（二五）所求粺米=粝米×9÷10，19斗2升=192升。

192×9÷10=×9÷10=172升=17斗2升。

术解

（1）用粝米求粺米，必须先知道粝米与粺米的比率。已知粟米:粝米=50:30；粟米:粺米=50:27，可得出粝米:粺米=30:27=10:9。

（2）粝米数为分数，先通分，19斗2升=升。

（3）粝米:粺米=10:9，得出1升粝米可以兑换升粺米。

求粺米数，×==升=172升=17斗2升。

（4）此题是已知粝米求粺米，需要对所有率进行转换。之后的几题亦是如此。

原文

（二六）今有粝米六斗四升五分升之三，欲为粝饭。问得几何？

答曰：为粝饭一十六斗一升半。

术曰：以粝米求粝饭，五之，二而一。

译文

（二六）现有粝米6斗4升，想要兑换为粝饭。能兑换多少？

答：能兑换粝饭16斗1升。

运算法则：用粝米求粝饭，先乘5，再除以2，得数为所求粝饭数。

译解

（二六）所求粝饭=粝米×5÷2，6斗4升=64升。

64×5÷2=×5÷2=161升=16斗1升。

术解

（1）用粝米求粝饭，已知粟米:粝米=50:30；粟米:粝饭=50:75，可得出粝米:粝饭=30:75=2:5。

（2）粝米数为分数，先通分，6斗4升=升。

（3）粝米:粝饭=2:5，得出1升粝米可以兑换升粝饭。

求粝饭数，×=升=161升=16斗1升。

原文

（二七）今有粝饭七斗六升七分升之四，欲为飧。问得几何？

答曰：为飧九斗一升三十五分升之三十一。

术曰：以粝饭求飧，六之，五而一。

译文

（二七）现有粝饭7斗6升，想要兑换为饭食。能兑换多少？

答：能兑换饭食9斗1升。

运算法则：用粝饭求饭食，先乘6，再除以5，得数为所求饭食数。

译解

（二七）所求饭食=粝饭×6÷5，7斗6升=76升。

76×6÷5=×6÷5=91升=9斗1升。

术解

（1）用粝饭求饭食，已知粟米:粝饭=50:75，粟米:饭食=50:90，可得出粝饭:饭食=75:90=5:6。

（2）粝饭数为分数，先通分，7斗6升=升。

（3）粝饭:饭食=5:6，得出1升粝饭可以兑换升饭食。

求饭食数，×=升=91升=9斗1升。

原文

（二八）今有菽一斗，欲为熟菽。问得几何？

答曰：为熟菽二斗三升。

术曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。

译文

（二八）现有豆类1斗，想要兑换为熟豆。能兑换多少？

答：能兑换熟豆2斗3升。

运算法则：用豆类求熟豆，先乘23，再除以10，得数为所求熟豆数。

译解

（二八）所求熟豆=豆类×23÷10，1斗=10升。

10×23÷10=23升=2斗3升。

术解

（1）用豆类求熟豆，已知粟米:豆类=50:45，粟米:熟豆=50:103=，可得出豆类:熟豆=90:207=10:23。

（2）豆类:熟豆=10:23，得出1升豆类可以兑换升熟豆。

求熟豆数，10×=23升=2斗3升。

原文

（二九）今有菽二斗，欲为豉。问得几何？

答曰：为豉二斗八升。

术曰：以菽求豉，七之，五而一。

译文

（二九）现有豆类2斗，想要兑换为豆豉。能兑换多少？

答：能兑换豆豉2斗8升。

运算法则：用豆类求豆豉，先乘7，再除以5，得数为所求豆豉数。

译解

（二九）所求豆豉=豆类×7÷5，2斗=20升。

20×7÷5=28升=2斗8升。

术解

（1）用豆类求豆豉，已知粟米:豆类=50:45，粟米:豆豉=50:63，可得出豆类:豆豉=45:63=5:7。

（2）豆类:豆豉=5:7，得出1升豆类可以兑换升豆豉。求豆豉数，20×=28升=2斗8升。

原文

（三十）今有麦八斗六升七分升之三，欲为小，问得几何？

答曰：为小二斗五升一十四分升之一十三。

术曰：以麦求小，三之，十而一。

译文

（三十）现有麦8斗6升，想要兑换为小。能兑换多少？

答：能兑换小2斗5升。

运算法则：用麦求小，先乘3，再除以10，得数为所求小数。

译解

（三十）所求小=麦×3÷10，8斗6=86升。

86×3÷10=×3÷10=升=25升=2斗5升。

术解

（1）用麦求小，已知粟米:麦=50:45，粟米:小=50:13=，可得出麦:小=90:27=10:3。

（2）麦:小=10:3，得出1升麦可以兑换升小。求小数，86×=×=升=25升=2斗5升。

原文

（三一）今有麦一斗，欲为大。问得几何？

答曰：为大一斗二升。

术曰：以麦求大，六之，五而一。

译文

（三一）现有麦1斗，想要兑换为大。能兑换多少？

答：能兑换大1斗2升。

运算法则：用麦求大，先乘6，再除以5，得数为所求大数。

译解

（三一）所求大=麦×6÷5，1斗=10升。

10×6÷5=12升=1斗2升。

术解

（1）用麦求大，已知粟米:麦=50:45，粟米:大=50:54，可得出麦:大=45:54=5:6。

（2）麦:大=5:6，得出1升麦可以兑换升大。

求大数，10×=12升=1斗2升。

原文

（三二）今有出钱（1）一百六十，买瓴甓（2）十八枚。问枚几何（3）？

答曰：一枚，八钱九分钱之八。

（三三）今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问个几何？

答曰：一个，五钱四十七分钱之三十五。

经率术曰：以所买率（4）为法，所出钱数为实，实如法得一钱（5）。

注释

（1）出钱：拿出钱。这里指用钱买物品。

（2）瓴甓：瓴，房屋上的砖瓦。这里指砖块。

（3）枚几何：枚，每枚、一枚。每枚多少钱。

（4）所买率：所卖物品的数量。

（5）一钱：每一个物品的钱数。即物品单价。

译文

（三二）现有160钱，买18块砖，那么每块砖多少钱？

答：每块砖8钱。

（三三）又有13500钱，买2350根竹子。那么每根竹子多少钱？

答：每根竹子5钱。

求物品单价的运算法则：用所买物品数量为除数，所有钱数为被除数。被除数除以除数，得数为每个物品的单价。

译解

（三二）求每块砖的单价=钱数÷数量=160÷18=8钱。

（三三）求每根竹子的单价=钱数÷数量=13500÷2350=5钱。

术解

以（三二）为例：

（1）钱数为所有数，物品数量为所买率，1枚为所求率。即被除数除以除数，得到每个物品的单价。

（2）每块砖的单价=钱数÷数量=160÷18=8钱。以下题目相同。

原文

（三四）今有出钱五千七百八十五，买漆（1）一斛（2）六斗七升太半升。欲斗率之（3），问斗几何。

答曰：一斗，三百四十五钱五百三分钱之一十五。

（三五）今有出钱七百二十，买缣（4）一匹二丈一尺。欲丈率之，问丈几何？

答曰：一丈，一百一十八钱六十一分钱之二。

（三六）今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺（5）。欲匹率之，问匹几何？

答曰：一匹，二百四十四钱一百二十九分钱之一百二十四。

（三七）今有出钱一万三千六百七十，买丝一石二钧一十七斤（6）。欲石率之，问石几何？

答曰：一石，八千三百二十六钱一百九十七分钱之一百七十八。

经率术曰：以所求率乘钱数为实，以所买率为法，实如法得一。

注释

（1）漆：油漆。

（2）斛：我国古时容量单位。1斛=10斗=100升。北宋之后，1斛=5斗。这里取前者。

（3）斗率之：以斗为单位。即转化为斗。之后的“丈率”“匹率”“石率”也是如此。

（4）缣：我国古时一种丝织品，较细的绢。

（5）九匹二丈七尺：匹，古时丈量布匹的单位。1匹=4丈、1丈=10尺。

（6）一石二钧一十七斤：石和钧，古代计量重量的单位。1石=10斗=4钧，1钧=30斤。

译文

（三四）现有5785钱，买1斛6斗7升油漆。想要用斗来计算，那么每斗油漆多少钱？

答：每斗油漆345钱。

（三五）现有720钱，买1匹2丈1尺缣。想要用丈来计算，那么每丈缣多少钱？

答：每丈缣118钱。

（三六）现有2370钱，买9匹2丈7尺布。想要用匹来计算，那么每匹布多少钱？

答：每匹布244钱。

（三七）现有13670钱，买1石2钧17斤丝。想要用石来计算，那么每石丝多少钱？

答：每石丝8326钱。

运算法则：用所求率乘钱数作为被除数，物品数量作为除数。被除数除以除数，得数为物品单价。

译解

（三四）求每斗油漆的单价=所求率×钱数÷物品数量。先转化为斗，1斛6斗7升=16斗。

即1斗×5785÷16=345钱。

（三五）同理，先转化为丈，1匹2丈1尺=6丈。

即1丈×720÷6=720÷= 118钱。

（三六）同理，先转化为匹，9匹2丈7尺=9匹。

即1匹×2370÷9=2370÷= 244钱。

（三七）同理，先转化为石，1石2钧17斤=1石。

即1石×13670÷1=13670÷= 8326钱。

术解

以（三五）为例：

（1）求每丈缣多少钱，须先进行转换，1匹=4丈，1丈=10尺，1尺=丈。1匹2丈1尺=4+2+丈=6丈。

（2）数量为分数，进行通分，6丈=丈。

（3）被除数除以除数，即720÷= 钱=118钱。

（4）这几题都需要先转换成所求率，使其数量单位统一。

原文

（三八）今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大小率之（1），问各几何？

答曰：其四十八个，个七钱。其三十个，个八钱。

（三九）今有出钱一千一百二十，买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之（2），问各几何？

答曰：其二钧八斤，斤五钱。其一石一十斤，斤六钱。

（四十）今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢（3）。欲其贵贱石率之，问各几何？

答曰：其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱。其一石一钧二十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。

（四一）今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧率之，问各几何？

答曰：其七斤一十两九铢，钧二千一十二钱。其一石二钧二十斤八两二十铢，钧二千一十三钱。

（四二）今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱斤率之，问各几何？

答曰：其一石二钧七斤十两四铢，斤六十七钱。其二十斤九两一铢，斤六十八钱。

（四三）今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两率之，问各几何？

答曰：其一石一钧一十七斤一十四两一铢，两四钱。其一钧一十斤五两四铢，两五钱。

其率术曰：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法而一。不满法者反以实减法（4），法贱实贵。其求石、钧、斤、两，以积铢各除法实，各得其积数，余各为铢。

注释

（1）大小率之：大，大竹。小，小竹。按照大小竹分别计算价格。按照取近似值的方式，不足近似整数为小，大于近似整数为大，两者相差为1 。

（2）贵贱斤率之：按照贵贱两种丝进行计算。

（3）铢：我国古时重量单位。24铢=1两，16两=1斤。

（4）不满法者反以实减法：不满法者，即除不尽的情况。钱数除以数量，如果除不尽的话，就用除数减余数。

译文

（三八）现有576钱，买78根竹子。按照大小两种分别计算，那么可以买大小竹子各多少根？每根竹子分别多少钱？

答：可以买小竹子48根，每根7钱。还可以买大竹子30根，每根8钱。

（三九）现有1120钱，买1石2钧18斤丝。按照贵贱两种分别计算，那么可以买贵贱丝多少斤？每斤丝各多少钱？

答：可以买贱丝2钧8斤，每斤5钱。还可以买贵丝1石10斤，每斤6钱。

（四十）现有13970钱，买1石2钧28斤3两5铢丝。按照贵贱两种分别计算，那么可以买贵贱丝多少石？每石丝各多少钱？

答：可以买贱丝1钧9两12铢，每石8051钱。还可以买贵丝1石1钧27斤9两17铢，每石8052钱。

（四一）现有13970钱，买1石2钧28斤3两5铢丝。按照贵贱两种分别计算，那么可以买贵贱丝多少钧？每钧丝各多少钱？

答：可以买贱丝7斤10两9铢，每钧2012钱。还可以买贵丝1石2钧20斤8两20铢，每钧2013钱。

（四二）现有13970钱，买1石2钧28斤3两5铢丝。按照贵贱两种分别计算，那么可以买贵贱丝多少斤？每斤丝各多少钱？

答：可以买贱丝1石2钧7斤10两4铢，每斤67钱。还可以买贵丝20斤9两1铢，每斤68钱。

（四三）现有13970钱，买1石2钧28斤3两5铢丝。按照贵贱两种分别计算，那么可以买贵贱丝多少两？每两丝各多少钱？

答：可以买贱丝1石1钧17斤14两1铢，每两4钱。还可以买贵丝1钧10斤5两4铢，每两5钱。

贵贱两种价格的运算法则：分别列出所买物品数量作为除数，用所求率乘钱数作为被除数。被除数除以除数，如果除不尽，余数是贵的物品的数量。而除数减去余数，得数为贱的物品的数量。

译解

（三八）求大小竹各多少根，用钱数除以数量=567÷78=7钱/根……30钱；78–30=48根。

因此，可以买小竹48根，每根7钱；大竹30根，每根8钱。

（三九）同理，求贵贱丝各多少斤，用钱数除以数量。先把数量折算为斤，1石2钧18斤=198斤。1120÷198=5钱/斤……130钱，198–130=68斤。

因此，可以买贱丝68斤，即2钧8斤，每斤5钱；贵丝130斤，即1石10斤，每斤6钱。

（四十）同理，求贵贱丝各多少石，用钱数除以数量。先把数量折算为石，1石2钧28斤3两5铢=石。13970÷=8050钱/石……68201钱。

因此，可以买贱丝1钧9两12铢，每石8051钱；贵丝1石1钧27斤9两17铢，每石8052钱。

（四一）同理，求贵贱丝各多少钧，用钱数除以数量。先把数量折算为钧，1石2钧28斤3两5铢=钧。13970÷=2012钱/钧……77012钱。

因此，可以买贱丝7斤10两9铢，每钧2012钱；贵丝1石2钧20斤8两20铢，每钧2013钱。

（四二）同理，求贵贱丝各多少斤，用钱数除以数量。先把数量折算为斤，1石2钧7斤10两4铢=斤。13970÷=67钱/斤……7897钱。

因此，可以买贱丝1石2钧7斤10两4铢，每斤67钱；贵丝20斤9两1铢，每斤68钱。

（四三）同理，求贵贱丝各多少两，用钱数除以数量。先把数量折算为两，1石2钧28斤3两5铢=两。13970÷=4钱/两……15484钱。

因此，可以买贱丝1石1钧17斤14两1铢，每两4钱；贵丝1钧10斤5两4铢，每两5钱。

术解

以（三九）为例：

（1）求贵贱丝各多少斤，先把数量转化为斤，1石=120斤，1钧=30斤。1石2钧18斤=120+60+18=198斤。

（2）用钱数除以数量。1120÷198=5钱/斤……130钱。

（3）余数为130，可知可买贵丝130斤。除数–余数=198–130=68斤，为贱丝的数量。

130斤=1石10斤；68斤=2钧8斤。

（4）商为5，则贱丝单价为5钱每斤；贵丝单价为6钱每斤。

（5）涉及石、钧、斤、两的转化，计算前必须先进行折算。有分数的必须进行通分。

原文

（四四）今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢率之，问各几何？

答曰：其一钧二十斤六两十一铢，五铢一钱。其一石一钧七斤一十二两一十八铢，六铢一钱。

（四五）今有出钱六百二十，买羽二千一百翭（1）。欲其贵贱率之，问各几何？

答曰：其一千一百四十翭，三翭一钱。其九百六十翭，四翭一钱。

（四六）今有出钱九百八十，买矢簳（2）五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问各几何？

答曰：其三百枚，五枚一钱。其五千五百二十枚，六枚一钱。

反其率术（3）曰：以钱数为法，所率为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法少，实多。二物各以所得多少之数乘法实，即物数。

注释

（1）翭：羽毛的根部。这里指计量箭羽。

（2）矢簳：矢，箭头。簳，箭杆。这里泛指箭杆。

（3）反其率术：与“其率”相反。这里指求一钱可以买多少数量的物品。

译文

（四四）现有13970钱，买1石2钧28斤3两5铢丝。按照贵贱两种分别计算，那么可以买贵贱丝多少铢？每钱可以各买多少铢丝？

答：可以买贱丝1石1钧7斤12两18铢，每钱可以买6铢；还可以买贵丝1钧20斤6两11铢，每钱可以买5铢。

（四五）现有620钱，买2100支箭羽，按照贵贱两种分别计算，那么可以买贵贱箭羽多少支？每钱可以各买多少支箭羽？

答：可以买贱箭羽960支，每钱可以买4支；还可以买贵箭羽1140支，每钱可以买3支。

（四六）现有980钱，买5820支箭杆，按照贵贱两种分别计算，那么可以买贵贱箭杆多少支？每钱可以各买多少支箭杆？

答：可以买贱箭杆5520支，每钱可以买6支；还可以买贵羽箭300支，每钱可以买5支。

求每钱购买物品数量的运算法则：用钱数作为除数，所买物品数作为被除数，被除数除以除数。如果除不尽，余数为贱的物品的钱数；除数是总钱数，除数减去余数为贵的物品的钱数。用每钱买的物品数量乘所得数量，即为所求相应物品钱数。

译解

（四四）1石2钧28斤3两5铢=79949铢，求每钱买多少铢，

即79949÷13970=5铢/钱……10099铢；13970–10099=3871钱；

得出贵丝每钱买5铢；贱丝每钱买6铢；

贵丝：3871×5=19355铢=1钧20斤6两11铢，贱丝：10099×6=60594铢=1石1钧7斤12两18铢。

（四五）求每钱买多少箭羽，物品数量÷钱数=2100÷620=3支/钱……240支；

得出贵箭羽每钱买3支；贱箭羽每钱买4支；

贵箭羽：（620–240）×3=1140支，贱箭羽：240×4=960支。

（四六）同理，5820÷980=5支/钱……920支；

得出贵箭杆每钱买5支；贱箭杆每钱买6支；

贱箭杆：920×6=5520支，贵箭杆：（980–920）×5=300支。

术解

以（四六）为例：

（1）求每钱可买贵贱箭杆多少支，用箭杆数量除以钱数。5820÷980=5支/钱……920支。

（2）由此得知，每钱可以买5支贵箭杆，按照大小近似值相差1的原则，每钱可买贱箭杆6支。

（3）根据运算法则，余数为可买贱箭杆的钱数，每钱买的数量乘钱数，即为所求贱的箭杆数，即920×6=5520支。贵的箭杆数量，（980–920）×5=300支。也可用总数量减去贱的箭杆数量，5820–5520=300支。

（4）前面运算法则求物品单价，而这里求每钱能买多少物品，两者相反。因此，物品单价越高，每钱可买的数量越少；反之。