1.6.1 基本方程的推导

根据动量矩定理，单位时间内液流质量对透平主轴的动量矩变化等于作用在该质量上的全部外力对同一轴的力矩总和，即

式中 Δm——dt时间内通过透平叶轮的液流质量；

r——半径；

∑ΔMz——作用在液体质量m上的所有外力矩总和。下标z代表透平轴线。

由于进入叶轮中的流体是轴对称的，因此可选取一个叶轮流道的流体来进行分析，如图1⁃8所示。图1⁃9所示为液力透平进出口速度三角形。

图1⁃8 流体运动控制面示意图

图1⁃9 液力透平进出口速度三角形

叶轮出口2—2和2′—2′断面间流体的动量矩

叶轮进口1—1和1′—1′断面间流体的动量矩

dt时间内的动量矩变化为

则一个流道的动量矩方程为

式中 vu1——叶轮进口绝对速度的圆周分量；

vu2——叶轮出口绝对速度的圆周分量。

对于式（1⁃19）右端的外力矩MZ，分析作用在液流（控制面内）质量上的外力及外力形成力矩的情况：

1）控制面以外的液流对控制面以内液流的作用力，这部分力作用在控制面内、外两个圆柱面上。显然，这部分力对叶轮轴线的力矩为零。

2）叶轮对控制面内液流的作用力，其中叶片对液流的作用力对叶轮转轴的力矩是MZ的最主要的组成部分。叶轮的盖板对液流的正压力对轴的力矩为零，而由黏性摩擦产生的剪应力对轴的力矩不为零，但其值通常较小，其作用反映在透平的效率中，故在此处不予考虑。

这样，作用在液流质量上的外力矩就仅有叶轮叶片对液流的作用力所产生的力矩，记为M0，即MZ=M0。

液流对叶轮的作用力矩记为M，根据作用力与反作用力定律，它与叶轮叶片对液流的作用力矩M0在数值上相等而方向相反，即M=-M0，则（1⁃19）式可写成

式（1⁃20）初步说明了液力透平中液体能量转换为旋转机械能的基本平衡关系。为了应用方便，常将这种机械力矩M乘以叶轮的旋转角速度ω，用功率的形式来表达，这样即可得出液流作用在透平叶轮上的功率为

即

又，通过液力透平的有效功率为

P=QHγηh （1⁃22）

式中 ηh——液力透平的水力效率。

将式（1⁃22）代入式（1⁃21）得

或

式（1⁃23）和式（1⁃24）为液力透平的基本方程。