2.1.2 基于无迹卡尔曼滤波的流数据异常检测方法
基于UKF的流数据异常检测方法包括以下五个步骤。
（1）建立机械系统的非线性状态空间方程。机械系统中的轴承、齿轮等关键零部件缺陷的发生往往是由于其表面、次表面在交变应力作用下产生微观裂纹并逐渐扩展导致的，因此，应基于Paris-Erdogan裂纹扩展模型构建故障零部件的状态空间方程[6]。Paris-Erdogan裂纹扩展模型说明了应力强度因子在疲劳裂纹扩展中的关键性作用，等幅交变载荷下疲劳裂纹扩展速率公式如下：
式中，l表示裂纹长度；N表示应力循环次数；C0、m、τ表示材料属性常数。
令a=C0mτ，b=τ/2，式（2-8）可以改写为如下形式：
应力循环次数N与时间符合线性关系，假设裂纹扩展长度l与特征指标亦呈线性关系，在等间隔的采样条件下，可以根据式（2-9）建立如下递推的状态空间模型[7]：
式中，xt为t时刻的待估计特征；
为t时刻的特征观测值；εt、ξt为零均值高斯噪声，且εt～N（0，σ2），ξt～N（0，σ2）。
（2）估计非线性状态空间方程的未知参数。式（2-10）给出了描述裂纹扩展一般规律的状态空间模型，其中存在未知参数φ、β、σ2，这些参数可通过极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）方法进行估计。假设
，εt-1=0，则
，由ξt～N（0，σ2）可知
，利用MLE方法对φ、β、σ2进行参数估计的过程如下。
根据t∈{1，2，…，T}时刻的特征观测值
构建概率密度函数：
由式（2-11）可得出如下对数似然函数：
由于式（2-12）中未知参数的个数较多，直接求取每个参数的MLE值困难，因此设置∂lnL/∂φ=0、∂lnL/∂σ2=0为各参数MLE值求解的约束条件后，通过对数似然函数的极大化寻优确定各个未知参数的估计值。
分别求式（2-12）对φ和σ2的偏导数，可得如下约束方程组：
对式（2-13）进行变量分离，并令
，可得：
通过矩阵
表示φ和σ2如下：
将式（2-15）代入式（2-12），并在一定范围内遍历寻找使对数似然函数极大的β*，之后将β*代回式（2-15）可获得φ和σ2。
（3）初始化特征观测值
、协方差矩阵
。
（4）执行UKF算法，计算特征观测序列的滤波估计值。
（5）计算特征观测序列及其滤波估计值的差值，获得滤波误差序列，将超出3σ阈值的序列点对应的原始数据识别为异常数据。