4 细节
命题人如何进行题目创新？

高考命题在某种程度上是一份让人头疼的工作。

如果你搜集过去十年间教育部公布的全部考纲文本，并将它们综合对照，就会发现这些文本的重合度超过90%，有些年份考纲当中的内容甚至是大段照抄的。

这当然没问题，高考是一个全国性的选拔考试，对它的考查内容做出规定的考纲应该是稳定的。

但是，尽管考纲常年很少变化，可教育部对高考命题人的要求却是“创新”。

创新的难题

我们无法想象一个餐厅菜谱常年不变，老板却要求厨师不断创新。

而这恰好就是命题人的处境。

“创新”这个词在考纲当中总共出现过5次，在考纲规定的考查要求中，还用单独一段的篇幅强调了题目创新的重要性：

对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查。在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题时，要注重问题的多样化，体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题；也要有反映数形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题。

中国目前每年产生十多份高考试卷，这还是越来越多的省份放弃自主命题，改用全国卷后的情况，在过去全国各省各自为战的时代，最多时全国会产出30多份高考试卷（比如2015年）。十年来命题组累计公布了超过200份试卷，这其中有超过5000道真题。而我们说过，高考数学总共也只有那么几百个知识点，而且大体上已经十年不变。

如果你是命题人，你应该如何根据一份常年不变的考纲，设计出每年都变的题目呢？

答案是：你没法做到。

其实，大部分的高考题目就是常年不变的，每张试卷150分的考题里，大约有130分的内容、形式都能从往年的考题中找到，我在下一节会举几个例子，说明历年高考试卷中那些高度相仿的题目设计。

问题情境：新故事，旧考点

好在考纲也并不是完全“管杀不管埋”，在具体的创新方法上，考纲也给了命题组一些可执行层面的指导，比如在上一小节我们引述的考纲正文里，具体要求后面的第一句话叫“在考试中创设新颖的问题情境”。

什么意思呢？让我们来看一个具体的例子。

（2019年全国2卷理科数学T4）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点L₂的轨道运行，L₂点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L₂点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：，假设，由于α的值很小，所以近似地满足，则r的近似值为：

把这道题算作“创新题”是非常牵强的，其本质不过是一个传统意义上的复杂公式化简问题。2019年中国发射了嫦娥四号，命题人就在问题中加入了这样一个新情境。

其实这样的“伪创新”你可以发现很多，比如2017年，谷歌的Alpha Go在围棋领域击败了李世石，于是当年的北京卷就出现了这么一道题目：

（2017年北京卷文/理科数学T8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（ ）。（参考数据：lg 3 ≈ 0.48）

A.1033 B.1053

C.1073 D.1093

这道题考的是对数函数运算法则。

你看，每年高考中为数不多的创新题目里，大部分还都充斥着类似的这种“新故事，旧考点”的内容，真正的创新屈指可数，我们下面来看一道真正意义上有水平的创新题。

一道真正意义上的创新题

在中国高考的历史上，除了全国统一命制的试卷之外，先后有16个省份进行过自主命题，它们分别是：上海、北京、天津、重庆、辽宁、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、湖北、湖南、广东、四川及陕西。在众多自主命题的试卷中，要是问起“哪一个省份的试卷最难”，大家基本上都能达成一致意见——江苏。

江苏的数学卷是很多学生心中的噩梦。

除了江苏数学卷的分值特立独行（它居然有160分！）题型令人头疼（以14道填空题开篇，没有选择题）之外，江苏卷的命题组也许是极少数真正能沉下心思搞创新的团队了。

比如，2017年的江苏卷，在最后一道计算题的最后一问，就创造性地把“韦达定理”和“函数与导数”进行了融合。众所周知，韦达定理在高中数学的传统框架下是用来在解析几何的板块计算弦长的。

当然更重要的是，这道题目还非常“创新”地把“立方差公式”这个考点给挖了出来，我们来看一看这道题目：

（2017年江苏卷T20）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a > 0,b∈R)有有极值，且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点。

（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明:b2>3a；

（3）若f(x)，f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围。

这道题的前两问只是个铺垫，仅仅涉及对函数零点与极值点性质的考查，它的核心其实是第三问，我们把这道题目的完整解答放在下面：

解：（1）因为f(x)=x3+ax2+bx+1，

请注意，第三问答案的第一个“所以”后面出现的公式变形，是这道题目的核心所在：x₁3+x₂3+a(x₁2+x₂2)+b(x₁+x₂)+2=(x₁+x₂)[(x₁+x₂)2-3x₁x₂]+a[(x₁+x₂)2-2x₁x₂]+b(x₁+x₂)+2，它使用的是立方差公式。

立方差公式在高考中绝对是一个“创新”考点，这是一个在过去10年间一直被命题人遗漏的考点，是一个即使你使用全局搜索功能在考纲中也根本找不到明确表述的考点。

但是，它却是一直存在的考点。

如果翻开数学考纲的“考试范围与要求”这一章节，你可以在“导数及其应用”这个小节里看到一条很明确的表述：

这是一条容易被同学们忽略的表述，因为这句话中罗列的六个函数本质上都是幂函数，如果使用求导公式，大家可以很容易求得它们全部的导数。

然而，这句话的关键词是“根据导数定义”。

你还记得导数是如何定义的吗？

翻开人教版的选修教材可以看到，关于如何使用定义求解根号函数的导数，教材已经写得很详细了：

注意，这个运算过程中本身就蕴含了一个很重要的变形技巧：平方差公式。注意看推导过程中的第二和第三个等号之间，分子和分母有什么变化。

三次函数求导的方法，教科书里没有写，各位同学也许认为是“类推可得”的。但如果你自己真提笔去算，就会发现这还真不是依葫芦画瓢就能轻易完成的，我给大家做了份笔记：

这里面用到最重要的一项工具，是立方差公式。除非使用这个公式进行代数变形，否则你是不可能得到最终结果的。

这就是立方差公式的出处所在，这是一个真正隐藏在字里行间的考点，在2017年被江苏卷的命题组老师给挖了出来。

不过，这道题中用到的其实是“立方和公式”，它只不过是将立方差（a3-b3）公式当中的b整体代换成了-b而已。

创新的逻辑

每年都会有无数学生和老师向我提问：你认为今年的高考会有什么形式的创新？

让我来举个例子：小王对早点铺的老板说，给我来一碗热干面，做的时候多放点面，多放点芝麻酱，多放点葱，多放点花生和咸菜。

小王真正的目的，其实只是“来一碗热干面”，后面的那些都是细节要求。

综合来说，大纲的考查要求给命题人提出的创新建议是两条：其一是创设一个新颖的问题情境，其二是构造有“深度”和“广度”的问题。

还是举2017年高考数学江苏卷第20题的例子来说明吧。所谓“广度”，体现在这道题上就是“韦达定理”和“导数与函数”之间的联合；所谓“深度”，就是它从三次函数求导的定义中挖掘出了“立方差公式”。

这就是高考数学题目创新的全部逻辑，如果了解这些，我相信你下次再读考纲时，就会对它多一分细心。